Reguła mnożenia

Do każdej koszulki możemy dobrać dowolne spodnie, więc możliwości mnożymy:

$$3\cdot4=12$$

Kiedy dodajemy, a kiedy mnożymy: dodajemy, gdy wybieramy albo jedno, albo drugie; mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie.

Odpowiedź: C. $12$ sposobów.

Na każdej z trzech pozycji mamy $9$ możliwości:

$$9\cdot9\cdot9=9^3=729$$

Odpowiedź: $729$ kodów.

Moneta daje $2$ wyniki, kostka $6$:

$$2\cdot6=12$$

Przykładowe wyniki: (orzeł, $1$), (orzeł, $2$), …, (reszka, $6$).

Odpowiedź: $12$ wyników.

Pierwszą cyfrę wybieramy na $4$ sposoby, drugą już tylko na $3$ (bo nie może się powtórzyć):

$$4\cdot3=12$$

Gdyby cyfry mogły się powtarzać, byłoby $4\cdot4=16$ liczb.

Odpowiedź: A. $12$ liczb.

Mnożymy liczby możliwości na każdym etapie:

$$4\cdot6\cdot3=72$$

Odpowiedź: $72$ zestawy.

Wypisujemy pary uporządkowane:

$$(1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1)$$

Jest ich sześć.

Uwaga: kostki traktujemy jako rozróżnialne, więc $(1,6)$ i $(6,1)$ to dwa różne wyniki.

Odpowiedź: D. $6$ wyników.

Krok 1 — pierwsza cyfra. Nie może być zerem, więc mamy $9$ możliwości.

Krok 2 — druga cyfra. Zero jest już dozwolone, ale jedna cyfra została zużyta: $10-1=9$ możliwości.

Krok 3 — trzecia cyfra: $8$ możliwości.

Krok 4 — mnożymy:

$$9\cdot9\cdot8=648$$

Odpowiedź: $648$ liczb.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2 — same orły. Tylko jeden ciąg: OOO.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac18$$

Odpowiedź: $8$ wyników, z czego $1$ to same orły.

Na pierwszym miejscu może stanąć każda z $4$ książek, na drugim jedna z pozostałych $3$ i tak dalej:

$$4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

Nazwa: takie ustawienia to permutacje, a wynik zapisujemy jako $4!$.

Odpowiedź: B. $24$ sposoby.

Krok 1 — pierwsza cyfra: $9$ możliwości (bez zera).

Krok 2 — druga i trzecia: po $10$ możliwości.

Krok 3 — ostatnia cyfra. Musi być parzysta, czyli jedna z: $0$, $2$, $4$, $6$, $8$ — $5$ możliwości.

Krok 4 — mnożymy:

$$9\cdot10\cdot10\cdot5=4500$$

Kontrola sensu: wszystkich liczb czterocyfrowych jest $9000$, a parzystych powinna być dokładnie połowa ✔

Odpowiedź: $4500$ liczb.

Krok 1 — zdarzenia sprzyjające: $5$ i $6$, czyli dwa.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac26=\frac13$$

Uwaga na słowo „większa”: liczba $4$ nie należy do zdarzenia.

Odpowiedź: C. $\frac13$.

Krok 1 — wszystkie kule:

$$4+6=10$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{10}=0{,}4=40\%$$

Sprawdzenie: prawdopodobieństwo kuli czarnej to $0{,}6$, a suma obu wynosi $1$ ✔

Odpowiedź: $P=0{,}4$.

Krok 1 — część literowa:

$$26\cdot26=676$$

Krok 2 — część cyfrowa:

$$10\cdot10\cdot10=1000$$

Krok 3 — łącznie:

$$676\cdot1000=676\ 000$$

Odpowiedź: $676\ 000$ kodów.

Każda kostka daje $6$ wyników niezależnie od drugiej:

$$6\cdot6=36$$

Częsty błąd to dodawanie ($12$) zamiast mnożenia. Liczba $21$ pojawiłaby się, gdybyśmy uznali kostki za nierozróżnialne.

Odpowiedź: A. $36$ wyników.

Krok 1 — ostatnia cyfra. Musi być $0$ albo $5$ — dwie możliwości.

Krok 2 — pierwsza cyfra: $9$ możliwości.

Krok 3 — środkowa cyfra: $10$ możliwości.

Krok 4 — mnożymy:

$$9\cdot10\cdot2=180$$

Kontrola: liczb trzycyfrowych jest $900$, a co piąta dzieli się przez $5$ — czyli $180$ ✔

Odpowiedź: $180$ liczb.

To ustawienia trzech różnych cyfr:

$$3\cdot2\cdot1=6$$

Wypisane: $123$, $132$, $213$, $231$, $312$, $321$.

Uwaga: $27$ wyszłoby, gdyby cyfry mogły się powtarzać.

Odpowiedź: B. $6$ liczb.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — wypisujemy sprzyjające. Suma $10$: $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$ — trzy. Suma $11$: $(5,6)$, $(6,5)$ — dwie. Suma $12$: $(6,6)$ — jedna.

Krok 3 — razem:

$$3+2+1=6$$

Krok 4 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{36}=\frac16$$

Systematyczność się opłaca. Wypisywanie sum po kolei — najpierw $10$, potem $11$, na końcu $12$ — chroni przed pominięciem przypadku.

Odpowiedź: $P=\frac16$.

Krok 1 — pierwsza cyfra. Jest ustalona: $5$. Jedna możliwość.

Krok 2 — druga cyfra. Dowolna z pozostałych dziewięciu (zero jest tu dozwolone): $9$ możliwości.

Krok 3 — trzecia cyfra: $8$ możliwości.

Krok 4 — czwarta cyfra: $7$ możliwości.

Krok 5 — mnożymy:

$$1\cdot9\cdot8\cdot7=504$$

Uwaga. Zakaz zera dotyczy tylko pierwszej pozycji — tutaj i tak jest ona zajęta przez piątkę, więc na dalszych miejscach zero jest dopuszczalne.

Odpowiedź: $504$ liczby.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$12+8=20$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo wybrania chłopca:

$$P=\frac{8}{20}=\frac25=0{,}4$$

Krok 3 — liczba par. Dziewczynę wybieramy na $12$ sposobów, chłopca na $8$, a wybory są niezależne:

$$12\cdot8=96$$

Dwa różne pytania, dwa różne narzędzia. Prawdopodobieństwo to iloraz, a liczba par — iloczyn. Warto pilnować, o co pyta zadanie.

Odpowiedź: $P=0{,}4$; par jest $96$.

Krok 1 — zaczynamy od najbardziej ograniczonej pozycji. Ostatnia cyfra musi być nieparzysta: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ — $5$ możliwości.

Krok 2 — pierwsza cyfra. Nie może być zerem ani równa cyfrze ostatniej. Z dziesięciu cyfr odpada zero i jedna zużyta, zostaje $8$.

Krok 3 — środkowa cyfra. Dwie cyfry są już zajęte, ale zero jest dozwolone: $8$ możliwości.

Krok 4 — mnożymy:

$$5\cdot8\cdot8=320$$

Dlaczego taka kolejność. Gdybyśmy zaczęli od pierwszej cyfry, liczba możliwości dla ostatniej zależałaby od tego, czy pierwsza była parzysta — trzeba by rozbijać zadanie na przypadki. Start od najostrzejszego warunku tego unika.

Odpowiedź: $320$ liczb.

Rozwiązanie

1. Cyfra setek $\ne0$: $\{1,...,6\}$ — $6$ możliwości.
2. Cyfra dziesiątek: dowolna z $7$ ($0$–$6$).
3. Cyfra jedności (nieparzysta): $\{1,3,5\}$ — $3$ możliwości.

Razem $6\cdot7\cdot3$. Odpowiedź: A