Definicja graniastosłupa, graniastosłupy proste i prawidłowe, sześcian i prostopadłościan, siatki, przekątne i przekroje.
12 definicjiMa dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami (w graniastosłupie prostym).
$$V=P_p\cdot H,\qquad P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Ma jedną podstawę, a ściany boczne są trójkątami zbiegającymi się w jednym wierzchołku.
$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H,\qquad P_c=P_p+P_b$$
Ostrosłup ma trzykrotnie mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Określenie prawidłowy oznacza, że podstawą jest wielokąt foremny: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, w trójkątnym — trójkąt równoboczny.
Nie myl wysokości bryły $H$ z wysokością ściany bocznej $h$. Do objętości wchodzi $H$, do pola bocznego $h$. Wiąże je twierdzenie Pitagorasa. Pamiętaj też o jednostkach: $1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Graniastosłup prosty ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami. Nazwa pochodzi od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Dla podstawy o $n$ bokach: ścian $n+2$, krawędzi $3n$, wierzchołków $2n$. Prostopadłościan ($n=4$): $6$ ścian, $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków.
$$V=P_p\cdot H$$
Szczególne przypadki:
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c,\qquad V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Dla sześcianu: $P_c=6a^2$.
To rozłożona na płaszczyźnie powierzchnia bryły. Siatka sześcianu składa się z sześciu jednakowych kwadratów; siatka graniastosłupa — z dwóch podstaw i prostokąta o długości równej obwodowi podstawy.
$$1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3$$
Nie myl objętości z polem powierzchni — dla sześcianu o krawędzi $4$ objętość wynosi $64$, a pole $96$. Przy zamianie jednostek objętości przelicznik podnosimy do trzeciej potęgi: $1\ \text{dm}=10\ \text{cm}$, ale $1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
To bryła o dwóch jednakowych, równoległych podstawach połączonych ścianami bocznymi, które są prostokątami. Nazwa bierze się od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Dla podstawy o $n$ bokach:
Przykład dla sześciokąta: $8$ ścian, $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi.
Siatka to bryła rozłożona na płasko: dwie podstawy plus pas $n$ prostokątów. Wysokość każdego prostokąta jest równa wysokości graniastosłupa.
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=O_p\cdot H$$
Pole boczne liczymy jako obwód podstawy razy wysokość, bo rozwinięte ściany boczne tworzą jeden duży prostokąt.
$$V=P_p\cdot H$$
Dla prostopadłościanu upraszcza się to do $V=a\cdot b\cdot c$, a dla sześcianu do $V=a^3$.
$$P_{\text{sześcianu}}=6a^2,\qquad V_{\text{sześcianu}}=a^3$$
$$P_{\text{prostopadłościanu}}=2(ab+ac+bc)$$
Sześcian ma $12$ krawędzi — to przydaje się w zadaniach o szkielecie z drutu: potrzeba $12a$.
Przelicznik jednostek objętości to sześcian przelicznika długości.
Z $V=P_p H$ wyznaczamy brakującą wielkość dzieleniem: $H=V:P_p$ albo $P_p=V:H$.
Pole zapisujemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$ — pomylona jednostka to najczęstszy powód utraty punktu. Przy pytaniu „ile kostek się zmieści” bezpieczniej liczyć kostki wzdłuż każdej krawędzi niż dzielić objętości: jeśli wymiary nie dzielą się bez reszty, sam iloraz objętości daje wynik zawyżony.
Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek nad nią; wszystkie ściany boczne to trójkąty zbiegające się w tym wierzchołku. Graniastosłup ma dwie podstawy i prostokątne ściany boczne.
Dla podstawy o $n$ bokach:
Stąd zadania odwrotne: ostrosłup o $12$ krawędziach ma podstawę sześciokątną ($2n=12$), a ostrosłup o $9$ wierzchołkach — ośmiokątną ($n+1=9$).
Ma podstawę będącą wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie ściany boczne są wtedy przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: jeden kwadrat i cztery jednakowe trójkąty równoramienne. Czworościan foremny: cztery jednakowe trójkąty równoboczne.
$$P_c=P_p+P_b$$
Pole boczne to suma pól trójkątów. Dla ostrosłupa prawidłowego o $n$ ścianach, krawędzi podstawy $a$ i wysokości ściany bocznej $h$ (apotemie):
$$P_b=n\cdot\frac{a\cdot h}{2}$$
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Współczynnik $\frac13$ nie jest przypadkowy: trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
To dwie różne wielkości. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym łączy je trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $h$:
$$h^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Przykład: $a=10$, $h=13$, więc $H=\sqrt{169-25}=12$.
Z $V=\frac13 P_p H$ wynika $H=\frac{3V}{P_p}$ oraz $P_p=\frac{3V}{H}$. Zwróć uwagę na trójkę w liczniku — to najczęściej gubiony element.
Pomijanie $\frac13$ przy objętości ostrosłupa to błąd numer jeden. Numer dwa to wstawianie wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej przy liczeniu pola — zawsze sprawdź, którą wielkość podano w treści.
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy połączone ścianami bocznymi. W graniastosłupie prostym ściany boczne to prostokąty.
Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; prostopadłościan i sześcian to szczególne przypadki.
$V=P_p\cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ wysokość.
$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.
Sześcian: $V=a^3$. Prostopadłościan: $V=a\cdot b\cdot c$.
Prostopadłościan $2\times3\times4$ ma objętość $24$.
Objętość podajemy w $cm^3$, $dm^3$, $m^3$; $1\,dm^3=1$ litr.
$P_c=2P_p+P_b$.
$P_p$ to pole podstawy (są dwie), $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Dla graniastosłupa prostego $P_b=Ob_p\cdot H$.
Sześcian o krawędzi $a$: $P_c=6a^2$.
Dwie równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami; $V=P_p H$.
Jedna podstawa i ściany boczne trójkątne schodzące się w wierzchołku; $V=\frac{1}{3}P_p H$.
$P_c=2P_p+P_b$ (graniastosłup), $P_c=P_p+P_b$ (ostrosłup).
$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.
$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole boczne.
Podstawą jest wielokąt foremny; obliczenia korzystają z jego pola i obwodu.
Przekątną bryły wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni.
Przecięcie bryły płaszczyzną daje figurę płaską (wielokąt).
W ostrosłupie daje figurę podobną do podstawy, w graniastosłupie — przystającą.
Przekątna ściany $a\sqrt2$, przekątna sześcianu $a\sqrt3$.
Obliczanie pól przekrojów i kątów.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.