Walec, stożek i kula — jak powstają przez obrót figury, tworząca, przekrój osiowy i elementy brył obrotowych.
9 definicjiObjętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła — ile sześcianów jednostkowych da się w niej zmieścić. Podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm$^3$, dm$^3$, m$^3$.
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c$$
$$V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$V_{\text{graniastosłup}}=P_p\cdot H$$
Ostatni wzór jest najogólniejszy — prostopadłościan to po prostu graniastosłup o podstawie prostokątnej.
$$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$
Przelicznik objętości to sześcian przelicznika długości: skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^3=100\cdot100\cdot100$ cm$^3$.
$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$
To najważniejsza zamiana w zadaniach o pojemnikach i akwariach.
Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.
Przykład dla graniastosłupa trójkątnego: $5$ ścian, $6$ wierzchołków, $9$ krawędzi.
Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko. Siatka sześcianu składa się z $6$ jednakowych kwadratów; można je ułożyć na $11$ różnych sposobów.
To dwie różne wielkości: pole podajemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$. Pole powierzchni sześcianu to $6a^2$, a objętość to $a^3$.
Przy zmianie wymiarów objętość rośnie w trzeciej potędze — podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Przy przeliczaniu jednostek objętości dzielimy przez $1000$ lub $1\,000\,000$, nie przez $100$.
Wyróżniamy graniastosłupy, ostrosłupy oraz bryły obrotowe (walec, stożek, kula).
Bryły mają ściany, krawędzie i wierzchołki. Sześcian ma $6$ ścian, $12$ krawędzi i $8$ wierzchołków.
Objętość mierzymy w jednostkach sześciennych (np. $cm^3$), a pole powierzchni w kwadratowych (np. $cm^2$).
Siatka to płaska figura, z której po zagięciu powstaje bryła.
Graniastosłup $V=P_p H$; ostrosłup $V=\frac{1}{3}P_p H$.
Pole powierzchni to suma pól z siatki bryły.
Wypisz dane, rozpoznaj bryłę, dobierz wzór, pilnuj jednostek.
Sześcian o krawędzi $a$: $V=a^3$, $P_c=6a^2$.
$$V=\pi r^2H,\qquad P_b=2\pi rH,\qquad P_c=2\pi r(r+H)$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o wymiarach $2\pi r$ (obwód podstawy) na $H$. Przekrój osiowy to prostokąt $2r\times H$.
$$V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_b=\pi rl,\qquad P_c=\pi r(r+l)$$
gdzie $l$ to tworząca, powiązana z pozostałymi wymiarami przez twierdzenie Pitagorasa:
$$l=\sqrt{r^2+H^2}$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $l$ i kącie $\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ$. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny.
$$V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2$$
Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Przekrój przez środek (koło wielkie) ma promień $r$, a w odległości $d$ od środka — promień $\sqrt{r^2-d^2}$.
Podwojenie promienia zwiększa pole $4$ razy, a objętość $8$ razy — bo pole zależy od $r^2$, a objętość od $r^3$.
W stożku do objętości wchodzi wysokość $H$, a do pola bocznego tworząca $l$ — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. W zadaniach o przekroju osiowym będącym kwadratem (walec) zachodzi $H=2r$.
Kula to zbiór punktów przestrzeni odległych od środka o nie więcej niż promień $r$; jej brzeg to sfera.
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$.
$P=4\pi r^2$.
Każdy przekrój płaszczyzną to koło.
Walec ma dwie równoległe podstawy będące kołami i powierzchnię boczną.
$V=\pi r^2\cdot H$.
$P_c=2\pi r^2+2\pi r H$.
To prostokąt o bokach $2r$ i $H$.
Kula wpisana w sześcian o krawędzi $a$ ma promień $\frac{a}{2}$; kula opisana ma promień $\frac{a\sqrt3}{2}$.
Promień podstawy walca wpisanego to $\frac{a}{2}$.
Środek kuli wpisanej i opisanej pokrywa się ze środkiem bryły.
Zadania o stosunku objętości i pól.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.