Bryły — zadania

Krok 1. Ustalenie wymiarów prostopadłościanu.
Na początku spróbujmy ustalić jakie to wymiary będzie mieć nasz nowo powstały prostopadłościan. Najlepiej będzie to widać na rysunku pomocniczym:


Po zsumowaniu odpowiednich długości widzimy wyraźnie, że nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(3cm\times3cm\times3cm\).

Krok 2. Ustalenie ile klocków sześciennych trzeba dołożyć.
Nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(3cm\times3cm\times3cm\), czyli jego objętość będzie równa:
$$V=3cm\cdot3cm\cdot3cm \           ,\
V=27cm^3$$

W tym prostopadłościanie znajdują się już cztery klocki o wymiarach \(2cm\times1cm\times1cm\), czyli ich łączna objętość jest równa:
$$V=4\cdot2cm\cdot1cm\cdot1cm \           ,\
V=4\cdot2cm^3 \           ,\
V=8cm^3$$

To oznacza, że do zapełnienia kostkami sześciennymi zostaje nam przestrzeń równa \(27cm^3-8cm^3=19cm^3\).

Sześcienne kostki, które mamy dołożyć, mają długość krawędzi równą \(1cm\). W związku z tym objętość każdego takiego klocka jest równa:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm \           ,\
V=1cm^3$$

W związku z tym liczba klocków sześciennych, które musimy dołożyć będzie równa:
$$19cm^3:1cm^3=19$$

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy walca.
Znając pole podstawy walca możemy obliczyć długość promienia tej podstawy.
$$P_{p}=πr^2 \           ,\
36π=πr^2 \           ,\
r^2=36 \           ,\
r=6$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej walca.
Skoro pole powierzchni bocznej jest trzykrotnie większe niż pole podstawy, to:
$$P_{b}=36π\cdot3 \           ,\
P_{b}=108π$$

Krok 3. Obliczenie wysokości walca.
Wysokość walca obliczymy z informacji o jego polu powierzchni bocznej. Pole powierzchni bocznej walca określa się wzorem:
$$P_{b}=2πr\cdot H$$

Skoro znamy długość promienia \(r=6\), znamy wartość tego pola powierzchni \(P_{b}=108π\), to bez przeszkód wyznaczymy wysokość bryły:
$$108π=2π\cdot6\cdot H \           ,\
108π=12π\cdot H \           ,\
H=9$$

Dokładnie siedem sześcianów będzie mieć pomalowane cztery ściany, oto one:

Tutaj musimy użyć wyobraźni przestrzennej. Składając siatkę punkt \(P\) pokryje się jedynie z punktem \(Z\). Jeśli nie potrafisz sobie tego wyobrazić, to warto zauważyć, że punkt \(P\) znajduje się po prawej stronie siatki i nie ma możliwości by zbiegł się on w jakikolwiek sposób z punktami będącymi po lewej stronie siatki, czy też z górnym punktem \(W\).

Krok 1. Obliczenie objętości walca.
Promień podstawy walca jest równy \(r=4cm\), wysokość wynosi \(h=4,5cm\), zatem objętość walca jest równa:
$$V_{w}=πr^2\cdot h \           ,\
V_{w}=π4^2\cdot4,5 \           ,\
V_{w}=16π\cdot4,5 \           ,\
V_{w}=72π[cm^3]$$

Krok 2. Obliczenie objętości półkuli.
Oczywiście wzoru jako takiego na objętość półkuli nie mamy, ale znając wzór na objętość kuli \(V_{k}=\frac{4}{3}πr^3\) możemy pomnożyć całość przez \(\frac{1}{2}\) i otrzymamy wtedy objętość półkuli. Z racji tego iż półkula ma promień o długości \(r=3cm\), to jej objętość będzie równa:
$$V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}πr^3 \           ,\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}π\cdot3^3 \           ,\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}π\cdot27 \           ,\
V_{p}=\frac{1}{2}\cdot36π \           ,\
V_{p}=18π[cm^3]$$

Krok 3. Obliczenie stosunku objętości walca do objętości półkuli.
Znając obydwie objętości bez problemu możemy odpowiedzieć ile razy objętość półkuli jest mniejsza od objętości walca:
$$\frac{V_{w}}{V_{p}}=\frac{72π\;cm^3}{18π\;cm^3}=4$$

To oznacza, że objętość półkuli jest czterokrotnie mniejsza od objętości walca.

Z rysunku widzimy, że interesującą nas bryłą jest ostrosłup, a konkretniej rzecz ujmując czworościan foremny (wiemy to, bo mamy podane w treści zadania, że ściany są trójkątami równobocznymi). Siatkami z których da się stworzyć taki ostrosłup są jedynie siatki o numerach I oraz II. Siatka numer III nie zbiegnie nam się tak jakbyśmy tego oczekiwali.

Krok 1. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Skoro podstawa równoległoboku ma długość \(44cm\), a jego pole jest równe \(220cm^2\), to możemy w prosty sposób obliczyć wysokość tej figury:
$$P=a\cdot h \           ,\
220=44\cdot h \           ,\
h=5[cm]$$

Obliczona przed chwilą wysokość równoległoboku jest tak naprawdę wysokością bryły, co przyda nam się do obliczenia objętości w ostatnim kroku.

Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy walca.
Nasza długość \(44cm\) jest tak naprawdę obwodem koła będącego w podstawie walca. Możemy ten fakt wykorzystać do obliczenia długości promienia podstawy, wykorzystując przy okazji przybliżenie \(π=\frac{22}{7}\).
$$Obw=2πr \           ,\
44=2\cdot\frac{22}{7}r \           ,\
44=\frac{44}{7}r \quad\bigg/\cdot7 \           ,\
308=44r \           ,\
r=7[cm]$$

Krok 3. Obliczenie objętości pudełka.
Znamy wysokość bryły (\(h=5cm\)), znamy też długość promienia podstawy (\(r=7cm\)), więc możemy bez przeszkód obliczyć objętość:
$$V=πr^2\cdot h \           ,\
V=\frac{22}{7}\cdot7^2\cdot5 \           ,\
V=\frac{22}{7}\cdot49\cdot5 \           ,\
V=770[cm^3]$$

Zadanie jest podchwytliwe, bo bardzo łatwo jest obliczyć niektóre klocki podwójnie (zwłaszcza te będące wierzchołkami bryły), dlatego warto sobie przeanalizować wszystko krok po kroku.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Szkielet naszego prostopadłościanu będzie wyglądał mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie liczby pomarańczowych klocków.
Pomarańczowych klocków przy każdej krawędzi o długości \(36cm\) mamy dokładnie \(7\). Takich krawędzi mamy \(4\), zatem pomarańczowych klocków jest:
$$4\cdot7=28$$

Krok 3. Obliczenie liczby zielonych klocków.
Przy każdej krawędzi o długości \(28cm\) mieści się \(5\) klocków. Takich krawędzi mamy \(4\), zatem zielonych klocków jest:
$$4\cdot5=20$$

Krok 4. Obliczenie liczby niebieskich klocków.
Przy każdej krawędzi o długości \(20cm\) mieszczą się \(3\) klocki. Takich krawędzi mamy oczywiście \(4\), zatem niebieskich klocków jest:
$$4\cdot3=12$$

Krok 5. Obliczenie liczby fioletowych klocków.
Fioletowe klocki to te klocki znajdujące się w wierzchołkach graniastosłupa. Jest ich łącznie \(8\) sztuk.

Krok 6. Obliczenie łącznej liczby wszystkich klocków.
Wszystkich klocków mamy zatem:
$$28+20+12+8=68$$

Krok 1. Zapisanie wzorów kuli i walca.
Objętość kuli opiszemy wzorem:
$$V_{k}=\frac{4}{3}πr^3$$

Objętość walca opiszemy wzorem:
$$V_{w}=P_{p}\cdot H \           ,\
V_{w}=πr^2\cdot r \           ,\
V_{w}=πr^3$$

Krok 2. Zapisanie stosunku objętości walca względem kuli.
$$V_{k}=\frac{4}{3}πr^3 \           ,\
V_{k}=\frac{4}{3}\cdot V_{w} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4} \           ,\
V_{w}=\frac{3}{4}V_{k}$$

Prawdziwe zatem było trzecie zdanie.

Krok 1. Obliczenie objętości dużego sześcianu.
Wiemy, że nasz duży sześcian składa się z \(64\) małych sześcianików z czego każdy taki mały sześcianik ma krawędź \(1cm\). Objętość każdego takiego małego sześcianu o krawędzi \(1cm\) wynosi:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm=1cm^3$$

Jeżeli mamy \(64\) takie sześcianiki, to objętość naszej bryły jest równa:
$$64\cdot1cm^3=64cm^3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nam do obliczeń potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu, którą wyznaczymy właśnie znając obliczoną przed chwilą objętość bryły:
$$V=a^3 \           ,\
64cm^3=a^3 \           ,\
a=4$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Znając krawędź sześcianu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni. Nasz sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian z czego każda ma bok długości \(4cm\), zatem pole powierzchni sześcianu jest równe:
$$P_{p}=6\cdot4cm\cdot4cm \           ,\
P_{p}=6\cdot16cm^2 \           ,\
P_{p}=96cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły.
Teraz przystąpimy do obliczenia pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły. W tym celu pomoże nam poniższy rysunek:


Taka figura znajduje się w każdej ze ścian bocznych, dlatego musimy obliczyć jej pole powierzchni. Możemy to zrobić na różne sposoby np. dzieląc sobie tę figurę na prostokąty i kwadraty, ale najprościej będzie chyba dostrzec, że pole takiej ściany bocznej jest równe polu kwadratu o wymiarach \(4cm\times4cm\) pomniejszonego o cztery małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\):
$$P=(4cm)^2-4\cdot(1cm)^2 \           ,\
P=16cm^2-4cm^2 \           ,\
P=12cm^2$$

Z racji tego iż mamy sześć takich ścian bocznych, to:
$$P_{b}=6\cdot12cm^2 \           ,\
P_{b}=72cm^2$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni wypustek.


Każda pojedyncza wypustka tworzy nam trzy małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\). Czyli każda taka wypustka powiększa nam pole powierzchni bryły o:
$$3\cdot1cm\cdot1cm=3cm^2$$

Takich wypustek mamy łącznie \(8\), więc ich łączne pole powierzchni będzie równe:
$$8\cdot3cm^2=24cm^2$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej nowopowstałej bryły.
Pole powierzchni nowej bryły jest więc równe:
$$P_{c}=72cm^2+24cm^2 \           ,\
P_{c}=96cm^2$$

Krok 1. Obliczenie objętości ośmiu małych kul.
Zacznijmy od policzenia objętości pojedynczej małej kuli. Skorzystamy tu ze wzoru na objętość kuli:
$$V=\frac{4}{3}πr^3 \           ,\
V=\frac{4}{3}π\cdot1^3 \           ,\
V=\frac{4}{3}π$$

Skoro mamy \(8\) takich kul, to ich łączna objętość będzie równa:
$$V=\frac{4}{3}π\cdot8$$

I w takiej formie to zostawmy, bo łatwiej nam będzie wykonać obliczenia w kolejnym kroku.

Krok 2. Ustalenie objętości pojedynczej dużej kuli.
Musimy powiedzieć dla jakiego promienia otrzymamy kulę o objętości \(V=\frac{4}{3}π\cdot8\). Czyli musimy powiedzieć kiedy:
$$\frac{4}{3}πr^3=\frac{4}{3}π\cdot8$$

Skracając wszystkie miary zostanie nam:
$$r^3=8 \           ,\
r=2$$

To oznacza, że duża kula musi mieć promień równy \(2\).

Krok 1. Obliczenie objętości modeliny.
Na początku obliczmy objętość walca, czyli pojedynczej modeliny. Wzór na objętość walca jest następujący:
$$V=πr^2\cdot H$$

Jak więc widzimy, do obliczenia objętości walca potrzebny jest nam promień walca, a my w treści zadania mamy podaną średnicę. Wiedząc że promień jest dwa razy krótszy od średnicy możemy napisać, że \(r=2cm:2=1cm\). Teraz bez przeszkód możemy obliczyć objętość pojedynczej modeliny.
$$V=π1^2\cdot6 \           ,\
V=6π[cm^3]$$

Obliczyliśmy, że pojedyncza modelina ma \(6π\;cm^3\) objętości. Z racji tego iż mamy dwie takie modeliny, to łącznie będzie to:
$$2\cdot6πcm^3=12π\;cm^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości pojedynczego koralika.
Koralik jest kulą, zatem jego objętość obliczymy ze wzoru:
$$V=\frac{4}{3}πr^3$$

Tutaj podobnie jak przed chwilą - potrzebujemy do objętości znać długość promienia, a znamy długość średnicy. Skoro tak, to \(r=1cm:2=\frac{1}{2}cm\). Teraz bez przeszkód możemy obliczyć objętość pojedynczego koralika:
$$V=\frac{4}{3}π\cdot\left(\frac{1}{2}cm\right)^3 \           ,\
V=\frac{4}{3}π\cdot\frac{1}{8}cm^3 \           ,\
V=\frac{1}{6}π\;cm^3$$

Krok 3. Obliczenie liczby koralików.
Mamy \(12πcm^3\) modeliny i lepimy z niej koraliki o objętości \(\frac{1}{6}π\;cm^3\). Dzieląc te dwie liczby przez siebie obliczymy ile koralików jesteśmy w stanie ulepić:
$$12π\;cm^3:\frac{1}{6}π\;cm^3=72$$

Aby odpowiedzieć sobie na pytanie który walec ma największą objętość, najprościej będzie podstawić wymiary każdego z nich do wzoru na objętość walca:
$$V=πr^2\cdot H$$

Podstawiając do tego wzoru wymiary poszczególnych walców otrzymamy:
$$V_{1}=π6^2\cdot6=36π\cdot6=216π \           ,\
V_{2}=π5^2\cdot9=25π\cdot9=225π \           ,\
V_{3}=π4^2\cdot12=16π\cdot12=192π \           ,\
V_{4}=π3^2\cdot18=9π\cdot18=162π$$

Największą powierzchnię miał więc drugi walec.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować szkice dwóch brył, które są przedmiotem naszego zadania, nanosząc od razu dane z treści zadania:


Krok 2. Obliczenie wysokości stożka (foremki).
Generalnie istota zadania opiera się na tym by obliczyć objętość dwóch naszkicowanych przed chwilą brył. Obliczenie wartości walca jest proste, bo mamy wszystkie potrzebne dane. Nieco gorzej jest ze stożkiem, bo tutaj brakuje nam wysokości tej bryły. Musimy zatem na samym początku obliczyć długość tej wysokości, a pomoże nam w tym Twierdzenie Pitagorasa:
$$5^2+H^2=13^2 \           ,\
25+H^2=169 \           ,\
H^2=144 \           ,\
H=12$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka (foremki).
Obliczenia objętości brył zaczniemy od obliczenia objętości stożka, a w tym pomoże nam wzór na objętość tej bryły, który ma następującą postać:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Z racji tego iż w podstawie mamy koło, to pod \(P_{p}\) możemy podstawić wzór na pole koła, czyli \(πr^2\). Promień tego koła jest znany (\(r=5\)), wysokość obliczyliśmy w poprzednim kroku (\(H=12\)), zatem teraz bez przeszkód obliczymy objętość stożka:
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}π\cdot5^2\cdot12 \           ,\
V=\frac{1}{3}π\cdot5^2\cdot12 \           ,\
V=4π\cdot25 \           ,\
V=100π$$

Krok 4. Obliczenie objętości walca (wiaderka).
Wiaderko ma promień podstawy równy dwukrotności promienia podstawy foremki, czyli:
$$r=2\cdot5cm=10cm$$

Wiemy już, że w podstawie znajduje się koło o promieniu \(r=10cm\), dodatkowo z treści zadania wiemy że wysokość walca jest równa \(H=36cm\), czyli objętość walca będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H \           ,\
V=πr^2\cdot H \           ,\
V=π\cdot10^2\cdot36 \           ,\
V=100π\cdot36 \           ,\
V=3600π$$

Krok 5. Obliczenie jaka część wiaderka została wypełniona.
Dziecko do wiaderka wrzuciło \(6\) foremek piasku, z czego każda ma objętość \(V=100π\). Zatem wrzucona objętość wynosi \(6\cdot100π=600π\). Wiaderko ma objętość \(3600π\), zatem piasek z sześciu foremek stanowi:
$$\frac{600π}{3600π}=\frac{1}{6}$$

Zadanie możemy zrobić na dwa sposoby:
I sposób - korzystając ze skali podobieństwa.
Jeżeli jajka są podobne w skali \(3:1\) to znaczy, że ich skala podobieństwa jest równa \(k=3\).
Jeśli dwie bryły są do siebie podobne w skali podobieństwa \(k\) to ich objętości są podobne w skali \(k^3\) (dla przypomnienia: skala podobieństwa pól powierzchni jest równa \(k^2\)).
Skoro tak, to żółtko jaja strusia będzie \(k^3=3^3=27\) razy większe od jajka kurzego.

II sposób - korzystając ze wzoru na objętość kuli.
Objętość kuli wyliczymy ze wzoru:
$$V=\frac{4}{3}πr^3$$

Nie znamy długości promieni żółtek obydwu jajek, ale możemy zapisać, że:
\(r\) - promień jajka kurzego
\(3r\) - promień jajka strusiego

W związku z tym objętość żółtek będzie następująca:
Żółtko jajka kurzego: \(V=\frac{4}{3}πr^3\)
Żółtko jajka strusiego: \(V=\frac{4}{3}π(3r)^3=\frac{4}{3}π27r^3\)

Przyrównując te dwie wartości widzimy wyraźnie, że objętość żółtka jajka strusia jest \(27\) razy większa od objętości żółtka jaja kurzego.

Wzór na pole stożka to:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Z treści zadania wynika, że:
$$V=45m^3 \           ,\
P_{p}=54m^2$$

Szukamy wysokości kopca (czyli stożka) i jest to nasza jedyna niewiadoma we wzorze na objętość stożka, zatem podstawiając dane z treści zadania do wzoru otrzymamy:
$$45m^3=\frac{1}{3}\cdot54m^2\cdot H \           ,\
45m^3=18m^2\cdot H \           ,\
H=\frac{45m^3}{18m^2} \           ,\
H=2,5m$$

Musimy obliczyć ile papieru zużyto na każdą z czapeczek, czyli tak naprawdę musimy obliczyć pole powierzchni bocznej obydwu brył.
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni bocznej pierwszej czapki.
Pierwsza czapka jest w kształcie ostrosłupa sześciokątnego foremnego. W ścianach bocznych mamy trójkąty o podstawie \(10cm\) i wysokości \(30cm\). Zatem każdy taki trójkąt ma pole powierzchni równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot30cm \           ,\
P=150cm^2$$

Z racji tego iż powierzchnią boczną stanowi sześć takich trójkątów to pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b1}=6\cdot150cm^2 \           ,\
P_{b1}=900cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej drugiej czapki.
Druga czapka jest w kształcie stożka. Jego pole powierzchni bocznej wyliczymy ze wzoru:
$$P_{b}=πrl$$

Potrzebujemy więc znać długość promienia \(r\) oraz długość tworzącej stożka \(l\). Długość tworzącej jest znana: \(l=30cm\). Pułapką jest natomiast długość promienia, bo na rysunku mamy podaną długość średnicy. Skoro średnica jest równa \(20cm\), to promień będzie równy: \(r=10cm\).

Mając komplet danych możemy je podstawić do wzoru:
$$P_{b2}=π\cdot10cm\cdot30cm \           ,\
P_{b2}=300π\;cm^2$$

Krok 3. Porównanie pól powierzchni bocznych obydwu czapek.
Musimy porównać teraz otrzymane pola powierzchni, gdyż musimy odpowiedzieć na pytanie która czapka zużyła więcej papieru. Aby dokonać tego porównania musimy obliczyć przybliżenie pola powierzchni bocznej drugiej czapki, stosując przybliżenie \(π=3,14\). Zatem:
$$P_{b2}=300π cm^2=300cm^2\cdot3,14=942cm^2$$

Teraz wyraźnie widzimy, że większą powierzchnię boczną ma druga czapka, bo:
$$942cm^2\gt900cm^2\           ,\
P_{b2}\gt P_{b1}$$

To zadanie sprawdza naszą wyobraźnię. Pola całkowite pierwszej i drugiej bryły są jednakowe i są równe początkowemu sześcianowi (czyli temu przed wycięciem poszczególnych elementów).

Poprawną odpowiedzią jest więc, że "Nie, ponieważ całkowite pole powierzchni każdej z otrzymanych brył jest
równe całkowitemu polu powierzchni początkowej kostki".