Upraszczanie wyrażeń algebraicznych

„Powiększona o” oznacza dodawanie:

$$x+7$$

Rozróżnienie: „powiększona o $7$” to dodawanie, ale „powiększona $7$ razy” to już mnożenie ($7x$).

Odpowiedź: B. $x+7$.

„Powiększona o” oznacza dodawanie:

$$x+7$$

Dla porównania: „powiększona siedmiokrotnie” dałoby $7x$ — to zupełnie co innego.

Odpowiedź: C. $x+7$.

Podstawiamy liczby w miejsce liter:

$$3\cdot4+2\cdot5=12+10=22$$

Uwaga na kolejność działań: najpierw mnożenia, dopiero potem dodawanie.

Odpowiedź: $22$.

Podstawiamy $4$ w miejsce $x$:

$$3\cdot4+5=12+5=17$$

Odpowiedź: $17$.

Wszystkie składniki mają tę samą literę, więc są wyrazami podobnymi — działamy na współczynnikach:

$$(5+3-2)x=6x$$

Odpowiedź: $6x$.

Wszystkie wyrazy są podobne (mają tę samą literę), więc dodajemy i odejmujemy współczynniki:

$$(5+3-2)a=6a$$

Odpowiedź: $6a$.

Grupujemy wyrazy podobne — osobno z literą $a$, osobno z $b$:

$$(4a-a)+(3b+2b)=3a+5b$$

Ważne: wyrazów z różnymi literami nie można połączyć — $3a$ i $5b$ zostają osobno. Zapis $8ab$ (odpowiedź A) jest błędny.

Uwaga na współczynnik: $a$ bez liczby przed sobą ma współczynnik $1$, więc $4a-a=3a$.

Odpowiedź: C. $3a+5b$.

Redukujemy osobno wyrazy z $x$ i osobno z $y$:

$$4x-x=3x,\qquad 3y+2y=5y$$

$$3x+5y$$

Uwaga: wyrazów z różnymi literami nie wolno łączyć — $3x$ i $5y$ zostają osobno.

Odpowiedź: A. $3x+5y$.

Odejmujemy $9$ od obu stron:

$$x=15-9=6$$

Sprawdzenie: $6+9=15$ ✔

Odpowiedź: $x=6$.

Prostokąt ma dwa boki po $a$ i dwa po $b$:

$$O=2a+2b=2(a+b)$$

Oba zapisy są poprawne — drugi jest krótszy.

Odpowiedź: $2(a+b)$.

Dzielimy obie strony przez $4$:

$$x=\frac{28}{4}=7$$

Sprawdzenie: $4\cdot7=28$ ✔

Odpowiedź: $x=7$.

Podstawiamy i pamiętamy o kolejności działań — najpierw potęga:

$$5^2-2\cdot5=25-10=15$$

Pułapka: potraktowanie $x^2$ jako $2x$ dałoby $10-10=0$.

Odpowiedź: D. $15$.

Kwadrat ma cztery równe boki, więc obwód to suma czterech odcinków długości $a$:

$$a+a+a+a=4a$$

Nie mylić z polem: pole kwadratu to $a^2$ (odpowiedź B) — to zupełnie inna wielkość.

Odpowiedź: A. $4a$.

Krok 1 — opuszczamy nawias (mnożymy każdy składnik przez $2$):

$$2x+6+4x$$

Krok 2 — redukujemy wyrazy podobne:

$$6x+6$$

Sprawdzenie dla $x=1$: wyjściowo $2\cdot4+4=12$, a po uproszczeniu $6+6=12$ ✔

Odpowiedź: $6x+6$.

Krok 1 — odejmujemy $4$ od obu stron:

$$3x=19-4=15$$

Krok 2 — dzielimy przez $3$:

$$x=\frac{15}{3}=5$$

Sprawdzenie: $3\cdot5+4=19$ ✔

Kolejność: najpierw pozbywamy się liczby dodanej, dopiero potem dzielimy — to odwrotność kolejności działań.

Odpowiedź: $x=5$.

Krok 1 — budujemy wyrażenie. Podwojona liczba to $2n$, a „o $3$ większa” dodaje trójkę:

$$2n+3$$

Krok 2 — wartość dla $n=7$:

$$2\cdot7+3=17$$

Uwaga na kolejność słów: „podwojona liczba o $3$ większa” znaczyłoby $2(n+3)$ — to inne wyrażenie.

Odpowiedź: $2n+3$, wartość $17$.

Sposób 1 — najpierw nawias:

$$2(5+3)=2\cdot8=16$$

Sposób 2 — najpierw rozwijamy wyrażenie:

$$2(x+3)=2x+6=2\cdot5+6=10+6=16$$

Oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $16$.

Wyrazy podobne mają tę samą część literową — różnią się tylko współczynnikiem.

Para $5a$ i $-2a$ spełnia ten warunek, więc można je zredukować do $3a$.

Pozostałe: różne litery ($x$ i $y$), różne potęgi ($x$ i $x^2$), litera i sama liczba ($2b$ i $2$).

Odpowiedź: B. $5a$ i $-2a$.

Czytamy zdanie od środka: „trzykrotność liczby $x$” to $3x$, a „o $3$ mniejsza” oznacza odjęcie $3$:

$$3x-3$$

Uwaga na kolejność odejmowania: odpowiedź A ($3-3x$) odwraca kierunek — to byłaby liczba o trzykrotność mniejsza od $3$.

Odpowiedź: D. $3x-3$.

Podstawiamy obie wartości:

$$2\cdot4+3\cdot(-2)=8-6=2$$

Uwaga na znak: mnożenie liczby dodatniej przez ujemną daje wynik ujemny, więc drugi składnik odejmujemy.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$2x-x=5+7$$

Krok 2 — redukujemy:

$$x=12$$

Sprawdzenie: lewa $2\cdot12-7=17$, prawa $12+5=17$ ✔

Odpowiedź: $x=12$.

Mnożymy przez $3$ każdy składnik w nawiasie:

$$3\cdot2x-3\cdot5=6x-15$$

Najczęstszy błąd: pomnożenie tylko pierwszego składnika, co daje $6x-5$.

Odpowiedź: C. $6x-15$.

Krok 1 — rozwijamy nawiasy:

$$3x+6+2x-2$$

Krok 2 — grupujemy wyrazy podobne:

$$(3x+2x)+(6-2)=5x+4$$

Uwaga: mnożymy przez liczbę przed nawiasem każdy składnik w środku, nie tylko pierwszy.

Odpowiedź: $5x+4$.

Krok 1 — opuszczamy nawias. Przed nawiasem stoi minus, więc zmieniamy znak każdego składnika:

$$7y-3y+4$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4y+4$$

Sprawdzenie dla $y=2$: wyjściowo $14-(6-4)=12$, a po uproszczeniu $8+4=12$ ✔

Odpowiedź: $4y+4$.

Podstawiamy $x=4$ do każdego równania:

$$\text{B: } 2\cdot4-3=8-3=5 \ ✔$$

Pozostałe: A daje $8\neq4$, C daje $12\neq15$, D daje $3\neq4$.

Odpowiedź: B. $2x-3=5$.

Krok 1 — boki: $x$ oraz $x+4$.

Krok 2 — pole:

$$P=x(x+4)$$

Krok 3 — dla $x=6$:

$$6\cdot10=60$$

Odpowiedź: $P=x(x+4)$, dla $x=6$ pole wynosi $60$.

Krok 1 — zapisujemy równanie. Niech liczba to $x$:

$$5x-8=27$$

Krok 2 — dodajemy $8$ do obu stron:

$$5x=35$$

Krok 3 — dzielimy przez $5$:

$$x=7$$

Sprawdzenie: $5\cdot7-8=35-8=27$ ✔

Odpowiedź: pomyślana liczba to $7$.

Mianowniki są równe, więc dodajemy liczniki:

$$\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x$$

Sprawdzenie dla $x=8$: $4+4=8$ ✔

Odpowiedź: A. $x$.

Krok 1 — wyrażenie. Prostokąt ma dwa boki $a$ i dwa boki $b$:

$$O=2a+2b \qquad \text{lub} \qquad O=2(a+b)$$

Krok 2 — podstawiamy liczby:

$$O=2(7+4)=2\cdot11=22$$

Odpowiedź: $O=2(a+b)$; dla podanych danych $O=22$.

Krok 1 — przenosimy liczbę na prawą stronę:

$$2x=19-7=12$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=6$$

Sprawdzenie: $2\cdot6+7=19$ ✔

Odpowiedź: $x=6$.

Mnożymy obie strony przez $3$:

$$x=6\cdot3=18$$

Sprawdzenie: $\frac{18}{3}=6$ ✔

Pułapka: odpowiedź A to wynik dzielenia $6:3$ — przy niewiadomej w liczniku wykonujemy działanie odwrotne, czyli mnożenie.

Odpowiedź: C. $18$.

„Razy mniejsza” oznacza dzielenie:

$$\frac{x}{3}$$

Rozróżnienie: „o $3$ mniejsza” to $x-3$ (odejmowanie), a „$3$ razy mniejsza” to $\frac{x}{3}$ (dzielenie).

Odpowiedź: D. $\frac{x}{3}$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to wiek Ani, wtedy Marek ma $x+6$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+6)=28$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2x+6=28 \quad\Rightarrow\quad 2x=22 \quad\Rightarrow\quad x=11$$

Krok 4 — wiek obu osób: Ania $11$ lat, Marek $11+6=17$ lat.

Sprawdzenie: $11+17=28$ ✔ i różnica $17-11=6$ ✔

Odpowiedź: Ania ma $11$ lat, Marek $17$.

Krok 1 — opuszczamy pierwszy nawias:

$$4x+8$$

Krok 2 — opuszczamy drugi. Przed nawiasem stoi minus i liczba $3$, więc mnożymy przez $-3$:

$$-3x+3$$

Krok 3 — składamy i redukujemy:

$$4x+8-3x+3=x+11$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $4\cdot4-3\cdot1=16-3=13$, a po uproszczeniu $2+11=13$ ✔

Najczęstszy błąd: zapisanie $-3x-3$ zamiast $-3x+3$ — minus musi zmienić znak obu składników.

Odpowiedź: $x+11$.

Krok 1 — rozwijamy nawias. Uwaga na minus przed nawiasem — mnożymy przez $-2$:

$$7y-2y-6$$

Krok 2 — redukujemy wyrazy podobne:

$$5y-6$$

Najczęstszy błąd: pominięcie znaku przy drugim składniku i zapisanie $7y-2y+6$. Minus dotyczy całego nawiasu.

Odpowiedź: $5y-6$.

Krok 1 — wiek teraz. Marek $x$, siostra $x-4$:

$$S=x+(x-4)=2x-4$$

Krok 2 — za $5$ lat. Każde z nich będzie starsze o $5$ lat:

$$(x+5)+(x-4+5)=(x+5)+(x+1)=2x+6$$

Kontrola: suma wzrosła o $10$ — po $5$ lat dla każdej z dwóch osób ✔ Faktycznie $(2x+6)-(2x-4)=10$.

Odpowiedź: teraz $2x-4$, za $5$ lat $2x+6$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to liczba chłopców, wtedy dziewcząt jest $3x$.

Krok 2 — równanie:

$$x+3x=24 \quad\Rightarrow\quad 4x=24 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Krok 3 — liczby uczniów: chłopców $6$, dziewcząt $3\cdot6=18$.

Sprawdzenie: $6+18=24$ ✔, a $18$ to trzy razy $6$ ✔

Odpowiedź: $6$ chłopców i $18$ dziewcząt.

Krok 1 — podstawiamy:

$$\frac{9+3}{9-3}=\frac{12}{6}=2$$

Krok 2 — kiedy wyrażenie nie ma sensu. Mianownik nie może być zerem:

$$a-b=0 \quad\Rightarrow\quad b=a=9$$

Wniosek: dla $b=9$ (czyli gdy $b$ równa się $a$) dzielilibyśmy przez zero — a to działanie niewykonalne.

Odpowiedź: wartość wynosi $2$; wyrażenie traci sens dla $b=9$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to cena jednej książki:

$$3x+12=69$$

Krok 2 — odejmujemy cenę notesu:

$$3x=69-12=57$$

Krok 3 — dzielimy przez $3$:

$$x=\frac{57}{3}=19$$

Sprawdzenie: $3\cdot19+12=57+12=69$ zł ✔

Odpowiedź: jedna książka kosztuje $19$ zł.

Krok 1 — kształt figury. Kwadrat i prostokąt sklejone bokiem o długości $a$ tworzą razem prostokąt o wymiarach $(a+b)$ na $a$.

Krok 2 — obwód:

$$O=2\left[(a+b)+a\right]=2(2a+b)=4a+2b$$

Krok 3 — pole:

$$P=a(a+b)=a^2+ab$$

Kontrola pola inną drogą. Kwadrat ma pole $a^2$, prostokąt $ab$, a ich suma to $a^2+ab$ ✔

Uwaga przy obwodzie: nie wolno dodać obwodów obu figur osobno ($4a+2a+2b$), bo bok stykowy leży wewnątrz i nie należy do obwodu.

Odpowiedź: $O=4a+2b$, $P=a^2+ab$.