Czworokąty i ich własności

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($26$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: C. $40$ cm$^2$.

Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Ogólnie: suma kątów $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Każdy czworokąt ma sumę kątów $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

$$O=2(a+b)=2(8+5)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-35^\circ-85^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj. Wszystkie kąty ($35^\circ$, $60^\circ$, $85^\circ$) są mniejsze od $90^\circ$, więc trójkąt jest ostrokątny.

Odpowiedź: $60^\circ$; trójkąt ostrokątny.

$$360^\circ-(80^\circ+95^\circ+110^\circ)=360^\circ-285^\circ=75^\circ$$

Odpowiedź: $75^\circ$.

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{14\cdot6}{2}=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42$ cm$^2$.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: $85^\circ$.

Kwadrat ma cztery kąty proste ($90^\circ$) i cztery równe boki.

Odpowiedź: B. proste.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź A ($31{,}4$) to długość okręgu ($2\pi r$), a nie pole koła.

Odpowiedź: B. $78{,}5$ cm$^2$.

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie (przy tym samym boku) dopełniają się do $180^\circ$.

Pozostałe zdania opisują szczególne przypadki: równe kąty ma prostokąt, równe przekątne — również prostokąt, a równe boki — romb.

Odpowiedź: A. kąty leżące przy tym samym boku sumują się do $180^\circ$.

Trapez ma jedną parę boków równoległych (podstawy). Pozostałe figury mają dwie pary.

Odpowiedź: A. trapez.

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

Cyrkiel — służy do kreślenia okręgów i odmierzania odcinków równej długości.

Kątomierz — służy do mierzenia i odmierzania kątów w stopniach.

Uwaga: w klasycznych konstrukcjach geometrycznych używa się wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki.

Odpowiedź: okrąg — cyrklem, kąty — kątomierzem.

Kąty przeciwległe są równe, sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$:

$$70^\circ,\quad 110^\circ,\quad 70^\circ,\quad 110^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

$$P=a\cdot h=10\cdot4=40\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do podstawy — to nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: A. $40$ cm$^2$.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Odpowiedź: D. $1080^\circ$.

Romb ma cztery równe boki, ale kąty niekoniecznie proste.

Kwadrat to szczególny romb — z kątami prostymi.

Odpowiedź: D. wszystkie boki równe.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(12+8)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

Krok 1 — drugi kąt przy dłuższej podstawie. W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe:

$$65^\circ$$

Krok 2 — kąty przy krótszej podstawie. Kąty przy ramieniu dopełniają się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Krok 1 — drugi bok. Obwód to $2(a+b)$:

$$2(8+b)=26 \quad\Rightarrow\quad 8+b=13 \quad\Rightarrow\quad b=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: drugi bok $5$ cm, pole $40$ cm².

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{10\cdot12}{2}=60\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $2$ — dałoby wynik dwa razy za duży.

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Krok 1 — kąty przy podstawie dolnej. W trapezie równoramiennym są równe: $65^\circ$ i $65^\circ$.

Krok 2 — kąty przy podstawie górnej. Kąt przy tym samym ramieniu dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Krok 3 — wszystkie kąty: $65^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: dwa po $65^\circ$ i dwa po $115^\circ$.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: D. $28$ cm.

Symetralna przecina odcinek w połowie pod kątem prostym. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka.

Uwaga: odpowiedź C opisuje dwusieczną kąta — to inna konstrukcja.

Odpowiedź: B. przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

W kwadracie przekątne są równe, prostopadłe i przecinają się w połowie.

Odpowiedź: C. równe i prostopadłe.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=\frac{72}{9}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(9+8)=34\ \text{cm}$$

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $34$ cm.

Krok 1 — suma kątów przy podstawie:

$$180^\circ-40^\circ=140^\circ$$

Krok 2 — są równe, więc dzielimy na pół:

$$140^\circ:2=70^\circ$$

Sprawdzenie: $40+70+70=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: po $70^\circ$.

Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości.

$$4\ \text{cm}\to400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$5\ \text{cm}\to500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Odpowiedź: $4$ m na $5$ m.

Pole koła to $\pi r^2$, a $2\pi r$ (odpowiedź A) to długość okręgu.

Jak zapamiętać: pole zawsze zawiera kwadrat długości (bo mierzymy powierzchnię), a obwód jest liniowy.

Odpowiedź: B. $\pi r^2$.

Romb ma przekątne, które przecinają się w połowie i pod kątem prostym.

Dla porównania: w prostokącie przekątne dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe; w deltoidzie są prostopadłe, ale tylko jedna dzieli drugą na połowy.

Odpowiedź: C. romb.

W prostokącie przekątne są równe. W rombie (niekwadratowym) — różne.

Odpowiedź: A. prostokąt.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: podstawienie średnicy zamiast promienia dałoby $144\pi$ — wynik cztery razy za duży.

Odpowiedź: $36\pi\approx113$ cm$^2$.

Krok 1 — podział. Kąt $\beta$ to $1$ część, $\alpha$ to $3$ części, razem $4$ części. Kąty przyległe dają $180^\circ$:

$$180^\circ:4=45^\circ$$

Krok 2 — miary:

$$\beta=45^\circ,\qquad \alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Pole rombu liczymy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $24$ cm².

Przekształcamy wzór:

$$h=\frac{2P}{a}=\frac{2\cdot54}{12}=\frac{108}{12}=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{12\cdot9}{2}=54$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość $9$ cm.

Krok 1. Rozwieramy cyrkiel na promień większy niż połowa odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ kreślimy łuk nad i pod odcinkiem.

Krok 3. Tym samym rozwarciem kreślimy łuki z punktu $B$.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach — łączymy je linijką.

Dlaczego to działa: oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$, a zbiór takich punktów to właśnie symetralna.

Odpowiedź: dwa łuki tym samym rozwarciem z obu końców, prosta przez punkty ich przecięcia.

Krok 1 — rzeczywista odległość w cm:

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Odpowiedź: $1{,}5$ km.

Krok 1 — bok:

$$a=24:4=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: C. $36$ cm$^2$.

Kąt zewnętrzny dopełnia kąt wewnętrzny do $180^\circ$, a suma wszystkich trzech kątów też wynosi $180^\circ$ — stąd równość.

Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku z $70^\circ$ wynosi $110^\circ=50^\circ+60^\circ$ ✔

Odpowiedź: A. sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Kwadrat ma wszystkie kąty proste (jak prostokąt) i wszystkie boki równe (jak romb), więc jest jednym i drugim.

Odpowiedź: B. prostokątem i rombem.

Krok 1 — obwód działki:

$$O=2(30+20)=100\ \text{m}$$

Krok 2 — koszt:

$$100\cdot28=2800\ \text{zł}$$

Uwaga: do ogrodzenia liczy się obwód, nie pole.

Odpowiedź: $2800$ zł.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3+4=9$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:9=20^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad 3\cdot20^\circ=60^\circ,\qquad 4\cdot20^\circ=80^\circ$$

Sprawdzenie: $40+60+80=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

Wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(6+10)\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32$$

Odpowiedź: $32$.

$1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$, więc:

$$50\,000:10\,000=5\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $5$ m$^2$.

Z każdego z $5$ wierzchołków wychodzą przekątne do $2$ niesąsiednich wierzchołków:

$$\frac{5\cdot2}{2}=5$$

Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie — z obu końców.

Odpowiedź: D. $5$.

W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie (punkt przecięcia jest środkiem obu).

Uwaga: równość i prostopadłość przekątnych to cechy szczególnych równoległoboków (prostokąt, romb).

Odpowiedź: D. dzielą się na połowy.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — suma:

$$P=36+12=48\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

Kąt odpowiadający — leży po tej samej stronie prostej tnącej, w tym samym położeniu przy drugiej prostej. Jest równy:

$$58^\circ$$

Kąt naprzemianległy wewnętrzny — po przeciwnych stronach prostej tnącej. Również równy:

$$58^\circ$$

Kąt przyległy — dopełnia do kąta półpełnego:

$$180^\circ-58^\circ=122^\circ$$

Podsumowanie: przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią powstają tylko dwie różne miary kątów — tutaj $58^\circ$ i $122^\circ$.

Odpowiedź: odpowiadający $58^\circ$, naprzemianległy $58^\circ$, przyległy $122^\circ$.

Krok 1 — kąty sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$. Oznaczmy je $2x$ i $3x$:

$$2x+3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 5x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$2x=72^\circ,\qquad 3x=108^\circ$$

Krok 3 — wszystkie cztery (przeciwległe równe):

$$72^\circ,\ 108^\circ,\ 72^\circ,\ 108^\circ$$

Sprawdzenie: $72+108+72+108=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $72^\circ$ i $108^\circ$ (po dwa).

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Obserwacja: koło wpisane w kwadrat zajmuje około $78,5\%$ jego pola — na odpady zostaje niecałe $22\%$.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — kąt przeciwległy jest równy:

$$110^\circ$$

Krok 2 — kąty sąsiednie dopełniają do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Takich kątów są dwa.

Krok 3 — kontrola sumy:

$$110+110+70+70=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $110^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$.

Krok 1 — wymiary na planie. Skala $1:1000$ zmniejsza $1000$ razy:

$$30\ \text{m}=3000\ \text{cm}\to3\ \text{cm}$$

$$40\ \text{m}=4000\ \text{cm}\to4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole na planie:

$$3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Uwaga na skalę pól. Rzeczywiste pole to $30\cdot40=1200$ m². Pole na planie jest $1000^2=1\,000\,000$ razy mniejsze — skala pól to kwadrat skali długości.

Odpowiedź: $3$ cm na $4$ cm, pole $12$ cm².

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$2(a+b)=40 \quad\Rightarrow\quad a+b=20$$

Krok 2 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, wtedy długość $x+4$:

$$x+(x+4)=20 \quad\Rightarrow\quad 2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 3 — wymiary i pole:

$$8\ \text{cm} \times 12\ \text{cm},\qquad P=96\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(8+12)=40$ cm ✔

Odpowiedź: $8$ cm na $12$ cm, pole $96$ cm$^2$.

Krok 1 — suma kątów wewnętrznych:

$$(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt wewnętrzny:

$$1800^\circ:12=150^\circ$$

Krok 3 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Kontrola inną drogą: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc dla dwunastokąta foremnego $360^\circ:12=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: wewnętrzny $150^\circ$, zewnętrzny $30^\circ$.

Krok 1 — ramię ukośne. Tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokość $8$ i różnica podstaw $11-5=6$:

$$r=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — pole trapezu:

$$P=\frac{(5+11)\cdot8}{2}=\frac{128}{2}=64$$

Klucz. Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe (= wysokość), a ukośne liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

Odpowiedź: ramię $10$, pole $64$.

Ścieżka to pierścień między dwoma kołami.

Krok 1 — promień zewnętrzny:

$$R=3+1=4\ \text{m}$$

Krok 2 — pola obu kół:

$$P_{zew}=\pi\cdot16=16\pi,\qquad P_{wew}=\pi\cdot9=9\pi$$

Krok 3 — pole ścieżki to różnica:

$$P=16\pi-9\pi=7\pi\approx22\ \text{m}^2$$

Uwaga: nie wystarczy pomnożyć obwodu przez szerokość — ścieżka na zewnątrz jest „szersza” w sensie pola niż prosty pasek.

Odpowiedź: $7\pi\approx22$ m$^2$.

Krok 1 — suma dwóch pozostałych kątów:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Krok 2 — oznaczenie. Niech kąt przy $C$ to $x$, wtedy kąt przy $B$ to $x+30^\circ$:

$$x+(x+30^\circ)=110^\circ$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$2x=80^\circ \quad\Rightarrow\quad x=40^\circ$$

Krok 4 — kąty: przy $C$ jest $40^\circ$, przy $B$ jest $70^\circ$.

Sprawdzenie: $70+70+40=180^\circ$ ✔ oraz $70-40=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąt przy $B$ ma $70^\circ$, przy $C$ — $40^\circ$.

Krok 1 — własność boków. W równoległoboku bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$, a bok $AD$ jest poprzeczną przecinającą te równoległe.

Krok 2 — kąty jednostronne. Kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ leżą po tej samej stronie poprzecznej między prostymi równoległymi — to kąty jednostronne wewnętrzne.

Krok 3 — twierdzenie o kątach jednostronnych. Kąty jednostronne przy prostych równoległych sumują się do $180^\circ$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ \qquad ∎$$

Wniosek. To dlatego w równoległoboku kąty sąsiednie zawsze się dopełniają, a przeciwległe są równe.

Sprawdzenie: jeśli $\angle A=70^\circ$, to $\angle D=110^\circ$, a $70+110=180^\circ$ ✔