Klasa 6 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek nad nią; wszystkie ściany boczne to trójkąty zbiegające się w tym wierzchołku. Graniastosłup ma dwie podstawy i prostokątne ściany boczne.
Dla podstawy o $n$ bokach:
Stąd zadania odwrotne: ostrosłup o $12$ krawędziach ma podstawę sześciokątną ($2n=12$), a ostrosłup o $9$ wierzchołkach — ośmiokątną ($n+1=9$).
Ma podstawę będącą wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie ściany boczne są wtedy przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: jeden kwadrat i cztery jednakowe trójkąty równoramienne. Czworościan foremny: cztery jednakowe trójkąty równoboczne.
$$P_c=P_p+P_b$$
Pole boczne to suma pól trójkątów. Dla ostrosłupa prawidłowego o $n$ ścianach, krawędzi podstawy $a$ i wysokości ściany bocznej $h$ (apotemie):
$$P_b=n\cdot\frac{a\cdot h}{2}$$
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Współczynnik $\frac13$ nie jest przypadkowy: trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
To dwie różne wielkości. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym łączy je trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $h$:
$$h^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Przykład: $a=10$, $h=13$, więc $H=\sqrt{169-25}=12$.
Z $V=\frac13 P_p H$ wynika $H=\frac{3V}{P_p}$ oraz $P_p=\frac{3V}{H}$. Zwróć uwagę na trójkę w liczniku — to najczęściej gubiony element.
Pomijanie $\frac13$ przy objętości ostrosłupa to błąd numer jeden. Numer dwa to wstawianie wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej przy liczeniu pola — zawsze sprawdź, którą wielkość podano w treści.
Co robi: opisuje objętość i pole powierzchni ostrosłupa — bryły o jednej podstawie i trójkątnych ścianach bocznych.
Elementy: $P_p$ — pole podstawy, $H$ — wysokość bryły, $n$ — liczba ścian bocznych, $a$ — krawędź podstawy, $h$ — wysokość ściany bocznej (apotema).
Skąd bierze się jedna trzecia: trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Związek $H$ i $h$ w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym: $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$. Dla $a=10$ i $h=13$ wychodzi $H = 12$.
Przykład: podstawa kwadratowa o boku $10$ (pole $100$), apotema $13$. Wtedy $P_b = 4\cdot\frac{10\cdot13}{2} = 260$, więc $P_c = 360$.
Pułapka: pominięcie $\frac13$ przy objętości — to błąd numer jeden. Numer dwa: wstawienie wysokości bryły zamiast wysokości ściany do wzoru na pole boczne. Zawsze sprawdź, którą wielkość podano w treści.
Ile ścian ma ostrosłup o podstawie czworokąta?
Ile wierzchołków i ile krawędzi ma ostrosłup o podstawie trójkąta (czworościan)?
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $20$ cm$^2$ i wysokości $6$ cm.
Objętość ostrosłupa o polu podstawy $30$ cm$^2$ i wysokości $6$ cm wynosi:
Z jakich figur składa się siatka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego?
Ile krawędzi ma graniastosłup o podstawie ośmiokąta?
Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $6$ cm i wysokości ściany bocznej $5$ cm.
Objętość graniastosłupa wynosi $150$ cm$^3$, a jego wysokość $10$ cm. Oblicz pole podstawy.
Który zapis opisuje objętość ostrosłupa?
Oblicz objętość graniastosłupa o podstawie trójkąta o polu $8$ cm$^2$ i wysokości $12$ cm oraz objętość ostrosłupa o takiej samej podstawie i wysokości.
Ostrosłup ma $12$ krawędzi. Jaką figurą jest jego podstawa?
Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu o boku $4$ cm i wysokości $9$ cm.
Objętość ostrosłupa wynosi $80$ cm$^3$, a pole podstawy $24$ cm$^2$. Oblicz wysokość ostrosłupa.
Które zdanie o ostrosłupie prawidłowym jest fałszywe?
Ile litrów mieści pojemnik w kształcie graniastosłupa o polu podstawy $250$ cm$^2$ i wysokości $20$ cm?
Ile ścian bocznych ma ostrosłup o $9$ wierzchołkach?
Namiot ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $3$ m i wysokości $2$ m. Ile metrów sześciennych powietrza mieści?
Graniastosłup ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ cm i $8$ cm. Wysokość graniastosłupa to $10$ cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej.
Sześcian o krawędzi $6$ cm przecięto na dwa jednakowe graniastosłupy płaszczyzną przechodzącą przez przekątne dwóch przeciwległych ścian. Jaka jest objętość jednej części?
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $10$ cm i wysokość ściany bocznej $13$ cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz wysokość ostrosłupa.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.