Skala i plan

Mnożymy przez mianownik skali:

$$4\cdot50\,000=200\,000\ \text{cm}$$

Zamieniamy jednostki: $200\,000$ cm $=2000$ m $=2$ km.

Odpowiedź: B. $2$ km.

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Uwaga: $16$ to $2^4$, a $25$ to $5^2$.

Odpowiedź: C. $32$.

Każdy czworokąt ma sumę kątów $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Mnożymy przez mianownik skali:

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Wygodna reguła: przy skali $1:100$ centymetry na planie zamieniają się wprost na metry w rzeczywistości.

Odpowiedź: $5$ metrów.

Krok 1 — w centymetrach:

$$3\cdot200=600\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$600:100=6\ \text{m}$$

Odpowiedź: $6$ m.

$$360^\circ-(80^\circ+95^\circ+110^\circ)=360^\circ-285^\circ=75^\circ$$

Odpowiedź: $75^\circ$.

Krok 1 — zamieniamy na centymetry:

$$6\ \text{km}=600\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$600\,000:300\,000=2\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $2$ cm.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^{2+3}=3^5=243$$

Sprawdzenie wprost: $9\cdot27=243$ ✔

Odpowiedź: $243$.

Kwadrat ma cztery kąty proste ($90^\circ$) i cztery równe boki.

Odpowiedź: B. proste.

Pełne koło to $360^\circ$ i $100\%$, więc połowa to:

$$\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$$

Pułapka: odpowiedź A myli procenty ze stopniami — to różne jednostki. Przelicznik wynosi $1\%=3{,}6^\circ$.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Kolejność: potęga, mnożenie, odejmowanie.

$$20-3\cdot4=20-12=8$$

Pułapka: liczenie od lewej daje $(20-3)\cdot4=68$.

Odpowiedź: B. $8$.

Trapez ma jedną parę boków równoległych (podstawy). Pozostałe figury mają dwie pary.

Odpowiedź: A. trapez.

Obliczamy procent z liczby:

$$0{,}35\cdot400=140$$

Sposób w pamięci: $10\%$ z $400$ to $40$, więc $30\%$ to $120$, a $5\%$ to $20$ — razem $140$.

Odpowiedź: dojeżdża $140$ uczniów.

Najzimniej był wtorek ($-2^\circ$C) — to najmniejsza z liczb.

Różnica to od najwyższej odjąć najniższą:

$$5-(-2)=7^\circ\text{C}$$

Odpowiedź: najzimniej we wtorek, różnica $7^\circ$C.

Kąty przeciwległe są równe, sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$:

$$70^\circ,\quad 110^\circ,\quad 70^\circ,\quad 110^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

Im większa druga liczba skali, tym większe pomniejszenie. Największa z podanych to $500\,000$.

Praktycznie: mapa $1:500\,000$ pokazuje całe województwo, a plan $1:50$ — pojedynczy pokój.

Odpowiedź: A. $1:500\,000$.

Krok 1 — obie długości w tych samych jednostkach:

$$6\ \text{km}=600\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — stosunek:

$$\frac{3}{600\,000}=\frac{1}{200\,000}$$

Odpowiedź: D. $1:200\,000$.

Romb ma cztery równe boki, ale kąty niekoniecznie proste.

Kwadrat to szczególny romb — z kątami prostymi.

Odpowiedź: D. wszystkie boki równe.

Dzielimy kąt wycinka przez kąt pełny:

$$\frac{54^\circ}{360^\circ}=0{,}15=15\%$$

Sprawdzenie w drugą stronę: $0{,}15\cdot360^\circ=54^\circ$ ✔

Odpowiedź: $15\%$.

Potęga potęgi — wykładniki mnożymy:

$$\left(2^3\right)^2=2^6=64$$

Iloczyn potęg — wykładniki dodajemy:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32$$

Wyjaśnienie: nawias wokół potęgi zmienia działanie na wykładnikach z dodawania na mnożenie.

Odpowiedź: $64$ oraz $32$.

Krok 1 — drugi bok. Obwód to $2(a+b)$:

$$2(8+b)=26 \quad\Rightarrow\quad 8+b=13 \quad\Rightarrow\quad b=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: drugi bok $5$ cm, pole $40$ cm².

Krok 1 — mnożymy przez skalę:

$$12\cdot200=2400\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamieniamy na metry:

$$2400\ \text{cm}=24\ \text{m}$$

Kontrola sensu: $24$ m to około ośmiu pięter — wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: $24$ metry.

Krok 1 — długość rzeczywista w centymetrach:

$$4{,}8\ \text{m}=480\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$480:24=20\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: model ma być mniejszy od oryginału — i jest ✔

Odpowiedź: $20$ cm.

Krok 1 — kąty przy podstawie dolnej. W trapezie równoramiennym są równe: $65^\circ$ i $65^\circ$.

Krok 2 — kąty przy podstawie górnej. Kąt przy tym samym ramieniu dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Krok 3 — wszystkie kąty: $65^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: dwa po $65^\circ$ i dwa po $115^\circ$.

Krok 1 — suma:

$$12+15+11+18+14=70$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę dni:

$$70:5=14$$

Pułapka: odpowiedź B to sama suma — łatwo zapomnieć o dzieleniu.

Odpowiedź: D. $14^\circ$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$5^0=1$$

Skąd to wynika: $\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0$, a jednocześnie ten iloraz oczywiście równa się $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

W kwadracie przekątne są równe, prostopadłe i przecinają się w połowie.

Odpowiedź: C. równe i prostopadłe.

Krok 1 — odczyt wartości:

$$\text{rower}=6\cdot8=48,\qquad \text{autobus}=9\cdot8=72$$

Krok 2 — różnica:

$$72-48=24$$

Szybciej: różnica to $3$ kratki, czyli $3\cdot8=24$ osoby.

Odpowiedź: rower $48$ osób, autobus $72$ osoby; autobus o $24$ osoby więcej.

Wzrost od stycznia do marca:

$$140-120=20\ \text{sztuk}$$

Najniższa sprzedaż — luty ($95$ sztuk).

Uwaga: pytanie dotyczy porównania stycznia z marcem, a nie sumy wszystkich miesięcy.

Odpowiedź: wzrost o $20$ sztuk; najniżej w lutym.

Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości.

$$4\ \text{cm}\to400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$5\ \text{cm}\to500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Odpowiedź: $4$ m na $5$ m.

Pierwsza liczba skali dotyczy rysunku, druga rzeczywistości. Skoro $5>1$, rysunek jest większy.

Zastosowanie: takich skal używa się przy bardzo drobnych elementach — trybikach zegarka, elementach elektroniki.

Odpowiedź: B. pięć razy większy.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy:

$$4^{5-3}=4^2=16$$

Odpowiedź: C. $16$.

W prostokącie przekątne są równe. W rombie (niekwadratowym) — różne.

Odpowiedź: A. prostokąt.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$0{,}25\cdot200=50$$

Krok 2 — kąt wycinka:

$$0{,}25\cdot360^\circ=90^\circ$$

Kontrola: ćwiartka uczniów to ćwiartka koła — oba wyniki są spójne.

Odpowiedź: $50$ uczniów, kąt $90^\circ$.

Krok 1 — pierwszy bok:

$$2\cdot500=1000\ \text{cm}=10\ \text{m}$$

Krok 2 — drugi bok:

$$3\cdot500=1500\ \text{cm}=15\ \text{m}$$

Odpowiedź: $10$ m na $15$ m.

Pole rombu liczymy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $24$ cm².

Krok 1 — zamieniamy na centymetry:

$$60\ \text{m}=6000\ \text{cm},\qquad 40\ \text{m}=4000\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$6000:1000=6\ \text{cm},\qquad 4000:1000=4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: na planie boisko ma $6$ cm na $4$ cm.

Krok 1 — nawias i potęgi:

$$(3+2)^2=25,\qquad 3^2=9,\qquad 2^2=4$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$25-9-4=12$$

Wniosek: wynik nie jest zerem, bo $(a+b)^2\neq a^2+b^2$. Różnica $12$ to właśnie podwojony iloczyn $2\cdot3\cdot2$.

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — rzeczywista odległość w cm:

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Odpowiedź: $1{,}5$ km.

Wszystkie wycinki muszą sumować się do $100\%$.

Krok 1 — suma znanych:

$$30+25+20=75\%$$

Krok 2 — reszta:

$$100-75=25\%$$

Odpowiedź: C. $25\%$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$4\cdot50\,000=200\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$200\,000:100\,000=2\ \text{km}$$

Odpowiedź: B. $2$ km.

Kwadrat ma wszystkie kąty proste (jak prostokąt) i wszystkie boki równe (jak romb), więc jest jednym i drugim.

Odpowiedź: B. prostokątem i rombem.

Krok 1 — przeliczamy każdy wymiar:

$$4\cdot25\,000=100\,000\ \text{cm}=1000\ \text{m}$$

$$2\cdot25\,000=50\,000\ \text{cm}=500\ \text{m}$$

Odpowiedź: jezioro ma $1000$ m na $500$ m (czyli $1$ km na pół kilometra).

Krok 1 — suma:

$$24+27+21+28=100$$

Krok 2 — średnia:

$$100:4=25$$

Odpowiedź: $100$ uczniów, średnio $25$ na klasę.

Wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(6+10)\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32$$

Odpowiedź: $32$.

Diagram kołowy pokazuje, jak całość dzieli się na części — od razu widać, która część jest największa i jaki mniej więcej ułamek stanowi.

Do czego się nie nadaje: zmiany w czasie lepiej pokazuje wykres liniowy, a porównania między grupami — diagram słupkowy.

Odpowiedź: A.

Dodajemy wykładniki:

$$10^{2+3}=10^5=100\,000$$

Pułapka: $10^6$ powstałoby przy mnożeniu wykładników, czyli w wyrażeniu $\left(10^2\right)^3$.

Odpowiedź: D. $100\,000$.

W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie (punkt przecięcia jest środkiem obu).

Uwaga: równość i prostopadłość przekątnych to cechy szczególnych równoległoboków (prostokąt, romb).

Odpowiedź: D. dzielą się na połowy.

Krok 1 — rzeczywista długość trasy:

$$15\cdot200\,000=3\,000\,000\ \text{cm}=30\,000\ \text{m}=30\ \text{km}$$

Krok 2 — czas przejazdu:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30}{60}=0{,}5\ \text{h}$$

Krok 3 — zamieniamy na minuty:

$$0{,}5\ \text{h}=30\ \text{minut}$$

Odpowiedź: przejazd zajmie $30$ minut.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot100=800\ \text{cm}=8\ \text{m}$$

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Krok 2 — powierzchnia:

$$8\cdot5=40\ \text{m}^2$$

Uwaga o polu. Na planie powierzchnia wynosi $40$ cm$^2$, a w rzeczywistości $40$ m$^2$ — czyli $400\,000$ cm$^2$. Stosunek pól to $100^2=10\,000$, a nie $100$: pole zmienia się jak kwadrat skali.

Odpowiedź: $8$ m na $5$ m, powierzchnia $40$ m$^2$.

Krok 1 — kąty sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$. Oznaczmy je $2x$ i $3x$:

$$2x+3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 5x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$2x=72^\circ,\qquad 3x=108^\circ$$

Krok 3 — wszystkie cztery (przeciwległe równe):

$$72^\circ,\ 108^\circ,\ 72^\circ,\ 108^\circ$$

Sprawdzenie: $72+108+72+108=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $72^\circ$ i $108^\circ$ (po dwa).

Krok 1 — procent odpowiedzi „nie wiem”:

$$100-40-35=25\%$$

Krok 2 — liczba osób:

$$0{,}25\cdot250=62{,}5$$

Liczba osób musi być całkowita, więc wynik $62{,}5$ sygnalizuje, że podane procenty są zaokrąglone. W praktyce byłoby to $62$ lub $63$ osoby.

Warto zauważyć: takie „nieokrągłe” wyniki są w statystyce normalne — procenty na diagramach zwykle zaokrągla się do liczb całkowitych.

Odpowiedź: $25\%$, czyli około $62$–$63$ osoby.

Krok 1 — obserwacja wzoru. Po każdej godzinie liczba bakterii się podwaja:

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\dots$$

Krok 2 — zapis potęgowy. Po $n$ godzinach jest $2^n$ bakterii:

$$\text{po }3\text{ h}:\ 2^3=8$$

$$\text{po }8\text{ h}:\ 2^8=256$$

Warto zauważyć: po $10$ godzinach byłoby już $1024$ bakterie — wzrost potęgowy szybko wymyka się intuicji.

Odpowiedź: $8$ bakterii po $3$ h i $256$ po $8$ h.

Krok 1 — wymiary na planie. Skala $1:1000$ zmniejsza $1000$ razy:

$$30\ \text{m}=3000\ \text{cm}\to3\ \text{cm}$$

$$40\ \text{m}=4000\ \text{cm}\to4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole na planie:

$$3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Uwaga na skalę pól. Rzeczywiste pole to $30\cdot40=1200$ m². Pole na planie jest $1000^2=1\,000\,000$ razy mniejsze — skala pól to kwadrat skali długości.

Odpowiedź: $3$ cm na $4$ cm, pole $12$ cm².

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot500=4000\ \text{cm}=40\ \text{m}$$

$$6\cdot500=3000\ \text{cm}=30\ \text{m}$$

Krok 2 — pole:

$$P=40\cdot30=1200\ \text{m}^2$$

Ważna uwaga: pola nie mnożymy przez skalę $500$, tylko przez jej kwadrat. Pole na planie to $8\cdot6=48$ cm$^2$, a $48\cdot500^2=12\,000\,000$ cm$^2$, czyli $1200$ m$^2$ — ten sam wynik ✔

Odpowiedź: $40$ m na $30$ m, pole $1200$ m$^2$.

Krok 1 — suma:

$$40+55+70+45=210\ \text{mm}$$

Krok 2 — średnia:

$$210:4=52{,}5\ \text{mm}$$

Krok 3 — porównanie z średnią:

• marzec $40<52{,}5$ ✘
• kwiecień $55>52{,}5$ ✔
• maj $70>52{,}5$ ✔
• czerwiec $45<52{,}5$ ✘

Odpowiedź: suma $210$ mm, średnia $52{,}5$ mm; średnią przekroczyły dwa miesiące.

Krok 1 — ramię ukośne. Tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokość $8$ i różnica podstaw $11-5=6$:

$$r=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — pole trapezu:

$$P=\frac{(5+11)\cdot8}{2}=\frac{128}{2}=64$$

Klucz. Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe (= wysokość), a ukośne liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

Odpowiedź: ramię $10$, pole $64$.

Krok 1 — suma:

$$120+180+150=450$$

Krok 2 — średnia miesięczna:

$$450:3=150$$

Krok 3 — wzrost procentowy lipca względem czerwca. Różnicę odnosimy do wartości początkowej:

$$\frac{180-120}{120}=\frac{60}{120}=0{,}5=50\%$$

Częsty błąd: dzielenie różnicy przez $180$ (wartość końcową) — dałoby to błędne $33\%$. Procent zmiany zawsze liczymy względem punktu wyjścia.

Odpowiedź: łącznie $450$, średnio $150$ miesięcznie, wzrost o $50\%$.

Krok 1 — długość trasy w centymetrach:

$$14\cdot25\,000=350\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$350\,000:100\,000=3{,}5\ \text{km}$$

Krok 3 — czas:

$$t=\frac{3{,}5}{5}=0{,}7\ \text{h}$$

Krok 4 — zamiana na minuty:

$$0{,}7\cdot60=42\ \text{minuty}$$

Uwaga: $0{,}7$ godziny to $42$ minuty, a nie $70$ — czas nie dzieli się dziesiętnie.

Odpowiedź: $3{,}5$ km w $42$ minuty.

Krok 1 — własność boków. W równoległoboku bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$, a bok $AD$ jest poprzeczną przecinającą te równoległe.

Krok 2 — kąty jednostronne. Kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ leżą po tej samej stronie poprzecznej między prostymi równoległymi — to kąty jednostronne wewnętrzne.

Krok 3 — twierdzenie o kątach jednostronnych. Kąty jednostronne przy prostych równoległych sumują się do $180^\circ$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ \qquad ∎$$

Wniosek. To dlatego w równoległoboku kąty sąsiednie zawsze się dopełniają, a przeciwległe są równe.

Sprawdzenie: jeśli $\angle A=70^\circ$, to $\angle D=110^\circ$, a $70+110=180^\circ$ ✔