Skala i plan

Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości.

$$4\ \text{cm}\to400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$5\ \text{cm}\to500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Odpowiedź: $4$ m na $5$ m.

Krok 1 — rzeczywista odległość w cm:

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Odpowiedź: $1{,}5$ km.

Krok 1 — wymiary na planie. Skala $1:1000$ zmniejsza $1000$ razy:

$$30\ \text{m}=3000\ \text{cm}\to3\ \text{cm}$$

$$40\ \text{m}=4000\ \text{cm}\to4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole na planie:

$$3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Uwaga na skalę pól. Rzeczywiste pole to $30\cdot40=1200$ m². Pole na planie jest $1000^2=1\,000\,000$ razy mniejsze — skala pól to kwadrat skali długości.

Odpowiedź: $3$ cm na $4$ cm, pole $12$ cm².

Mnożymy przez mianownik skali:

$$4\cdot50\,000=200\,000\ \text{cm}$$

Zamieniamy jednostki: $200\,000$ cm $=2000$ m $=2$ km.

Odpowiedź: B. $2$ km.

Mnożymy przez mianownik skali:

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Wygodna reguła: przy skali $1:100$ centymetry na planie zamieniają się wprost na metry w rzeczywistości.

Odpowiedź: $5$ metrów.

Krok 1 — zamieniamy na centymetry:

$$6\ \text{km}=600\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$600\,000:300\,000=2\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $2$ cm.

Im większa druga liczba skali, tym większe pomniejszenie. Największa z podanych to $500\,000$.

Praktycznie: mapa $1:500\,000$ pokazuje całe województwo, a plan $1:50$ — pojedynczy pokój.

Odpowiedź: A. $1:500\,000$.

Krok 1 — mnożymy przez skalę:

$$12\cdot200=2400\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamieniamy na metry:

$$2400\ \text{cm}=24\ \text{m}$$

Kontrola sensu: $24$ m to około ośmiu pięter — wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: $24$ metry.

Pierwsza liczba skali dotyczy rysunku, druga rzeczywistości. Skoro $5>1$, rysunek jest większy.

Zastosowanie: takich skal używa się przy bardzo drobnych elementach — trybikach zegarka, elementach elektroniki.

Odpowiedź: B. pięć razy większy.

Krok 1 — zamieniamy na centymetry:

$$60\ \text{m}=6000\ \text{cm},\qquad 40\ \text{m}=4000\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$6000:1000=6\ \text{cm},\qquad 4000:1000=4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: na planie boisko ma $6$ cm na $4$ cm.

Krok 1 — przeliczamy każdy wymiar:

$$4\cdot25\,000=100\,000\ \text{cm}=1000\ \text{m}$$

$$2\cdot25\,000=50\,000\ \text{cm}=500\ \text{m}$$

Odpowiedź: jezioro ma $1000$ m na $500$ m (czyli $1$ km na pół kilometra).

Krok 1 — rzeczywista długość trasy:

$$15\cdot200\,000=3\,000\,000\ \text{cm}=30\,000\ \text{m}=30\ \text{km}$$

Krok 2 — czas przejazdu:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30}{60}=0{,}5\ \text{h}$$

Krok 3 — zamieniamy na minuty:

$$0{,}5\ \text{h}=30\ \text{minut}$$

Odpowiedź: przejazd zajmie $30$ minut.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot500=4000\ \text{cm}=40\ \text{m}$$

$$6\cdot500=3000\ \text{cm}=30\ \text{m}$$

Krok 2 — pole:

$$P=40\cdot30=1200\ \text{m}^2$$

Ważna uwaga: pola nie mnożymy przez skalę $500$, tylko przez jej kwadrat. Pole na planie to $8\cdot6=48$ cm$^2$, a $48\cdot500^2=12\,000\,000$ cm$^2$, czyli $1200$ m$^2$ — ten sam wynik ✔

Odpowiedź: $40$ m na $30$ m, pole $1200$ m$^2$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$3\cdot200=600\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$600:100=6\ \text{m}$$

Odpowiedź: $6$ m.

Krok 1 — obie długości w tych samych jednostkach:

$$6\ \text{km}=600\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — stosunek:

$$\frac{3}{600\,000}=\frac{1}{200\,000}$$

Odpowiedź: D. $1:200\,000$.

Krok 1 — długość rzeczywista w centymetrach:

$$4{,}8\ \text{m}=480\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$480:24=20\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: model ma być mniejszy od oryginału — i jest ✔

Odpowiedź: $20$ cm.

Krok 1 — pierwszy bok:

$$2\cdot500=1000\ \text{cm}=10\ \text{m}$$

Krok 2 — drugi bok:

$$3\cdot500=1500\ \text{cm}=15\ \text{m}$$

Odpowiedź: $10$ m na $15$ m.

Krok 1 — w centymetrach:

$$4\cdot50\,000=200\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$200\,000:100\,000=2\ \text{km}$$

Odpowiedź: B. $2$ km.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot100=800\ \text{cm}=8\ \text{m}$$

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Krok 2 — powierzchnia:

$$8\cdot5=40\ \text{m}^2$$

Uwaga o polu. Na planie powierzchnia wynosi $40$ cm$^2$, a w rzeczywistości $40$ m$^2$ — czyli $400\,000$ cm$^2$. Stosunek pól to $100^2=10\,000$, a nie $100$: pole zmienia się jak kwadrat skali.

Odpowiedź: $8$ m na $5$ m, powierzchnia $40$ m$^2$.

Krok 1 — długość trasy w centymetrach:

$$14\cdot25\,000=350\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$350\,000:100\,000=3{,}5\ \text{km}$$

Krok 3 — czas:

$$t=\frac{3{,}5}{5}=0{,}7\ \text{h}$$

Krok 4 — zamiana na minuty:

$$0{,}7\cdot60=42\ \text{minuty}$$

Uwaga: $0{,}7$ godziny to $42$ minuty, a nie $70$ — czas nie dzieli się dziesiętnie.

Odpowiedź: $3{,}5$ km w $42$ minuty.