Równania — wprowadzenie

Wszystkie wyrazy są podobne (mają tę samą literę), więc dodajemy i odejmujemy współczynniki:

$$(5+3-2)a=6a$$

Odpowiedź: $6a$.

Redukujemy osobno wyrazy z $x$ i osobno z $y$:

$$4x-x=3x,\qquad 3y+2y=5y$$

$$3x+5y$$

Uwaga: wyrazów z różnymi literami nie wolno łączyć — $3x$ i $5y$ zostają osobno.

Odpowiedź: A. $3x+5y$.

Prostokąt ma dwa boki po $a$ i dwa po $b$:

$$O=2a+2b=2(a+b)$$

Oba zapisy są poprawne — drugi jest krótszy.

Odpowiedź: $2(a+b)$.

Krok 1 — opuszczamy nawias (mnożymy każdy składnik przez $2$):

$$2x+6+4x$$

Krok 2 — redukujemy wyrazy podobne:

$$6x+6$$

Sprawdzenie dla $x=1$: wyjściowo $2\cdot4+4=12$, a po uproszczeniu $6+6=12$ ✔

Odpowiedź: $6x+6$.

Wyrazy podobne mają tę samą część literową — różnią się tylko współczynnikiem.

Para $5a$ i $-2a$ spełnia ten warunek, więc można je zredukować do $3a$.

Pozostałe: różne litery ($x$ i $y$), różne potęgi ($x$ i $x^2$), litera i sama liczba ($2b$ i $2$).

Odpowiedź: B. $5a$ i $-2a$.

Mnożymy przez $3$ każdy składnik w nawiasie:

$$3\cdot2x-3\cdot5=6x-15$$

Najczęstszy błąd: pomnożenie tylko pierwszego składnika, co daje $6x-5$.

Odpowiedź: C. $6x-15$.

Krok 1 — opuszczamy nawias. Przed nawiasem stoi minus, więc zmieniamy znak każdego składnika:

$$7y-3y+4$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4y+4$$

Sprawdzenie dla $y=2$: wyjściowo $14-(6-4)=12$, a po uproszczeniu $8+4=12$ ✔

Odpowiedź: $4y+4$.

Krok 1 — boki: $x$ oraz $x+4$.

Krok 2 — pole:

$$P=x(x+4)$$

Krok 3 — dla $x=6$:

$$6\cdot10=60$$

Odpowiedź: $P=x(x+4)$, dla $x=6$ pole wynosi $60$.

Mianowniki są równe, więc dodajemy liczniki:

$$\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x$$

Sprawdzenie dla $x=8$: $4+4=8$ ✔

Odpowiedź: A. $x$.

Krok 1 — przenosimy liczbę na prawą stronę:

$$2x=19-7=12$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=6$$

Sprawdzenie: $2\cdot6+7=19$ ✔

Odpowiedź: $x=6$.

„Razy mniejsza” oznacza dzielenie:

$$\frac{x}{3}$$

Rozróżnienie: „o $3$ mniejsza” to $x-3$ (odejmowanie), a „$3$ razy mniejsza” to $\frac{x}{3}$ (dzielenie).

Odpowiedź: D. $\frac{x}{3}$.

Krok 1 — opuszczamy pierwszy nawias:

$$4x+8$$

Krok 2 — opuszczamy drugi. Przed nawiasem stoi minus i liczba $3$, więc mnożymy przez $-3$:

$$-3x+3$$

Krok 3 — składamy i redukujemy:

$$4x+8-3x+3=x+11$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $4\cdot4-3\cdot1=16-3=13$, a po uproszczeniu $2+11=13$ ✔

Najczęstszy błąd: zapisanie $-3x-3$ zamiast $-3x+3$ — minus musi zmienić znak obu składników.

Odpowiedź: $x+11$.

Krok 1 — wiek teraz. Marek $x$, siostra $x-4$:

$$S=x+(x-4)=2x-4$$

Krok 2 — za $5$ lat. Każde z nich będzie starsze o $5$ lat:

$$(x+5)+(x-4+5)=(x+5)+(x+1)=2x+6$$

Kontrola: suma wzrosła o $10$ — po $5$ lat dla każdej z dwóch osób ✔ Faktycznie $(2x+6)-(2x-4)=10$.

Odpowiedź: teraz $2x-4$, za $5$ lat $2x+6$.

Krok 1 — podstawiamy:

$$\frac{9+3}{9-3}=\frac{12}{6}=2$$

Krok 2 — kiedy wyrażenie nie ma sensu. Mianownik nie może być zerem:

$$a-b=0 \quad\Rightarrow\quad b=a=9$$

Wniosek: dla $b=9$ (czyli gdy $b$ równa się $a$) dzielilibyśmy przez zero — a to działanie niewykonalne.

Odpowiedź: wartość wynosi $2$; wyrażenie traci sens dla $b=9$.

Krok 1 — kształt figury. Kwadrat i prostokąt sklejone bokiem o długości $a$ tworzą razem prostokąt o wymiarach $(a+b)$ na $a$.

Krok 2 — obwód:

$$O=2\left[(a+b)+a\right]=2(2a+b)=4a+2b$$

Krok 3 — pole:

$$P=a(a+b)=a^2+ab$$

Kontrola pola inną drogą. Kwadrat ma pole $a^2$, prostokąt $ab$, a ich suma to $a^2+ab$ ✔

Uwaga przy obwodzie: nie wolno dodać obwodów obu figur osobno ($4a+2a+2b$), bo bok stykowy leży wewnątrz i nie należy do obwodu.

Odpowiedź: $O=4a+2b$, $P=a^2+ab$.