Prędkość, droga, czas

Korzystamy ze wzoru na drogę:

$$s=v\cdot t=60\cdot3=180\ \text{km}$$

Kontrola jednostek: km/h razy godziny daje kilometry — zgadza się.

Pułapka: odpowiedź A to wynik dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: B. $180$ km.

Przekształcamy wzór $s=v\cdot t$, dzieląc obie strony przez $t$:

$$v=\frac{s}{t}=\frac{45}{3}=15\ \text{km/h}$$

Kontrola sensu: $15$ km/h to typowa prędkość rowerzysty — wynik jest wiarygodny.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $15$ km/h.

Przekształcamy wzór, dzieląc drogę przez prędkość:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{240}{80}=3\ \text{godziny}$$

Kontrola jednostek: kilometry dzielone przez km/h dają godziny — zgadza się.

Sprawdzenie: $80\cdot3=240$ km ✔

Odpowiedź: podróż zajmie $3$ godziny.

Aby zamienić km/h na m/s, dzielimy przez $3{,}6$:

$$72:3{,}6=20\ \text{m/s}$$

Skąd bierze się $3{,}6$: $1$ km $=1000$ m, a $1$ h $=3600$ s, więc $1$ km/h $=\frac{1000}{3600}$ m/s $=\frac{1}{3{,}6}$ m/s.

W drugą stronę (z m/s na km/h) mnożymy przez $3{,}6$. Sprawdzenie: $20\cdot3{,}6=72$ ✔

Odpowiedź: C. $20$ m/s.

Krok 1 — zamieniamy czas na godziny. $30$ minut to pół godziny:

$$t=2{,}5\ \text{h}$$

Krok 2 — obliczamy drogę:

$$s=4\cdot2{,}5=10\ \text{km}$$

Częsty błąd: wpisanie $2{,}30$ zamiast $2{,}5$. Czas w zapisie zegarowym trzeba najpierw zamienić na ułamek godziny — minuty dzielimy przez $60$.

Odpowiedź: pieszy pokonał $10$ km.

Krok 1 — czas podróży. Od $8{:}15$ do $11{:}15$ mijają $3$ godziny, a do $11{:}45$ jeszcze $30$ minut:

$$t=3\ \text{h}\ 30\ \text{min}=3{,}5\ \text{h}$$

Krok 2 — prędkość:

$$v=\frac{210}{3{,}5}=60\ \text{km/h}$$

Sprawdzenie: $60\cdot3{,}5=210$ km ✔

Odpowiedź: średnia prędkość to $60$ km/h.

Zamiana m/s na km/h polega na pomnożeniu przez $3{,}6$:

$$15\cdot3{,}6=54\ \text{km/h}$$

Kontrola kierunku zamiany: ta sama prędkość w km/h musi mieć większą liczbę niż w m/s, bo godzina jest znacznie dłuższa od sekundy. Wynik $4{,}2$ z odpowiedzi A jest więc na pewno błędny — powstał z dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: D. $54$ km/h.

Uwaga: średniej prędkości nie liczy się jako średniej z prędkości. Trzeba podzielić całą drogę przez cały czas.

Krok 1 — droga na każdym odcinku:

$$s_1=70\cdot2=140\ \text{km},\qquad s_2=40\cdot1=40\ \text{km}$$

Krok 2 — łączna droga i łączny czas:

$$s=140+40=180\ \text{km},\qquad t=2+1=3\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość:

$$v=\frac{180}{3}=60\ \text{km/h}$$

Porównanie: zwykła średnia z $70$ i $40$ dałaby $55$ km/h — wynik błędny, bo z większą prędkością motocyklista jechał dwa razy dłużej.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $60$ km/h.

Krok 1 — czas przejazdu:

$$t=\frac{150}{50}=3\ \text{godziny}$$

Krok 2 — godzina przyjazdu:

$$9{:}00+3\ \text{h}=12{:}00$$

Odpowiedź: samochód dojedzie o godzinie $12{:}00$.

Ze wzoru $t=\frac{s}{v}$ widać, że czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości — gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje w tym samym stosunku.

Sprawdźmy na liczbach. Dla $s=120$ km:

$$v=60\ \text{km/h} \Rightarrow t=2\ \text{h},\qquad v=120\ \text{km/h} \Rightarrow t=1\ \text{h}$$

Prędkość wzrosła dwa razy, a czas zmalał dwa razy.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — prędkość w m/s:

$$v=\frac{400}{50}=8\ \text{m/s}$$

Krok 2 — zamiana na km/h (mnożymy przez $3{,}6$):

$$8\cdot3{,}6=28{,}8\ \text{km/h}$$

Kontrola sensu: blisko $29$ km/h to prędkość bardzo dobrego sprintera — wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: $8$ m/s, czyli $28{,}8$ km/h.

Krok 1 — czas w godzinach:

$$t=\frac{60}{25}=2{,}4\ \text{h}$$

Krok 2 — zamieniamy część ułamkową na minuty. Mnożymy przez $60$:

$$0{,}4\cdot60=24\ \text{minuty}$$

Częsty błąd: zapisanie wyniku jako „$2$ godziny $40$ minut”. Zapis $2{,}4$ h to nie $2$ h $40$ min — ułamek godziny trzeba przeliczyć przez $60$, a nie przez $100$.

Odpowiedź: $2$ godziny $24$ minuty.

Krok 1 — zamiana czasu na godziny. $15$ minut to $\frac{15}{60}=0{,}25$ h:

$$t=2{,}25\ \text{h}$$

Krok 2 — prędkość:

$$v=\frac{180}{2{,}25}=80\ \text{km/h}$$

Sprawdzenie: $80\cdot2{,}25=180$ km ✔

Pułapka: podstawienie $t=2{,}15$ dałoby błędne $83{,}7$ km/h.

Odpowiedź: B. $80$ km/h.

Kluczowa obserwacja: gdy pojazdy jadą naprzeciw siebie, odległość między nimi maleje z prędkością równą sumie ich prędkości.

Krok 1 — prędkość zbliżania:

$$v=70+80=150\ \text{km/h}$$

Krok 2 — czas do spotkania:

$$t=\frac{300}{150}=2\ \text{godziny}$$

Sprawdzenie: po $2$ godzinach pierwszy przejedzie $140$ km, drugi $160$ km, a razem $140+160=300$ km ✔

Odpowiedź: spotkają się po $2$ godzinach.

Krok 1 — zamieniamy minuty na godziny:

$$20\ \text{min}=\frac{20}{60}=\frac13\ \text{h}$$

Krok 2 — obliczamy drogę:

$$s=90\cdot\frac13=30\ \text{km}$$

Sposób w pamięci: $20$ minut to trzecia część godziny, więc pociąg pokona trzecią część tego, co przejechałby przez godzinę: $90:3=30$ km.

Odpowiedź: pociąg pokona $30$ km.

Zamieniamy km/h na m/s, dzieląc przez $3{,}6$:

$$18:3{,}6=5\ \text{m/s}$$

Prędkość $5$ m/s oznacza dokładnie tyle, że w każdej sekundzie rowerzysta pokonuje $5$ metrów.

Sprawdzenie w drugą stronę: $5\cdot3{,}6=18$ km/h ✔

Odpowiedź: C. $5$ metrów.

Krok 1 — długość każdej połowy:

$$s_1=s_2=100\ \text{km}$$

Krok 2 — czas na każdym odcinku:

$$t_1=\frac{100}{100}=1\ \text{h},\qquad t_2=\frac{100}{50}=2\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość to cała droga przez cały czas:

$$v=\frac{200}{1+2}=\frac{200}{3}\approx66{,}7\ \text{km/h}$$

Dlaczego nie $75$ km/h: zwykła średnia z $100$ i $50$ byłaby poprawna tylko wtedy, gdyby samochód jechał z każdą prędkością równie długo. Tutaj wolniejszy odcinek zajął dwa razy więcej czasu, więc ciągnie średnią w dół.

Odpowiedź: średnia prędkość to około $66{,}7$ km/h.

Krok 1 — przebyta droga. Podczas odpoczynku turysta nie pokonał żadnej drogi:

$$s=5\cdot3=15\ \text{km}$$

Krok 2 — całkowity czas obejmuje także postój:

$$t=3+1=4\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość:

$$v=\frac{15}{4}=3{,}75\ \text{km/h}$$

Wniosek: średnia prędkość jest mniejsza od prędkości marszu, bo w mianowniku uwzględniamy czas, w którym droga nie przyrastała.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $3{,}75$ km/h.

Kluczowa obserwacja: gdy pojazdy jadą w tym samym kierunku, odległość między nimi zmienia się z prędkością równą różnicy ich prędkości.

Krok 1 — prędkość zbliżania:

$$v=60-20=40\ \text{km/h}$$

Krok 2 — czas w godzinach:

$$t=\frac{2}{40}=0{,}05\ \text{h}$$

Krok 3 — zamieniamy na minuty:

$$0{,}05\cdot60=3\ \text{minuty}$$

Sprawdzenie: w ciągu $3$ minut samochód przejedzie $3$ km, a rowerzysta $1$ km — różnica $2$ km to dokładnie początkowy dystans ✔

Odpowiedź: samochód dogoni rowerzystę po $3$ minutach.

Krok 1 — droga przebyta pieszo:

$$s_1=4\cdot2=8\ \text{km}$$

Krok 2 — droga pozostała do przejechania:

$$s_2=48-8=40\ \text{km}$$

Krok 3 — czas przejazdu autokarem:

$$t_2=\frac{40}{40}=1\ \text{godzina}$$

Krok 4 — łączny czas wycieczki:

$$t=2+1=3\ \text{godziny}$$

Sprawdzenie: $8+40=48$ km ✔

Odpowiedź: autokar jechał $1$ godzinę, a cała wycieczka trwała $3$ godziny.