Potęgi i ich własności

Potęga $2^5$ oznacza pięciokrotne mnożenie dwójki przez siebie:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Pułapka: odpowiedź B ($10$) to wynik mnożenia $2\cdot5$, a nie potęgowania. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę, a nie przez ile.

Odpowiedź: A. $32$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^2\cdot3^3=3^{2+3}=3^5$$

Sprawdzenie: $9\cdot27=243$ oraz $3^5=243$ ✔

Uwaga: podstawa pozostaje bez zmian — nie mnożymy jej (odpowiedź C jest błędna). Wykładniki mnożymy dopiero przy potęgowaniu potęgi.

Odpowiedź: B. $3^5$.

Potęga dziesiątki to jedynka z tyloma zerami, ile wynosi wykładnik:

$$10^3=10\cdot10\cdot10=1000$$

Wykładnik $3$ oznacza trzy zera.

Zestawienie: $10^2=100$, $10^3=1000$, $10^4=10\,000$ — te potęgi warto znać na pamięć, bo pojawiają się przy notacji wykładniczej.

Odpowiedź: C. $1000$.

Podnosząc ułamek do kwadratu, podnosimy osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$$

Częsty błąd: podniesienie do kwadratu tylko licznika. Wykładnik dotyczy całego ułamka, więc obejmuje i licznik, i mianownik.

Odpowiedź: $\frac{4}{9}$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4$$

Sprawdzenie: $\frac{64}{16}=4$ ✔

Pułapka: dodanie wykładników (odpowiedź D) dotyczy mnożenia, a nie dzielenia.

Odpowiedź: A. $4$.

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Odpowiedź: C. $32$.

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$

Odpowiedź: $81$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Odpowiedź: B. $a^{m+n}$.

$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$$

Odpowiedź: $2^7$.

Przy dzieleniu potęg odejmujemy wykładniki:

$$\frac{5^8}{5^3}=5^{8-3}=5^5$$

Odpowiedź: $5^5$.

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki:

$$(a^m)^n=a^{mn}$$

Odpowiedź: A. $a^{mn}$.

$$(3^2)^4=3^{2\cdot4}=3^8$$

Odpowiedź: $3^8$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zero daje $1$:

$$a^0=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Krok 1 — iloczyn potęg:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32$$

Krok 2 — druga potęga: $2^4=16$.

Krok 3 — odejmujemy:

$$32-16=16$$

Odpowiedź: $16$.

$$10^6=1\,000\,000$$ — milion (sześć zer).

Odpowiedź: B. milion.

Wzór $a^n\cdot b^n=(ab)^n$:

$$2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3=10^3=1000$$

Odpowiedź: $10^3=1000$.

Parzysty wykładnik daje wynik dodatni:

$$(-2)^4=16$$

Odpowiedź: C. $16$.

Nieparzysty wykładnik zachowuje znak minus:

$$(-3)^3=-27$$

Odpowiedź: A. $-27$.

Krok 1 — licznik (dodajemy wykładniki):

$$4^5\cdot4^2=4^7$$

Krok 2 — dzielenie (odejmujemy wykładniki):

$$\frac{4^7}{4^4}=4^{7-4}=4^3$$

Krok 3 — obliczamy:

$$4^3=64$$

Odpowiedź: $4^3=64$.

Przesuwamy przecinek o $3$ miejsca w prawo:

$$5{,}4\cdot10^3=5400$$

Odpowiedź: D. $5400$.

Krok 1 — zapisujemy czynniki jako potęgi dwójki:

$$8=2^3,\qquad 16=2^4$$

Krok 2 — iloczyn potęg (dodajemy wykładniki):

$$2^3\cdot2^4=2^7$$

Sprawdzenie: $8\cdot16=128=2^7$ ✔

Odpowiedź: $2^7$.

Krok 1 — dzielimy masy:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}2\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}2}\cdot10^{24-22}$$

Krok 2 — liczymy:

$$\approx0{,}83\cdot10^2=83$$

Metoda. W notacji wykładniczej osobno dzielimy liczby, osobno odejmujemy wykładniki potęg $10$.

Odpowiedź: około $83$ razy.

Krok 1 — zamieniamy $9$ na $3^2$:

$$9^3=(3^2)^3=3^6$$

Krok 2 — dzielenie (odejmujemy wykładniki):

$$\frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2=9$$

Odpowiedź: $9$.

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Uwaga: $16$ to $2^4$, a $25$ to $5^2$.

Odpowiedź: C. $32$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^{2+3}=3^5=243$$

Sprawdzenie wprost: $9\cdot27=243$ ✔

Odpowiedź: $243$.

Kolejność: potęga, mnożenie, odejmowanie.

$$20-3\cdot4=20-12=8$$

Pułapka: liczenie od lewej daje $(20-3)\cdot4=68$.

Odpowiedź: B. $8$.

Najzimniej był wtorek ($-2^\circ$C) — to najmniejsza z liczb.

Różnica to od najwyższej odjąć najniższą:

$$5-(-2)=7^\circ\text{C}$$

Odpowiedź: najzimniej we wtorek, różnica $7^\circ$C.

Potęga potęgi — wykładniki mnożymy:

$$\left(2^3\right)^2=2^6=64$$

Iloczyn potęg — wykładniki dodajemy:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32$$

Wyjaśnienie: nawias wokół potęgi zmienia działanie na wykładnikach z dodawania na mnożenie.

Odpowiedź: $64$ oraz $32$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$5^0=1$$

Skąd to wynika: $\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0$, a jednocześnie ten iloraz oczywiście równa się $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy:

$$4^{5-3}=4^2=16$$

Odpowiedź: C. $16$.

Krok 1 — nawias i potęgi:

$$(3+2)^2=25,\qquad 3^2=9,\qquad 2^2=4$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$25-9-4=12$$

Wniosek: wynik nie jest zerem, bo $(a+b)^2\neq a^2+b^2$. Różnica $12$ to właśnie podwojony iloczyn $2\cdot3\cdot2$.

Odpowiedź: $12$.

Dodajemy wykładniki:

$$10^{2+3}=10^5=100\,000$$

Pułapka: $10^6$ powstałoby przy mnożeniu wykładników, czyli w wyrażeniu $\left(10^2\right)^3$.

Odpowiedź: D. $100\,000$.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot100=800\ \text{cm}=8\ \text{m}$$

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Krok 2 — powierzchnia:

$$8\cdot5=40\ \text{m}^2$$

Uwaga o polu. Na planie powierzchnia wynosi $40$ cm$^2$, a w rzeczywistości $40$ m$^2$ — czyli $400\,000$ cm$^2$. Stosunek pól to $100^2=10\,000$, a nie $100$: pole zmienia się jak kwadrat skali.

Odpowiedź: $8$ m na $5$ m, powierzchnia $40$ m$^2$.

Krok 1 — obserwacja wzoru. Po każdej godzinie liczba bakterii się podwaja:

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\dots$$

Krok 2 — zapis potęgowy. Po $n$ godzinach jest $2^n$ bakterii:

$$\text{po }3\text{ h}:\ 2^3=8$$

$$\text{po }8\text{ h}:\ 2^8=256$$

Warto zauważyć: po $10$ godzinach byłoby już $1024$ bakterie — wzrost potęgowy szybko wymyka się intuicji.

Odpowiedź: $8$ bakterii po $3$ h i $256$ po $8$ h.