Podwyżki i obniżki

Krok 1 — podwyżka:

$$10\%\cdot200=0{,}1\cdot200=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$200+20=220\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $220$ zł.

Krok 1 — obniżka:

$$20\%\cdot150=0{,}2\cdot150=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$150-30=120\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $120$ zł.

Mnożnik podwyżki o $25\%$ to $1{,}25$ — mnożymy jednym działaniem:

$$80\cdot1{,}25=100\ \text{zł}$$

Dlaczego tak: nowa cena to $100\%+25\%=125\%$ ceny wyjściowej, a $125\%=1{,}25$.

Odpowiedź: $100$ zł.

Po obniżce zostaje:

$$100\%-30\%=70\%=0{,}7$$

Częsty błąd: mnożenie przez $0{,}3$ daje wartość rabatu, a nie cenę po obniżce.

Odpowiedź: A. $0{,}7$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}05\cdot3000=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa pensja:

$$3000+150=3150\ \text{zł}$$

Odpowiedź: wzrosła o $150$ zł, wynosi $3150$ zł.

Krok 1 — kwota obniżki:

$$60-45=15\ \text{zł}$$

Krok 2 — jaki to procent ceny wyjściowej:

$$\frac{15}{60}=0{,}25=25\%$$

Uwaga: dzielimy przez cenę przed obniżką — to ona jest całością, czyli $100\%$.

Odpowiedź: C. $25\%$.

Krok 1 — jaki procent ceny wyjściowej stanowi $850$ zł:

$$100\%-15\%=85\%$$

Krok 2 — układamy równanie. Niech $x$ to cena przed obniżką:

$$0{,}85x=850$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=\frac{850}{0{,}85}=1000\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $15\%$ z $1000$ to $150$, a $1000-150=850$ ✔

Odpowiedź: $1000$ zł.

Krok 1 — po podwyżce:

$$200\cdot1{,}1=220\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce. Uwaga: $10\%$ liczymy teraz od $220$ zł, a nie od $200$ zł:

$$220\cdot0{,}9=198\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$198\lt 200$$

Dlaczego nie wróciła. Podwyżkę liczyliśmy od $200$, a obniżkę od większej kwoty $220$ — obniżka była więc „mocniejsza” w złotówkach. Łączny mnożnik to $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$, czyli spadek o $1\%$.

Odpowiedź: $198$ zł — nie wróciła, jest o $2$ zł niższa.

Wzrost o $100\%$ to dodanie całej ceny wyjściowej:

$$100\%+100\%=200\%=2\cdot\text{cena}$$

Przykład: z $50$ zł robi się $100$ zł.

Uwaga: wzrost trzykrotny to wzrost o $200\%$ — łatwo pomylić „o tyle” z „do tylu”.

Odpowiedź: D. podwoiła się.

Krok 1 — po podwyżce:

$$24\cdot1{,}25=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce:

$$30\cdot0{,}8=24\ \text{zł}$$

Ciekawostka. Tym razem cena wróciła dokładnie do punktu wyjścia, bo $1{,}25\cdot0{,}8=1$. Podwyżka o $\frac14$ i obniżka o $\frac15$ znoszą się nawzajem.

Odpowiedź: $24$ zł.

Rabat $50\%$ to połowa ceny:

$$120\cdot0{,}5=60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $60$ zł.

Krok 1 — pierwszy rabat:

$$400\cdot0{,}7=280\ \text{zł}$$

Krok 2 — drugi rabat, liczony od $280$ zł:

$$280\cdot0{,}9=252\ \text{zł}$$

Krok 3 — łączny rabat:

$$400-252=148\ \text{zł},\qquad \frac{148}{400}=37\%$$

Uwaga. Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ nie dają $40\%$, tylko $37\%$ — bo drugi liczymy od mniejszej kwoty. Mnożnik łączny to $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$.

Odpowiedź: $252$ zł.

Krok 1 — mnożnik podwyżki:

$$100\%+20\%=120\%=1{,}2$$

Krok 2 — równanie:

$$1{,}2x=360$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$x=\frac{360}{1{,}2}=300\ \text{zł}$$

Częsty błąd: odjęcie $20\%$ od $360$ daje $288$ zł — to zła odpowiedź, bo procent liczylibyśmy od niewłaściwej podstawy.

Odpowiedź: $300$ zł.

Liczymy mnożniki łączne — im mniejszy, tym taniej:

$$\text{A}:\ 0{,}6$$

$$\text{B}:\ 0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64$$

$$\text{C}:\ 0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$$

$$\text{D}:\ 0{,}9^4=0{,}6561$$

Najmniejszy mnożnik ma odpowiedź A.

Wniosek praktyczny: rabaty naliczane kolejno są zawsze mniej korzystne niż jeden rabat o tej samej sumie procentów.

Odpowiedź: A. jeden rabat $40\%$.

Krok 1 — przyrost:

$$280-250=30$$

Krok 2 — procent przyrostu:

$$\frac{30}{250}=0{,}12=12\%$$

Odpowiedź: o $12\%$.

Przykład liczbowy. Cena $100$ zł spada o połowę:

$$100\cdot0{,}5=50\ \text{zł}$$

Aby z $50$ zł wrócić do $100$ zł, trzeba dodać $50$ zł, czyli:

$$\frac{50}{50}=1=100\%$$

Sedno. Spadek i wzrost liczone są od różnych podstaw: spadek od $100$, wzrost od $50$. Dlatego procenty nie są symetryczne.

Odpowiedź: C. $100\%$.

Krok 1 — po obniżce:

$$2400\cdot0{,}85=2040\ \text{zł}$$

Krok 2 — po podwyżce, liczonej od $2040$ zł:

$$2040\cdot1{,}15=2346\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$2400-2346=54\ \text{zł}$$

Krok 4 — łączny mnożnik:

$$0{,}85\cdot1{,}15=0{,}9775$$

To spadek o $2{,}25\%$ względem ceny wyjściowej.

Reguła. Obniżka i podwyżka o ten sam procent nigdy nie wracają do punktu wyjścia — końcowa cena zawsze jest niższa, bo $(1-p)(1+p)=1-p^2\lt 1$.

Odpowiedź: $2346$ zł, czyli o $54$ zł mniej niż na początku.

Krok 1 — cena sprzedaży z narzutem:

$$80\cdot1{,}5=120\ \text{zł}$$

Krok 2 — cena po rabacie:

$$120\cdot0{,}7=84\ \text{zł}$$

Krok 3 — zysk:

$$84-80=4\ \text{zł}$$

Krok 4 — zysk w procentach kosztu zakupu:

$$\frac{4}{80}=0{,}05=5\%$$

Uwaga na podstawę. Narzut $50\%$ liczymy od ceny zakupu ($80$ zł), a rabat $30\%$ — od ceny sprzedaży ($120$ zł). To różne kwoty, dlatego nie wolno odejmować tych procentów od siebie.

Odpowiedź: tak, zarabia $4$ zł, czyli $5\%$.

Krok 1 — wzrost w złotych:

$$27-18=9\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent wzrostu (podstawa: $18$ zł):

$$\frac{9}{18}=0{,}5=50\%$$

Krok 3 — powrót, teraz podstawą jest $27$ zł:

$$\frac{9}{27}=\frac13\approx0{,}333=33\tfrac13\%$$

Wniosek. Wzrost o $50\%$ odwraca się spadkiem o $33\tfrac13\%$, a nie o $50\%$ — bo za drugim razem liczymy procent od większej kwoty.

Odpowiedź: wzrost o $50\%$, powrót wymaga spadku o $33\tfrac13\%$.

Krok 1 — sklep A:

$$300\cdot0{,}8=240\ \text{zł}$$

Krok 2 — sklep B:

$$280\cdot0{,}85=238\ \text{zł}$$

Krok 3 — różnica:

$$240-238=2\ \text{zł}$$

Uwaga metodyczna. Wyższy rabat nie oznacza niższej ceny — sklep A daje $20\%$, a mimo to jest droższy, bo startuje z wyższej ceny. Zawsze porównujemy kwoty końcowe, nie same procenty.

Odpowiedź: taniej w sklepie B, o $2$ zł.