Obliczenia pieniężne i procentowe

Obliczamy procent z liczby:

$$0{,}2\cdot150=30\ \text{zł}$$

Szybciej: $10\%$ z $150$ to $15$, więc $20\%$ to $30$ zł.

Odpowiedź: B. $30$ zł.

Krok 1 — wartość obniżki:

$$0{,}25\cdot80=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$80-20=60\ \text{zł}$$

Szybciej: po obniżce o $25\%$ zostaje $75\%$, czyli $0{,}75\cdot80=60$ zł.

Odpowiedź: $60$ zł.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}15\cdot200=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$200+30=230\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $230$ zł.

Dzielimy część przez całość i zamieniamy na procent:

$$\frac{20}{50}=0{,}4=40\%$$

Odpowiedź: C. $40\%$.

Szukamy liczby, której $30\%$ to $45$. Dzielimy:

$$45:0{,}3=150$$

Sprawdzenie: $0{,}3\cdot150=45$ ✔

Odpowiedź: szukana liczba to $150$.

VAT doliczamy do ceny netto:

$$100+0{,}23\cdot100=100+23=123\ \text{zł}$$

Szybciej: cena brutto to $123\%$ ceny netto: $1{,}23\cdot100=123$ zł.

Odpowiedź: A. $123$ zł.

Krok 1 — po podwyżce:

$$120\cdot1{,}1=132\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce (liczonej od $132$ zł):

$$132\cdot0{,}9=118{,}80\ \text{zł}$$

Wniosek: cena nie wróciła do $120$ zł, bo obniżkę liczono od wyższej kwoty. Sweter jest tańszy niż na początku.

Odpowiedź: $118{,}80$ zł.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$0{,}6\cdot25=15$$

Krok 2 — chłopcy to reszta:

$$25-15=10$$

Sprawdzenie: chłopcy to $40\%$, czyli $0{,}4\cdot25=10$ ✔

Odpowiedź: $10$ chłopców.

Cena ze zniżką to $70\%$ ceny pełnej. Dzielimy:

$$28:0{,}7=40\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40\cdot0{,}7=28$ zł ✔

Pułapka: dodanie $30\%$ do $28$ (czyli $36{,}40$) jest błędne — procent liczy się od ceny pełnej, nie od obniżonej.

Odpowiedź: D. $40$ zł.

Procent zmiany liczymy względem ceny początkowej.

Krok 1 — wzrost kwotowy:

$$750-600=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent wzrostu:

$$\frac{150}{600}=0{,}25=25\%$$

Odpowiedź: rower zdrożał o $25\%$.

Zamieniamy ułamek na procent:

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: B. $75\%$.

Krok 1 — odsetki:

$$0{,}04\cdot2000=80\ \text{zł}$$

Krok 2 — stan konta:

$$2000+80=2080\ \text{zł}$$

Odpowiedź: odsetki $80$ zł, na koncie $2080$ zł.

Zakupy przekraczają $200$ zł, więc rabat przysługuje.

Krok 1 — rabat:

$$0{,}15\cdot240=36\ \text{zł}$$

Krok 2 — do zapłaty:

$$240-36=204\ \text{zł}$$

Szybciej: $0{,}85\cdot240=204$ zł.

Odpowiedź: klient zapłaci $204$ zł.

Dzielimy przez $1{,}2$:

$$60:1{,}2=50$$

Sprawdzenie: $1{,}2\cdot50=60$ ✔

Uwaga: $120\%$ oznacza więcej niż całość, więc szukana liczba jest mniejsza od $60$.

Odpowiedź: C. $50$.

Krok 1 — cena po pierwszym rabacie:

$$1800\cdot0{,}9=1620\ \text{zł}$$

Krok 2 — drugi rabat (liczony od $1620$ zł):

$$1620\cdot0{,}95=1539\ \text{zł}$$

Uwaga: rabaty nie sumują się do $15\%$ — drugi liczy się od już obniżonej ceny. Łączny rabat to $\frac{1800-1539}{1800}=14{,}5\%$.

Odpowiedź: klient zapłaci $1539$ zł.

$$\frac{25}{500}=0{,}05=5\%$$

Odpowiedź: A. $5\%$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}08\cdot4000=320\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa pensja:

$$4000+320=4320\ \text{zł}$$

Odpowiedź: nowa pensja to $4320$ zł.

Krok 1 — wzrost kwotowy:

$$5-4=1\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent względem ceny początkowej:

$$\frac{1}{4}=0{,}25=25\%$$

Częsty błąd: dzielenie przez cenę końcową ($5$ zł) dałoby $20\%$. Procent zmiany zawsze odnosimy do wartości przed zmianą.

Odpowiedź: cena wzrosła o $25\%$.

Krok 1 — cena początkowa. Po obniżce o $40\%$ zostaje $60\%$ ceny, więc:

$$150:0{,}6=250\ \text{zł}$$

Krok 2 — obniżka w złotówkach:

$$250-150=100\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40\%$ z $250$ to $100$ zł ✔

Odpowiedź: kurtka kosztowała $250$ zł, obniżka to $100$ zł.

Krok 1 — objętość w mililitrach:

$$1{,}5\ \text{l}=1500\ \text{ml}$$

Krok 2 — obliczamy $12\%$:

$$0{,}12\cdot1500=180\ \text{ml}$$

Kontrola sensu: $12\%$ to nieco ponad dziesiąta część, a $\frac{1500}{10}=150$, więc $180$ ml jest rozsądne.

Odpowiedź: butelka zawiera $180$ ml owoców.

Krok 1 — podwyżka:

$$10\%\cdot200=0{,}1\cdot200=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$200+20=220\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $220$ zł.

Krok 1 — obniżka:

$$20\%\cdot150=0{,}2\cdot150=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$150-30=120\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $120$ zł.

Mnożnik podwyżki o $25\%$ to $1{,}25$ — mnożymy jednym działaniem:

$$80\cdot1{,}25=100\ \text{zł}$$

Dlaczego tak: nowa cena to $100\%+25\%=125\%$ ceny wyjściowej, a $125\%=1{,}25$.

Odpowiedź: $100$ zł.

Po obniżce zostaje:

$$100\%-30\%=70\%=0{,}7$$

Częsty błąd: mnożenie przez $0{,}3$ daje wartość rabatu, a nie cenę po obniżce.

Odpowiedź: A. $0{,}7$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}05\cdot3000=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa pensja:

$$3000+150=3150\ \text{zł}$$

Odpowiedź: wzrosła o $150$ zł, wynosi $3150$ zł.

Krok 1 — kwota obniżki:

$$60-45=15\ \text{zł}$$

Krok 2 — jaki to procent ceny wyjściowej:

$$\frac{15}{60}=0{,}25=25\%$$

Uwaga: dzielimy przez cenę przed obniżką — to ona jest całością, czyli $100\%$.

Odpowiedź: C. $25\%$.

Krok 1 — jaki procent ceny wyjściowej stanowi $850$ zł:

$$100\%-15\%=85\%$$

Krok 2 — układamy równanie. Niech $x$ to cena przed obniżką:

$$0{,}85x=850$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=\frac{850}{0{,}85}=1000\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $15\%$ z $1000$ to $150$, a $1000-150=850$ ✔

Odpowiedź: $1000$ zł.

Wzrost o $100\%$ to dodanie całej ceny wyjściowej:

$$100\%+100\%=200\%=2\cdot\text{cena}$$

Przykład: z $50$ zł robi się $100$ zł.

Uwaga: wzrost trzykrotny to wzrost o $200\%$ — łatwo pomylić „o tyle” z „do tylu”.

Odpowiedź: D. podwoiła się.

Rabat $50\%$ to połowa ceny:

$$120\cdot0{,}5=60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $60$ zł.

Krok 1 — pierwszy rabat:

$$400\cdot0{,}7=280\ \text{zł}$$

Krok 2 — drugi rabat, liczony od $280$ zł:

$$280\cdot0{,}9=252\ \text{zł}$$

Krok 3 — łączny rabat:

$$400-252=148\ \text{zł},\qquad \frac{148}{400}=37\%$$

Uwaga. Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ nie dają $40\%$, tylko $37\%$ — bo drugi liczymy od mniejszej kwoty. Mnożnik łączny to $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$.

Odpowiedź: $252$ zł.

Krok 1 — mnożnik podwyżki:

$$100\%+20\%=120\%=1{,}2$$

Krok 2 — równanie:

$$1{,}2x=360$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$x=\frac{360}{1{,}2}=300\ \text{zł}$$

Częsty błąd: odjęcie $20\%$ od $360$ daje $288$ zł — to zła odpowiedź, bo procent liczylibyśmy od niewłaściwej podstawy.

Odpowiedź: $300$ zł.

Liczymy mnożniki łączne — im mniejszy, tym taniej:

$$\text{A}:\ 0{,}6$$

$$\text{B}:\ 0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64$$

$$\text{C}:\ 0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$$

$$\text{D}:\ 0{,}9^4=0{,}6561$$

Najmniejszy mnożnik ma odpowiedź A.

Wniosek praktyczny: rabaty naliczane kolejno są zawsze mniej korzystne niż jeden rabat o tej samej sumie procentów.

Odpowiedź: A. jeden rabat $40\%$.

Krok 1 — przyrost:

$$280-250=30$$

Krok 2 — procent przyrostu:

$$\frac{30}{250}=0{,}12=12\%$$

Odpowiedź: o $12\%$.

Przykład liczbowy. Cena $100$ zł spada o połowę:

$$100\cdot0{,}5=50\ \text{zł}$$

Aby z $50$ zł wrócić do $100$ zł, trzeba dodać $50$ zł, czyli:

$$\frac{50}{50}=1=100\%$$

Sedno. Spadek i wzrost liczone są od różnych podstaw: spadek od $100$, wzrost od $50$. Dlatego procenty nie są symetryczne.

Odpowiedź: C. $100\%$.

Krok 1 — po obniżce:

$$2400\cdot0{,}85=2040\ \text{zł}$$

Krok 2 — po podwyżce, liczonej od $2040$ zł:

$$2040\cdot1{,}15=2346\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$2400-2346=54\ \text{zł}$$

Krok 4 — łączny mnożnik:

$$0{,}85\cdot1{,}15=0{,}9775$$

To spadek o $2{,}25\%$ względem ceny wyjściowej.

Reguła. Obniżka i podwyżka o ten sam procent nigdy nie wracają do punktu wyjścia — końcowa cena zawsze jest niższa, bo $(1-p)(1+p)=1-p^2\lt 1$.

Odpowiedź: $2346$ zł, czyli o $54$ zł mniej niż na początku.

Krok 1 — cena sprzedaży z narzutem:

$$80\cdot1{,}5=120\ \text{zł}$$

Krok 2 — cena po rabacie:

$$120\cdot0{,}7=84\ \text{zł}$$

Krok 3 — zysk:

$$84-80=4\ \text{zł}$$

Krok 4 — zysk w procentach kosztu zakupu:

$$\frac{4}{80}=0{,}05=5\%$$

Uwaga na podstawę. Narzut $50\%$ liczymy od ceny zakupu ($80$ zł), a rabat $30\%$ — od ceny sprzedaży ($120$ zł). To różne kwoty, dlatego nie wolno odejmować tych procentów od siebie.

Odpowiedź: tak, zarabia $4$ zł, czyli $5\%$.

Krok 1 — wzrost w złotych:

$$27-18=9\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent wzrostu (podstawa: $18$ zł):

$$\frac{9}{18}=0{,}5=50\%$$

Krok 3 — powrót, teraz podstawą jest $27$ zł:

$$\frac{9}{27}=\frac13\approx0{,}333=33\tfrac13\%$$

Wniosek. Wzrost o $50\%$ odwraca się spadkiem o $33\tfrac13\%$, a nie o $50\%$ — bo za drugim razem liczymy procent od większej kwoty.

Odpowiedź: wzrost o $50\%$, powrót wymaga spadku o $33\tfrac13\%$.

Krok 1 — sklep A:

$$300\cdot0{,}8=240\ \text{zł}$$

Krok 2 — sklep B:

$$280\cdot0{,}85=238\ \text{zł}$$

Krok 3 — różnica:

$$240-238=2\ \text{zł}$$

Uwaga metodyczna. Wyższy rabat nie oznacza niższej ceny — sklep A daje $20\%$, a mimo to jest droższy, bo startuje z wyższej ceny. Zawsze porównujemy kwoty końcowe, nie same procenty.

Odpowiedź: taniej w sklepie B, o $2$ zł.