Objętość graniastosłupa i ostrosłupa
Klasa 6 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
🧩Quizy 1
📘Teoria 1
Czym różni się ostrosłup od graniastosłupa
Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek nad nią; wszystkie ściany boczne to trójkąty zbiegające się w tym wierzchołku. Graniastosłup ma dwie podstawy i prostokątne ściany boczne.
Ile ma elementów
Dla podstawy o $n$ bokach:
- ścian: $n+1$
- wierzchołków: $n+1$
- krawędzi: $2n$
Stąd zadania odwrotne: ostrosłup o $12$ krawędziach ma podstawę sześciokątną ($2n=12$), a ostrosłup o $9$ wierzchołkach — ośmiokątną ($n+1=9$).
Ostrosłup prawidłowy
Ma podstawę będącą wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie ściany boczne są wtedy przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Siatka
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: jeden kwadrat i cztery jednakowe trójkąty równoramienne. Czworościan foremny: cztery jednakowe trójkąty równoboczne.
Pole powierzchni
$$P_c=P_p+P_b$$
Pole boczne to suma pól trójkątów. Dla ostrosłupa prawidłowego o $n$ ścianach, krawędzi podstawy $a$ i wysokości ściany bocznej $h$ (apotemie):
$$P_b=n\cdot\frac{a\cdot h}{2}$$
Objętość
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Współczynnik $\frac13$ nie jest przypadkowy: trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Wysokość bryły a wysokość ściany
To dwie różne wielkości. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym łączy je trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $h$:
$$h^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Przykład: $a=10$, $h=13$, więc $H=\sqrt{169-25}=12$.
Zadania odwrotne
Z $V=\frac13 P_p H$ wynika $H=\frac{3V}{P_p}$ oraz $P_p=\frac{3V}{H}$. Zwróć uwagę na trójkę w liczniku — to najczęściej gubiony element.
Na co uważać
Pomijanie $\frac13$ przy objętości ostrosłupa to błąd numer jeden. Numer dwa to wstawianie wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej przy liczeniu pola — zawsze sprawdź, którą wielkość podano w treści.
∑Wzory 2
Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.
Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.
Pole podstawy plus suma pól ścian bocznych (trójkątów).
Przykład: Kwadrat $6\times6$, cztery ściany po 15: $P_c=36+60=96$.
✍Zadania dodatkowe 12
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile ścian ma ostrosłup o podstawie czworokąta?
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $20$ cm$^2$ i wysokości $6$ cm.
Objętość ostrosłupa o polu podstawy $30$ cm$^2$ i wysokości $6$ cm wynosi:
Ile krawędzi ma graniastosłup o podstawie ośmiokąta?
Objętość graniastosłupa wynosi $150$ cm$^3$, a jego wysokość $10$ cm. Oblicz pole podstawy.
Który zapis opisuje objętość ostrosłupa?
Oblicz objętość graniastosłupa o podstawie trójkąta o polu $8$ cm$^2$ i wysokości $12$ cm oraz objętość ostrosłupa o takiej samej podstawie i wysokości.
Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu o boku $4$ cm i wysokości $9$ cm.
Które zdanie o ostrosłupie prawidłowym jest fałszywe?
Ile litrów mieści pojemnik w kształcie graniastosłupa o polu podstawy $250$ cm$^2$ i wysokości $20$ cm?
Graniastosłup ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ cm i $8$ cm. Wysokość graniastosłupa to $10$ cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej.
Sześcian o krawędzi $6$ cm przecięto na dwa jednakowe graniastosłupy płaszczyzną przechodzącą przez przekątne dwóch przeciwległych ścian. Jaka jest objętość jednej części?
📄Zadania z arkuszy 1
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Sześcienną kostkę o objętości \(1\) dm\(^3\) włożono do prostopadłościennego pudełka, którego krawędzie oznaczono literami \(a\), \(b\), \(c\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi sześciennej kostki stanowi \(\frac{1}{3}\) długości krawędzi \(a\), \(\frac{1}{2}\) długości krawędzi \(b\) i \(\frac{2}{5}\) długości krawędzi \(c\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego pudełka jest równa
