Kolejność wykonywania działań

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Uwaga: $16$ to $2^4$, a $25$ to $5^2$.

Odpowiedź: C. $32$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$3\cdot200=600\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$600:100=6\ \text{m}$$

Odpowiedź: $6$ m.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^{2+3}=3^5=243$$

Sprawdzenie wprost: $9\cdot27=243$ ✔

Odpowiedź: $243$.

Kolejność: potęga, mnożenie, odejmowanie.

$$20-3\cdot4=20-12=8$$

Pułapka: liczenie od lewej daje $(20-3)\cdot4=68$.

Odpowiedź: B. $8$.

Najzimniej był wtorek ($-2^\circ$C) — to najmniejsza z liczb.

Różnica to od najwyższej odjąć najniższą:

$$5-(-2)=7^\circ\text{C}$$

Odpowiedź: najzimniej we wtorek, różnica $7^\circ$C.

Krok 1 — obie długości w tych samych jednostkach:

$$6\ \text{km}=600\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — stosunek:

$$\frac{3}{600\,000}=\frac{1}{200\,000}$$

Odpowiedź: D. $1:200\,000$.

Potęga potęgi — wykładniki mnożymy:

$$\left(2^3\right)^2=2^6=64$$

Iloczyn potęg — wykładniki dodajemy:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32$$

Wyjaśnienie: nawias wokół potęgi zmienia działanie na wykładnikach z dodawania na mnożenie.

Odpowiedź: $64$ oraz $32$.

Krok 1 — długość rzeczywista w centymetrach:

$$4{,}8\ \text{m}=480\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$480:24=20\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: model ma być mniejszy od oryginału — i jest ✔

Odpowiedź: $20$ cm.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$5^0=1$$

Skąd to wynika: $\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0$, a jednocześnie ten iloraz oczywiście równa się $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy:

$$4^{5-3}=4^2=16$$

Odpowiedź: C. $16$.

Krok 1 — pierwszy bok:

$$2\cdot500=1000\ \text{cm}=10\ \text{m}$$

Krok 2 — drugi bok:

$$3\cdot500=1500\ \text{cm}=15\ \text{m}$$

Odpowiedź: $10$ m na $15$ m.

Krok 1 — nawias i potęgi:

$$(3+2)^2=25,\qquad 3^2=9,\qquad 2^2=4$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$25-9-4=12$$

Wniosek: wynik nie jest zerem, bo $(a+b)^2\neq a^2+b^2$. Różnica $12$ to właśnie podwojony iloczyn $2\cdot3\cdot2$.

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$4\cdot50\,000=200\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$200\,000:100\,000=2\ \text{km}$$

Odpowiedź: B. $2$ km.

Krok 1 — suma:

$$24+27+21+28=100$$

Krok 2 — średnia:

$$100:4=25$$

Odpowiedź: $100$ uczniów, średnio $25$ na klasę.

Dodajemy wykładniki:

$$10^{2+3}=10^5=100\,000$$

Pułapka: $10^6$ powstałoby przy mnożeniu wykładników, czyli w wyrażeniu $\left(10^2\right)^3$.

Odpowiedź: D. $100\,000$.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot100=800\ \text{cm}=8\ \text{m}$$

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Krok 2 — powierzchnia:

$$8\cdot5=40\ \text{m}^2$$

Uwaga o polu. Na planie powierzchnia wynosi $40$ cm$^2$, a w rzeczywistości $40$ m$^2$ — czyli $400\,000$ cm$^2$. Stosunek pól to $100^2=10\,000$, a nie $100$: pole zmienia się jak kwadrat skali.

Odpowiedź: $8$ m na $5$ m, powierzchnia $40$ m$^2$.

Krok 1 — obserwacja wzoru. Po każdej godzinie liczba bakterii się podwaja:

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\dots$$

Krok 2 — zapis potęgowy. Po $n$ godzinach jest $2^n$ bakterii:

$$\text{po }3\text{ h}:\ 2^3=8$$

$$\text{po }8\text{ h}:\ 2^8=256$$

Warto zauważyć: po $10$ godzinach byłoby już $1024$ bakterie — wzrost potęgowy szybko wymyka się intuicji.

Odpowiedź: $8$ bakterii po $3$ h i $256$ po $8$ h.

Krok 1 — suma:

$$40+55+70+45=210\ \text{mm}$$

Krok 2 — średnia:

$$210:4=52{,}5\ \text{mm}$$

Krok 3 — porównanie z średnią:

• marzec $40\lt 52{,}5$ ✘
• kwiecień $55>52{,}5$ ✔
• maj $70>52{,}5$ ✔
• czerwiec $45\lt 52{,}5$ ✘

Odpowiedź: suma $210$ mm, średnia $52{,}5$ mm; średnią przekroczyły dwa miesiące.

Krok 1 — długość trasy w centymetrach:

$$14\cdot25\,000=350\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$350\,000:100\,000=3{,}5\ \text{km}$$

Krok 3 — czas:

$$t=\frac{3{,}5}{5}=0{,}7\ \text{h}$$

Krok 4 — zamiana na minuty:

$$0{,}7\cdot60=42\ \text{minuty}$$

Uwaga: $0{,}7$ godziny to $42$ minuty, a nie $70$ — czas nie dzieli się dziesiętnie.

Odpowiedź: $3{,}5$ km w $42$ minuty.