Kąty w trójkącie

Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$$

Odpowiedź: C.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Oznaczmy je $\alpha$:

$$40^\circ+2\alpha=180^\circ$$

$$2\alpha=140^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=70^\circ$$

Odpowiedź: oba kąty przy podstawie mają po $70^\circ$.

Kąty przyległe dopełniają się do kąta półpełnego:

$$180^\circ-115^\circ=65^\circ$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź D to kąt dopełniający do $90^\circ$ — inne pojęcie.

Jeden kąt to $90^\circ$ (prosty). Kąty ostre sumują się do $90^\circ$:

$$90^\circ-27^\circ=63^\circ$$

Odpowiedź: kąty mają $90^\circ$, $27^\circ$ i $63^\circ$.

Sprawdzenie: $90+27+63=180$. ✔

Czworokąt dzieli się przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Odpowiedź: A. Ogólnie dla $n$-kąta: $(n-2)\cdot180^\circ$.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: czwarty kąt ma $85^\circ$.

Pole:

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Obwód:

$$Ob=2(a+b)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $40\ \text{cm}^2$, obwód $26$ cm.

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42\ \text{cm}^2$.

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy.

Romb ma równe boki, ale kąty niekoniecznie proste. Prostokąt ma kąty proste, ale boki równe tylko parami. Kwadrat spełnia oba warunki naraz.

Odpowiedź: D. Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.

$$l=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7$$

$$l=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $78{,}5\ \text{cm}^2$.

Pułapka: do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Przy $d=10$ najpierw policz $r=5$.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$4\ \text{cm}\cdot500=2000\ \text{cm}=20\ \text{m}$$

$$6\ \text{cm}\cdot500=3000\ \text{cm}=30\ \text{m}$$

Krok 2 — pole:

$$P=20\cdot30=600\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $20$ m na $30$ m, pole $600\ \text{m}^2$.

Uwaga: pole nie rośnie w skali $500$, lecz $500^2$ — dlatego bezpieczniej najpierw przeliczyć boki, a dopiero potem liczyć pole.

Kąt rozwarty ma miarę większą od $90^\circ$ i mniejszą od $180^\circ$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — bok (kwadrat ma cztery równe boki):

$$a=\frac{36}{4}=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=a^2=81\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: bok $9$ cm, pole $81\ \text{cm}^2$.

Oznaczmy kąty jako $x$, $2x$, $3x$:

$$x+2x+3x=180^\circ$$

$$6x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=30^\circ$$

Odpowiedź: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ — to trójkąt prostokątny.

Osiami są proste przechodzące przez środki przeciwległych boków — są dwie. Przekątne prostokąta nie są osiami symetrii.

Odpowiedź: A. Kwadrat ma ich cztery, bo dochodzą jeszcze przekątne.

Przekształcamy wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a+b}$$

$$h=\frac{2\cdot48}{16}=\frac{96}{16}=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Krok 1 — obwód (siatka):

$$Ob=2(15+20)=70\ \text{m}$$

Krok 2 — pole (trawa):

$$P=15\cdot20=300\ \text{m}^2$$

Krok 3 — koszt:

$$300\cdot12=3600\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $70$ m siatki, trawa za $3600$ zł.

Wskazówka: ogrodzenie liczymy z obwodu, a pokrycie powierzchni z pola — to najczęstsze pomylenie w zadaniach praktycznych.

Krok 1 — oznaczenie. Niech kąt przyległy ma miarę $x$, wtedy $\alpha=3x$.

Krok 2 — równanie (kąty przyległe dają $180^\circ$):

$$x+3x=180^\circ$$

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Odpowiedź: kąty mają $45^\circ$ i $135^\circ$.

Sprawdzenie: $135=3\cdot45$ oraz $45+135=180$. ✔

Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Ogólnie: suma kątów $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-35^\circ-85^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj. Wszystkie kąty ($35^\circ$, $60^\circ$, $85^\circ$) są mniejsze od $90^\circ$, więc trójkąt jest ostrokątny.

Odpowiedź: $60^\circ$; trójkąt ostrokątny.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: $85^\circ$.

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie (przy tym samym boku) dopełniają się do $180^\circ$.

Pozostałe zdania opisują szczególne przypadki: równe kąty ma prostokąt, równe przekątne — również prostokąt, a równe boki — romb.

Odpowiedź: A. kąty leżące przy tym samym boku sumują się do $180^\circ$.

Cyrkiel — służy do kreślenia okręgów i odmierzania odcinków równej długości.

Kątomierz — służy do mierzenia i odmierzania kątów w stopniach.

Uwaga: w klasycznych konstrukcjach geometrycznych używa się wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki.

Odpowiedź: okrąg — cyrklem, kąty — kątomierzem.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Odpowiedź: D. $1080^\circ$.

Krok 1 — drugi kąt przy dłuższej podstawie. W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe:

$$65^\circ$$

Krok 2 — kąty przy krótszej podstawie. Kąty przy ramieniu dopełniają się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Symetralna przecina odcinek w połowie pod kątem prostym. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka.

Uwaga: odpowiedź C opisuje dwusieczną kąta — to inna konstrukcja.

Odpowiedź: B. przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Krok 1 — suma kątów przy podstawie:

$$180^\circ-40^\circ=140^\circ$$

Krok 2 — są równe, więc dzielimy na pół:

$$140^\circ:2=70^\circ$$

Sprawdzenie: $40+70+70=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: po $70^\circ$.

Romb ma przekątne, które przecinają się w połowie i pod kątem prostym.

Dla porównania: w prostokącie przekątne dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe; w deltoidzie są prostopadłe, ale tylko jedna dzieli drugą na połowy.

Odpowiedź: C. romb.

Krok 1 — podział. Kąt $\beta$ to $1$ część, $\alpha$ to $3$ części, razem $4$ części. Kąty przyległe dają $180^\circ$:

$$180^\circ:4=45^\circ$$

Krok 2 — miary:

$$\beta=45^\circ,\qquad \alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Krok 1. Rozwieramy cyrkiel na promień większy niż połowa odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ kreślimy łuk nad i pod odcinkiem.

Krok 3. Tym samym rozwarciem kreślimy łuki z punktu $B$.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach — łączymy je linijką.

Dlaczego to działa: oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$, a zbiór takich punktów to właśnie symetralna.

Odpowiedź: dwa łuki tym samym rozwarciem z obu końców, prosta przez punkty ich przecięcia.

Kąt zewnętrzny dopełnia kąt wewnętrzny do $180^\circ$, a suma wszystkich trzech kątów też wynosi $180^\circ$ — stąd równość.

Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku z $70^\circ$ wynosi $110^\circ=50^\circ+60^\circ$ ✔

Odpowiedź: A. sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3+4=9$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:9=20^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad 3\cdot20^\circ=60^\circ,\qquad 4\cdot20^\circ=80^\circ$$

Sprawdzenie: $40+60+80=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

Z każdego z $5$ wierzchołków wychodzą przekątne do $2$ niesąsiednich wierzchołków:

$$\frac{5\cdot2}{2}=5$$

Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie — z obu końców.

Odpowiedź: D. $5$.

Krok 1 — kąt przeciwległy jest równy:

$$110^\circ$$

Krok 2 — kąty sąsiednie dopełniają do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Takich kątów są dwa.

Krok 3 — kontrola sumy:

$$110+110+70+70=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $110^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$.

Krok 1 — suma kątów wewnętrznych:

$$(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt wewnętrzny:

$$1800^\circ:12=150^\circ$$

Krok 3 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Kontrola inną drogą: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc dla dwunastokąta foremnego $360^\circ:12=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: wewnętrzny $150^\circ$, zewnętrzny $30^\circ$.

Krok 1 — suma dwóch pozostałych kątów:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Krok 2 — oznaczenie. Niech kąt przy $C$ to $x$, wtedy kąt przy $B$ to $x+30^\circ$:

$$x+(x+30^\circ)=110^\circ$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$2x=80^\circ \quad\Rightarrow\quad x=40^\circ$$

Krok 4 — kąty: przy $C$ jest $40^\circ$, przy $B$ jest $70^\circ$.

Sprawdzenie: $70+70+40=180^\circ$ ✔ oraz $70-40=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąt przy $B$ ma $70^\circ$, przy $C$ — $40^\circ$.