Czworokąty i ich własności

Każdy czworokąt ma sumę kątów $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

$$360^\circ-(80^\circ+95^\circ+110^\circ)=360^\circ-285^\circ=75^\circ$$

Odpowiedź: $75^\circ$.

Kwadrat ma cztery kąty proste ($90^\circ$) i cztery równe boki.

Odpowiedź: B. proste.

Trapez ma jedną parę boków równoległych (podstawy). Pozostałe figury mają dwie pary.

Odpowiedź: A. trapez.

Kąty przeciwległe są równe, sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$:

$$70^\circ,\quad 110^\circ,\quad 70^\circ,\quad 110^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

Romb ma cztery równe boki, ale kąty niekoniecznie proste.

Kwadrat to szczególny romb — z kątami prostymi.

Odpowiedź: D. wszystkie boki równe.

Krok 1 — drugi bok. Obwód to $2(a+b)$:

$$2(8+b)=26 \quad\Rightarrow\quad 8+b=13 \quad\Rightarrow\quad b=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: drugi bok $5$ cm, pole $40$ cm².

Krok 1 — kąty przy podstawie dolnej. W trapezie równoramiennym są równe: $65^\circ$ i $65^\circ$.

Krok 2 — kąty przy podstawie górnej. Kąt przy tym samym ramieniu dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Krok 3 — wszystkie kąty: $65^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: dwa po $65^\circ$ i dwa po $115^\circ$.

W kwadracie przekątne są równe, prostopadłe i przecinają się w połowie.

Odpowiedź: C. równe i prostopadłe.

Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości.

$$4\ \text{cm}\to400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$5\ \text{cm}\to500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Odpowiedź: $4$ m na $5$ m.

W prostokącie przekątne są równe. W rombie (niekwadratowym) — różne.

Odpowiedź: A. prostokąt.

Pole rombu liczymy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $24$ cm².

Krok 1 — rzeczywista odległość w cm:

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Odpowiedź: $1{,}5$ km.

Kwadrat ma wszystkie kąty proste (jak prostokąt) i wszystkie boki równe (jak romb), więc jest jednym i drugim.

Odpowiedź: B. prostokątem i rombem.

Wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(6+10)\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32$$

Odpowiedź: $32$.

W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie (punkt przecięcia jest środkiem obu).

Uwaga: równość i prostopadłość przekątnych to cechy szczególnych równoległoboków (prostokąt, romb).

Odpowiedź: D. dzielą się na połowy.

Krok 1 — kąty sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$. Oznaczmy je $2x$ i $3x$:

$$2x+3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 5x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$2x=72^\circ,\qquad 3x=108^\circ$$

Krok 3 — wszystkie cztery (przeciwległe równe):

$$72^\circ,\ 108^\circ,\ 72^\circ,\ 108^\circ$$

Sprawdzenie: $72+108+72+108=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $72^\circ$ i $108^\circ$ (po dwa).

Krok 1 — wymiary na planie. Skala $1:1000$ zmniejsza $1000$ razy:

$$30\ \text{m}=3000\ \text{cm}\to3\ \text{cm}$$

$$40\ \text{m}=4000\ \text{cm}\to4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole na planie:

$$3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Uwaga na skalę pól. Rzeczywiste pole to $30\cdot40=1200$ m². Pole na planie jest $1000^2=1\,000\,000$ razy mniejsze — skala pól to kwadrat skali długości.

Odpowiedź: $3$ cm na $4$ cm, pole $12$ cm².

Krok 1 — ramię ukośne. Tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokość $8$ i różnica podstaw $11-5=6$:

$$r=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — pole trapezu:

$$P=\frac{(5+11)\cdot8}{2}=\frac{128}{2}=64$$

Klucz. Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe (= wysokość), a ukośne liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

Odpowiedź: ramię $10$, pole $64$.

Krok 1 — własność boków. W równoległoboku bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$, a bok $AD$ jest poprzeczną przecinającą te równoległe.

Krok 2 — kąty jednostronne. Kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ leżą po tej samej stronie poprzecznej między prostymi równoległymi — to kąty jednostronne wewnętrzne.

Krok 3 — twierdzenie o kątach jednostronnych. Kąty jednostronne przy prostych równoległych sumują się do $180^\circ$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ \qquad ∎$$

Wniosek. To dlatego w równoległoboku kąty sąsiednie zawsze się dopełniają, a przeciwległe są równe.

Sprawdzenie: jeśli $\angle A=70^\circ$, to $\angle D=110^\circ$, a $70+110=180^\circ$ ✔

Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Ogólnie: suma kątów $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: $85^\circ$.

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie (przy tym samym boku) dopełniają się do $180^\circ$.

Pozostałe zdania opisują szczególne przypadki: równe kąty ma prostokąt, równe przekątne — również prostokąt, a równe boki — romb.

Odpowiedź: A. kąty leżące przy tym samym boku sumują się do $180^\circ$.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Odpowiedź: D. $1080^\circ$.

Krok 1 — drugi kąt przy dłuższej podstawie. W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe:

$$65^\circ$$

Krok 2 — kąty przy krótszej podstawie. Kąty przy ramieniu dopełniają się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Symetralna przecina odcinek w połowie pod kątem prostym. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka.

Uwaga: odpowiedź C opisuje dwusieczną kąta — to inna konstrukcja.

Odpowiedź: B. przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Romb ma przekątne, które przecinają się w połowie i pod kątem prostym.

Dla porównania: w prostokącie przekątne dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe; w deltoidzie są prostopadłe, ale tylko jedna dzieli drugą na połowy.

Odpowiedź: C. romb.

Krok 1 — podział. Kąt $\beta$ to $1$ część, $\alpha$ to $3$ części, razem $4$ części. Kąty przyległe dają $180^\circ$:

$$180^\circ:4=45^\circ$$

Krok 2 — miary:

$$\beta=45^\circ,\qquad \alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Krok 1. Rozwieramy cyrkiel na promień większy niż połowa odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ kreślimy łuk nad i pod odcinkiem.

Krok 3. Tym samym rozwarciem kreślimy łuki z punktu $B$.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach — łączymy je linijką.

Dlaczego to działa: oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$, a zbiór takich punktów to właśnie symetralna.

Odpowiedź: dwa łuki tym samym rozwarciem z obu końców, prosta przez punkty ich przecięcia.

Kąt zewnętrzny dopełnia kąt wewnętrzny do $180^\circ$, a suma wszystkich trzech kątów też wynosi $180^\circ$ — stąd równość.

Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku z $70^\circ$ wynosi $110^\circ=50^\circ+60^\circ$ ✔

Odpowiedź: A. sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Z każdego z $5$ wierzchołków wychodzą przekątne do $2$ niesąsiednich wierzchołków:

$$\frac{5\cdot2}{2}=5$$

Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie — z obu końców.

Odpowiedź: D. $5$.

Krok 1 — kąt przeciwległy jest równy:

$$110^\circ$$

Krok 2 — kąty sąsiednie dopełniają do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Takich kątów są dwa.

Krok 3 — kontrola sumy:

$$110+110+70+70=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $110^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$.

Krok 1 — suma kątów wewnętrznych:

$$(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt wewnętrzny:

$$1800^\circ:12=150^\circ$$

Krok 3 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Kontrola inną drogą: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc dla dwunastokąta foremnego $360^\circ:12=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: wewnętrzny $150^\circ$, zewnętrzny $30^\circ$.

$$O=2(a+b)=2(8+5)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$, więc:

$$50\,000:10\,000=5\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $5$ m$^2$.