Odnotowane wartości to: \(-8\ ^\circ\text{C}\), \(-5\ ^\circ\text{C}\), \(-3\ ^\circ\text{C}\), \(-2\ ^\circ\text{C}\).

Krok 1. Szukamy dwóch wartości różniących się o \(6\ ^\circ\text{C}\) — to temperatury w Szklarskiej Porębie i w Karpaczu:

\(-2-(-8)=6\)

Zatem w Szklarskiej Porębie było \(-8\ ^\circ\text{C}\), a w Karpaczu \(-2\ ^\circ\text{C}\).

Krok 2. Pozostają wartości \(-5\ ^\circ\text{C}\) i \(-3\ ^\circ\text{C}\) — dla Zakopanego i Wisły. W Wiśle było zimniej niż w Zakopanem, więc:

Wisła: \(-5\ ^\circ\text{C}\), Zakopane: \(-3\ ^\circ\text{C}\)

Odpowiedź: D.

Szukamy liczby \(x\) spełniającej równanie:

\(x+(-4)=-5{,}25\)

\(x=-5{,}25+4\)

\(x=-1{,}25\)

Jest to liczba oznaczona numerem II.

Odpowiedź: B.

Zdanie 1. Podstawa \(\frac{1}{5}\) jest liczbą z przedziału \((0,1)\). Dla takiej podstawy im większy wykładnik, tym mniejsza wartość potęgi:

\(\left(\frac{1}{5}\right)^8\lt\left(\frac{1}{5}\right)^6\)

Zdanie jest fałszywe (F).

Zdanie 2. Obliczamy obie strony:

\(2^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=4\cdot\frac{1}{4}=1\)

\((-2)^3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3=(-8)\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)=1\)

Obie wartości są równe, zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Oznaczmy liczbę kulek zielonych przez \(x\). Wtedy:

czerwone: \(3x\), niebieskie: \(3x+2\)

Część pierwsza. Porównujemy: \(x\lt 3x\lt 3x+2\), więc najmniej jest kulek zielonych — odpowiedź B.

Część druga. Sumujemy wszystkie kulki:

\(x+3x+(3x+2)=7x+2\)

Odpowiedź D.

Odpowiedź: BD.

Zaznaczone punkty leżą na osi w równych odstępach, a między liczbami \(1\) i \(3\) odległość wynosi \(2\). Taki sam odstęp dzieli każde dwa sąsiednie zaznaczone punkty.

Odczytujemy kolejno wartości:

\(m=1-2=-1\)

\(k=m-4=-1-4=-5\)

\(t=3+2=5\)

\(p=t+2=7\)

Sprawdzamy podane wyrażenia:

\(k+p=-5+7=2\)

\(k+m+t=-5-1+5=-1\)

\(k+t=-5+5=0\)

\(k+m+p=-5-1+7=1\) ✓

Odpowiedź: D.

Korzystamy z cechy podzielności przez \(3\): liczba jest podzielna przez \(3\) wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez \(3\).

Obliczamy sumę cyfr liczby \(27\,733\):

\(2+7+7+3+3=22\)

Liczba \(22\) nie dzieli się przez \(3\) (\(22:3\) daje resztę \(1\)), więc liczba \(27\,733\) nie jest podzielna przez \(3\).

Uzasadnienia 1. i 3. są niepoprawne, bo cecha podzielności przez \(3\) nie zależy od ostatnich cyfr.

Odpowiedź: B2.

Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\):

\(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\)

Z warunku \(\alpha+\beta=130^\circ\) wyznaczamy:

\(\gamma=180^\circ-130^\circ=50^\circ\)

Z warunku \(\alpha+\gamma=120^\circ\):

\(\alpha=120^\circ-50^\circ=70^\circ\)

Stąd \(\beta=130^\circ-70^\circ=60^\circ\).

Zdanie 1. Kąt \(\alpha\) ma miarę \(70^\circ\) — prawda (P).

Zdanie 2. Największy kąt to \(70^\circ\), najmniejszy \(50^\circ\):

\(70^\circ-50^\circ=20^\circ\) — prawda (P).

Odpowiedź: P, P.

Część pierwsza. Obliczamy masę rodzynek:

\(15\%\cdot 320\ \text{g}=0{,}15\cdot 320\ \text{g}=48\ \text{g}\)

Masa orzechów jest większa od masy rodzynek o:

\(80-48=32\ \text{g}\) — odpowiedź A.

Część druga. Masa całej mieszanki:

\(320+80=400\ \text{g}\)

Udział orzechów:

\(\frac{80}{400}=0{,}2=20\%\) — odpowiedź C.

Odpowiedź: AC.

Zdanie 1. Obliczamy średnią z sześciu meczów:

\(\frac{84}{6}=14\)

Zdanie jest prawdziwe (P).

Zdanie 2. Po siódmym meczu łączna liczba punktów wyniesie:

\(84+21=105\)

Średnia z siedmiu meczów:

\(\frac{105}{7}=15\)

Zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: P, P.

Część pierwsza. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

\(6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}\)

\(\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\) — odpowiedź A.

Część druga. Sprawdzamy, która liczba podniesiona do sześcianu daje \(0{,}064\):

\(0{,}4^3=0{,}4\cdot 0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}064\)

Zatem \(\sqrt[3]{0{,}064}=0{,}4\) — odpowiedź C.

Odpowiedź: AC.

Odczytujemy z rysunku współrzędne wierzchołków trapezu:

\(E=(2,0)\), \(F=(4,1)\), \(G=(1,4)\), \(H=(0,2)\)

Punkt \((1,4)\) to wierzchołek \(G\), a punkt \((2,0)\) to wierzchołek \(E\).

Odpowiedź: B.

Skala \(1:5000\) oznacza, że \(1\) cm na planie odpowiada \(5000\) cm w terenie.

Obliczamy odległość rzeczywistą:

\(8{,}4\cdot 5000=42\,000\ \text{cm}\)

Zamieniamy na metry:

\(42\,000\ \text{cm}=420\ \text{m}\)

Odpowiedź: C.

Oznaczmy bok kwadratu przez \(a\). Kwadrat podzielono na \(6\) jednakowych prostokątów pionowymi cięciami, więc każdy prostokąt ma wymiary:

\(\frac{a}{6}\times a\)

Zapisujemy warunek na obwód jednego prostokąta:

\(2\left(\frac{a}{6}+a\right)=28\)

\(2\cdot\frac{7a}{6}=28\)

\(\frac{7a}{3}=28\)

\(a=12\)

Obwód kwadratu:

\(4\cdot 12=48\)

Odpowiedź: A.

Obliczamy powierzchnię działki pozostałą po warzywach:

\(200-130=70\) arów

Jabłonie zajmują \(\frac{1}{5}\) tej części:

\(\frac{1}{5}\cdot 70=14\) arów

Śliwy zajmują resztę:

\(70-14=56\) arów

Odpowiedź: C.

Ostrosłup trójkątny (czworościan) ma \(6\) krawędzi, a sześcian ma \(12\) krawędzi.

Oznaczmy liczbę sześcianów przez \(x\). Wtedy ostrosłupów jest \(3x\).

Zapisujemy równanie na łączną liczbę krawędzi:

\(6\cdot 3x+12\cdot x=720\)

\(18x+12x=720\)

\(30x=720\)

\(x=24\)

Odpowiedź: A.

Odczytujemy z diagramu liczby zawodników:

\(0\) pkt – \(1\) zawodnik, \(10\) pkt – \(2\) zawodników, \(20\) pkt – \(4\) zawodników, \(30\) pkt – \(3\) zawodników, \(40\) pkt – \(1\) zawodnik.

Obliczamy liczbę wszystkich zawodników:

\(1+2+4+3+1=11\)

Więcej niż \(20\) punktów zdobyli zawodnicy z wynikami \(30\) i \(40\) punktów:

\(3+1=4\) zawodników

Obliczamy prawdopodobieństwo:

\(P=\frac{4}{11}\)

Odpowiedź: \(P=\frac{4}{11}\)

Oznaczmy przez \(d\) liczbę kubków w dużym opakowaniu. W małym opakowaniu jest ich dwa razy mniej, czyli \(\frac{d}{2}\).

Zapisujemy równanie:

\(2d+6\cdot\frac{d}{2}=140\)

\(2d+3d=140\)

\(5d=140\)

\(d=28\)

W jednym dużym opakowaniu jest \(28\) kubków, zatem w sześciu:

\(6\cdot 28=168\)

Sprawdzenie: \(2\cdot 28+6\cdot 14=56+84=140\) ✓

Odpowiedź: w sześciu dużych opakowaniach jest \(168\) kubków.

Ścieżki prowadzą od boków trawnika prostopadle do boków kwietnika, więc wzdłuż każdego kierunku bok trawnika składa się z boku kwietnika i dwóch ścieżek tej samej długości.

Wyznaczamy pierwszy wymiar kwietnika (dwie ścieżki po \(2{,}5\) m):

\(9-2\cdot 2{,}5=9-5=4\) m

Wyznaczamy drugi wymiar kwietnika (dwie ścieżki po \(1{,}5\) m):

\(9-2\cdot 1{,}5=9-3=6\) m

Obliczamy pole kwietnika:

\(P=4\cdot 6=24\ \text{m}^2\)

Odpowiedź: pole powierzchni kwietnika jest równe \(24\) m\(^2\).

Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, a przez \(b\) długość krawędzi bocznej.

Na rysunku 1. pogrubiono \(2\) krawędzie podstawy i \(3\) krawędzie boczne, a na rysunku 2. — \(3\) krawędzie podstawy i \(3\) krawędzie boczne. Zapisujemy układ równań:

\(2a+3b=27\)

\(3a+3b=30\)

Odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego:

\(a=3\)

Podstawiamy do drugiego równania:

\(3\cdot 3+3b=30\)

\(3b=21\)

\(b=7\)

Obliczamy objętość graniastosłupa o podstawie kwadratowej:

\(V=a^2\cdot b=3^2\cdot 7=9\cdot 7=63\ \text{cm}^3\)

Odpowiedź: objętość graniastosłupa jest równa \(63\) cm\(^3\).