Skala i plan

Mnożymy na krzyż:

$$20x=60 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: $\frac34=\frac{15}{20}$ — oba ułamki równe $0{,}75$ ✔

Odpowiedź: C. $3$.

Krok 1 — cena za kilogram:

$$17{,}50:5=3{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — osiem kilogramów:

$$8\cdot3{,}50=28\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $28$ zł.

Krok 1 — odległość rzeczywista w centymetrach:

$$7\cdot100\,000=700\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry ($1$ km $=100\,000$ cm):

$$700\,000:100\,000=7\ \text{km}$$

Skrót wart zapamiętania: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr na mapie to dokładnie $1$ km.

Odpowiedź: $7$ km.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3=5$$

Krok 2 — jedna część:

$$120:5=24\ \text{zł}$$

Krok 3 — mniejsza część to dwie takie części:

$$2\cdot24=48\ \text{zł}$$

Pułapka: $24$ zł to jedna część, a nie mniejsza z dwóch.

Odpowiedź: B. $48$ zł.

Mnożymy na krzyż:

$$9x=72 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $\frac68=0{,}75$ oraz $\frac{9}{12}=0{,}75$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$3\cdot250=750\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$750:100=7{,}5\ \text{m}$$

Odpowiedź: A. $7{,}5$ m.

Krok 1 — stosunek wkładów (dzielimy przez $5$):

$$10:15:25=2:3:5$$

Krok 2 — liczba części:

$$2+3+5=10$$

Krok 3 — jedna część:

$$40\,000:10=4000\ \text{zł}$$

Krok 4 — podział:

$$2\cdot4000=8000,\qquad 3\cdot4000=12\,000,\qquad 5\cdot4000=20\,000$$

Sprawdzenie: $8000+12\,000+20\,000=40\,000$ zł ✔

Odpowiedź: $8000$ zł, $12\,000$ zł i $20\,000$ zł.

Krok 1 — proporcja. Zużycie jest wprost proporcjonalne do drogi:

$$\frac{6}{100}=\frac{x}{350}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$100x=2100 \quad\Rightarrow\quad x=21\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: $21$ litrów.

Krok 1 — w centymetrach:

$$30\cdot50=1500\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$1500:100=15\ \text{m}$$

Odpowiedź: D. $15$ m.

Krok 1 — liczba części:

$$3+5=8$$

Krok 2 — jedna część:

$$56:8=7\ \text{cm}$$

Krok 3 — obie części:

$$3\cdot7=21\ \text{cm},\qquad 5\cdot7=35\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $21+35=56$ cm ✔

Odpowiedź: $21$ cm i $35$ cm.

Przy proporcjonalności wprost wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Dwa razy więcej biletów to dwa razy większa kwota.

Pozostałe przykłady opisują proporcjonalność odwrotną: więcej robotników — krócej, większa prędkość — krótszy czas, więcej osób — mniejsze porcje.

Odpowiedź: C. liczba kupionych biletów i zapłacona kwota.

Krok 1 — w centymetrach:

$$12\cdot25\,000=300\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$300\,000:100\,000=3\ \text{km}$$

Odpowiedź: $3$ km.

Krok 1 — proporcja:

$$\frac{300}{6}=\frac{x}{15}$$

Krok 2 — rozwiązanie:

$$6x=4500 \quad\Rightarrow\quad x=750\ \text{g}$$

Kontrola metodą jednostkową: na osobę przypada $50$ g, a $15\cdot50=750$ g ✔

Odpowiedź: $750$ g mąki.

Krok 1 — obie długości w tych samych jednostkach:

$$4\ \text{km}=400\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — stosunek:

$$\frac{8}{400\,000}=\frac{1}{50\,000}$$

Odpowiedź: B. $1:50\,000$.

Krok 1 — liczba części:

$$1+4+5=10$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:10=18^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$18^\circ,\qquad 72^\circ,\qquad 90^\circ$$

Sprawdzenie: $18+72+90=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $18^\circ$, $72^\circ$, $90^\circ$ — trójkąt prostokątny.

Zamiana miejscami licznika i mianownika daje odwrotność ułamka:

$$\frac{b}{a}=\frac73$$

Sprawdzenie: $\frac37\cdot\frac73=1$ ✔ — iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze wynosi $1$.

Odpowiedź: A. $\frac73$.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3+7=12$$

Krok 2 — jedna część:

$$1200:12=100\ \text{m}^2$$

Krok 3 — podział w metrach kwadratowych:

$$200\ \text{m}^2,\qquad 300\ \text{m}^2,\qquad 700\ \text{m}^2$$

Krok 4 — zamiana na ary ($1$ ar $=100$ m$^2$):

$$2\ \text{ary},\qquad 3\ \text{ary},\qquad 7\ \text{arów}$$

Ładna obserwacja: skoro jedna część wyszła równo $1$ ar, liczby arów pokrywają się ze stosunkiem podziału.

Odpowiedź: $2$, $3$ i $7$ arów.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$4\cdot100=400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$3\cdot100=300\ \text{cm}=3\ \text{m}$$

Krok 2 — powierzchnia:

$$4\cdot3=12\ \text{m}^2$$

Uwaga na pole. Powierzchnia na planie to $4\cdot3=12$ cm$^2$, a rzeczywista $12$ m$^2$ — czyli $120\,000$ cm$^2$. Stosunek pól wynosi $100^2=10\,000$, a nie $100$. Pole zmienia się jak kwadrat skali.

Odpowiedź: $4$ m na $3$ m, powierzchnia $12$ m$^2$.

Krok 1 — rozpoznanie zależności. Im więcej malarzy, tym krócej — to proporcjonalność odwrotna. Stała jest łączna praca:

$$4\cdot9=36\ \text{dniówek}$$

Krok 2 — czas dla sześciu:

$$36:6=6\ \text{dni}$$

Kontrola sensu: więcej ludzi, więc czas musi się skrócić — i faktycznie $6<9$ ✔ Gdybyśmy zastosowali proporcję wprost, wyszłoby $13{,}5$ dnia, czyli wynik oczywiście błędny.

Odpowiedź: $6$ dni.

Krok 1 — liczba części:

$$7+3=10$$

Krok 2 — jedna część:

$$45:10=4{,}5\ \text{kg}$$

Krok 3 — masy metali:

$$\text{miedź: } 7\cdot4{,}5=31{,}5\ \text{kg}$$

$$\text{cynk: } 3\cdot4{,}5=13{,}5\ \text{kg}$$

Krok 4 — procent cynku:

$$\frac{13{,}5}{45}=0{,}3=30\%$$

Skrót: cynk to $3$ z $10$ części, czyli od razu $30\%$ — przy stosunku sumującym się do $10$ części procenty odczytuje się wprost.

Odpowiedź: miedź $31{,}5$ kg, cynk $13{,}5$ kg, czyli $30\%$ stopu.