Porównywanie liczb całkowitych

Na osi liczbowej mniejsza jest ta liczba, która leży bardziej na lewo.

$$-7 \ < \ -3 \ < \ 0 \ < \ 2$$

Pułapka: przy liczbach ujemnych działa to odwrotnie niż przy dodatnich — im większa cyfra po minusie, tym liczba mniejsza. Siedem jest większe od trzech, ale $-7$ jest mniejsze od $-3$.

Odpowiedź: D. $-7$.

Na osi liczbowej większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.

$$-5<-2$$

Zapamiętaj: spośród liczb ujemnych mniejsza jest ta, która ma większą wartość bezwzględną — $-5$ leży dalej od zera niż $-2$.

Odpowiedź: B. $-2$.

Wyobraź sobie oś liczbową: startujemy w punkcie $-8$ i idziemy $15$ kroków w prawo (bo dodajemy).

Po $8$ krokach jesteśmy w zerze, zostaje jeszcze $15-8=7$ kroków:

$$-8+15=7$$

Sposób rachunkowy: liczby mają różne znaki, więc odejmujemy mniejszą wartość od większej ($15-8=7$) i bierzemy znak liczby o większej wartości — tu $+15$, czyli wynik dodatni.

Odpowiedź: $7$.

Idziemy po osi od lewej do prawej — najpierw liczby ujemne, potem zero, potem dodatnie:

$$-7<-1<0<3<5$$

Odpowiedź: $-7$, $-1$, $0$, $3$, $5$.

Startujemy w $-6$ i idziemy $9$ kroków w lewo (bo odejmujemy):

$$-6-9=-15$$

Jak to zapamiętać: gdy obie liczby są ujemne, „długi ujemny” tylko się wydłuża — dodajemy wartości ($6+9=15$) i zostawiamy minus.

Przykład z życia: masz $6$ zł długu i pożyczasz jeszcze $9$ zł — łącznie jesteś $15$ zł na minusie.

Odpowiedź: $-15$.

Szukamy parami:

$$1\cdot20,\qquad 2\cdot10,\qquad 4\cdot5$$

$$1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 10,\ 20$$

Odpowiedź: $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$.

Reguła znaków przy mnożeniu:

$$(-)\cdot(-)=(+),\qquad (-)\cdot(+)=(-),\qquad (+)\cdot(+)=(+)$$

Oba czynniki są ujemne, więc wynik jest dodatni. Mnożymy same liczby: $4\cdot5=20$.

$$(-4)\cdot(-5)=20$$

Pułapka: odpowiedzi C i D to wynik dodawania $4+5$, a nie mnożenia — łatwo pomylić działanie, gdy skupiamy się na znakach.

Odpowiedź: B. $20$.

Środek to średnia obu liczb:

$$\frac{-6+2}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$

Sprawdzenie: od $-6$ do $-2$ są $4$ jednostki i od $-2$ do $2$ też $4$ ✔

Odpowiedź: C. $-2$.

Przy dzieleniu obowiązuje ta sama reguła znaków co przy mnożeniu. Dwa minusy dają plus:

$$(-36):(-4)=9$$

Sprawdzenie mnożeniem: $(-4)\cdot9=-36$. Zgadza się.

Odpowiedź: $9$.

Mnożymy $6$ przez kolejne liczby naturalne:

$$6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30$$

Odpowiedź: $6$, $12$, $18$, $24$, $30$.

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej. Odległość nigdy nie jest ujemna.

Liczba $-12$ leży $12$ jednostek od zera, więc:

$$|-12|=12$$

Tak samo $|12|=12$ — obie liczby są jednakowo oddalone od zera, tylko po przeciwnych stronach.

Odpowiedź: A. $12$.

Liczba przeciwna ma tę samą wartość bezwzględną, ale przeciwny znak:

$$-(-9)=9$$

Cecha charakterystyczna: suma liczby i jej przeciwnej wynosi zero — $-9+9=0$ ✔

Uwaga: $\frac19$ to liczba odwrotna do $9$, a nie przeciwna.

Odpowiedź: A. $9$.

Krok 1 — dzielimy liczby na grupy. Ujemne: $-5$, $-12$, $-1$. Zero: $0$. Dodatnie: $3$.

Krok 2 — porządkujemy ujemne. Im dalej od zera, tym mniejsza liczba:

$$-12 \ < \ -5 \ < \ -1$$

Krok 3 — składamy całość. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera, a zero od każdej dodatniej:

$$-12 \ < \ -5 \ < \ -1 \ < \ 0 \ < \ 3$$

Odpowiedź: $-12,\ -5,\ -1,\ 0,\ 3$.

Krok 1 — spadek oznacza ruch w lewo:

$$-3-5=-8$$

Krok 2 — droga na osi. Startujemy w $-3$ i cofamy się o $5$ jednostek: $-4$, $-5$, $-6$, $-7$, $-8$.

Uwaga: spadek od wartości ujemnej daje liczbę jeszcze mniejszą — oddalamy się od zera.

Odpowiedź: $-8^\circ$C.

Wzrost temperatury to dodawanie:

$$-7+12=5$$

Jak to policzyć na osi: z $-7$ idziemy $12$ kroków w prawo. Po $7$ krokach jesteśmy w zerze, zostaje $12-7=5$ kroków ponad zero.

Odpowiedź: po południu było $5$ stopni Celsjusza.

Wypisujemy:

$$-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$$

Jest ich sześć.

Sprawdzenie wzorem: $3-(-4)-1=6$ ✔

Uwaga: zera nie wolno pominąć — to też liczba całkowita.

Odpowiedź: $6$ liczb.

Mnożymy po kolei, od lewej strony:

$$(-2)\cdot(-3)=6 \qquad \text{(dwa minusy dają plus)}$$

$$6\cdot(-1)=-6 \qquad \text{(plus razy minus daje minus)}$$

Skrót do zapamiętania: liczymy minusy. Jest ich trzy, czyli nieparzysta liczba, więc wynik jest ujemny. Wartość to $2\cdot3\cdot1=6$.

Odpowiedź: C. $-6$.

Dzielniki $12$: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$.

Wielokrotności $3$: $3$, $6$, $9$, $12$, $15$, …

Wspólne są $3$, $6$ i $12$ — spośród podanych opcji tylko $6$.

Odpowiedź: D. $6$.

Zjazd w dół zapisujemy jako odejmowanie, wjazd w górę jako dodawanie:

$$0-3+5$$

Krok 1: $0-3=-3$ — winda jest na trzecim poziomie parkingu podziemnego.

Krok 2: $-3+5=2$ — wjeżdża $5$ poziomów, czyli mija parter i zatrzymuje się dwa poziomy nad nim.

Odpowiedź: winda zatrzymała się na poziomie $2$ (drugie piętro).

Pierwsze działanie. Liczby mają różne znaki, więc odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak większej:

$$-7+12=5$$

Drugie działanie:

$$4-9=-5$$

Na osi: w pierwszym idziemy z $-7$ o $12$ w prawo, w drugim z $4$ o $9$ w lewo.

Odpowiedź: $5$ oraz $-5$.

Liczba przeciwna to ta sama liczba ze zmienionym znakiem. Leży po drugiej stronie zera, w tej samej odległości.

$$\text{przeciwna do } -15 \ \text{ to } \ 15$$

Test: suma liczby i liczby do niej przeciwnej zawsze daje zero: $-15+15=0$. Zgadza się.

Nie mylić z odwrotnością — odwrotnością $-15$ jest $-\tfrac{1}{15}$, a to zupełnie co innego.

Odpowiedź: B. $15$.

Wartość bezwzględna to odległość od zera na osi — zawsze nieujemna:

$$|-15|=15$$

Odpowiedź: B. $15$.

Działania dodawania i odejmowania wykonujemy po kolei, od lewej:

Krok 1:

$$-20+8=-12$$

(idziemy $8$ kroków w prawo z punktu $-20$)

Krok 2:

$$-12-5=-17$$

(idziemy jeszcze $5$ kroków w lewo)

Odpowiedź: $-17$.

Krok 1 — po wjeździe:

$$-2+7=5$$

Krok 2 — po zjeździe:

$$5-3=2$$

Sprawdzenie jednym rachunkiem: $-2+7-3=2$ ✔

Odpowiedź: na poziomie $2$.

Wpłata to dodawanie do aktualnego stanu:

$$-120+200=80$$

Jak to policzyć: najpierw $120$ zł spłaca cały debet i konto wraca do zera. Z wpłaconych $200$ zł zostaje $200-120=80$ zł.

Odpowiedź: na koncie jest $80$ zł.

Szukamy parami:

$$1\cdot24,\quad 2\cdot12,\quad 3\cdot8,\quad 4\cdot6$$

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

Dzielników jest osiem.

Wskazówka: szukanie parami gwarantuje, że nic nie pominiemy — kończymy, gdy czynniki zaczną się mijać.

Odpowiedź: $8$ dzielników.

Wypisujemy wszystkie liczby całkowite leżące ściśle między $-4$ a $3$:

$$-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$$

Liczymy je: jest ich sześć.

Uwaga na zero — to też liczba całkowita i łatwo o niej zapomnieć. Bez zera wyszłoby błędne $5$.

Odpowiedź: C. $6$.

Porównujemy odległości od zera, czyli wartości bezwzględne:

$$|-1|=1,\quad |-5|=5,\quad |3|=3,\quad |2|=2$$

Najmniejsza odległość to $1$.

Uwaga: znak nie ma tu znaczenia — liczy się tylko odległość.

Odpowiedź: A. $-1$.

Kolejność działań: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie. Minus razy plus daje minus:

$$(-5)\cdot6=-30$$

Krok 2 — dodawanie:

$$-30+40=10$$

Częsty błąd: liczenie od lewej bez uwzględnienia kolejności działań, czyli $(-5)\cdot(6+40)=-230$. Mnożenie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: $10$.

Dzielniki $18$: $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$.

Dzielniki $24$: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$.

Wspólne: $1$, $2$, $3$, $6$.

Największy z nich to $6$ — to właśnie NWD$(18,\,24)$.

Odpowiedź: $1$, $2$, $3$, $6$; największy to $6$.

Różnicę temperatur liczymy odejmując od większej wartości mniejszą:

$$-3-(-11)$$

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:

$$-3-(-11)=-3+11=8$$

Sprawdzenie na osi: od $-11$ do $0$ jest $11$ kresek, od $0$ do $-3$ cofamy się o $3$, więc $11-3=8$. Zgadza się.

Odpowiedź: we Wrocławiu było cieplej o $8$ stopni.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$-6\cdot(-4)=24$$

Reguła znaków: jednakowe znaki dają plus, różne — minus.

Odpowiedź: C. $24$.

Sprawdzamy każdą możliwość:

$$\text{A: } (-3)\cdot5=-15 \quad \text{(ujemny)}$$

$$\text{B: } (-3)\cdot(-5)=15 \quad \text{(dodatni)}$$

$$\text{C: } 3\cdot(-5)=-15 \quad \text{(ujemny)}$$

$$\text{D: } 0\cdot(-5)=0 \quad \text{(zero — ani dodatnie, ani ujemne)}$$

Iloczyn jest dodatni tylko wtedy, gdy oba czynniki mają ten sam znak i żaden nie jest zerem.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$-5,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3$$

Krok 2 — skrajne wartości:

$$\text{najwyższa } 3^\circ\text{C},\qquad \text{najniższa } -5^\circ\text{C}$$

Krok 3 — różnica:

$$3-(-5)=3+5=8^\circ\text{C}$$

Kontrola na osi: od $-5$ do $0$ jest $5$ jednostek, a od $0$ do $3$ jeszcze $3$ — razem $8$ ✔

Odpowiedź: najwyższa $3^\circ$C, najniższa $-5^\circ$C, różnica $8^\circ$C.

Wynurzanie to ruch w górę, czyli dodawanie:

$$-18+7=-11$$

Kontrola sensu: nurek nadal jest pod wodą (wynik ujemny), bo wynurzył się tylko o $7$ z $18$ metrów. Zostało mu jeszcze $11$ metrów do powierzchni.

Odpowiedź: nurek jest na poziomie $-11$ m, czyli $11$ metrów pod powierzchnią.

Krok 1 — pierwsza liczba:

$$-2-6=-8$$

Krok 2 — druga liczba:

$$4-6=-2$$

Krok 3 — porównanie:

$$-8<-2$$

Obserwacja. Obie liczby powstały przez cofnięcie o $6$ jednostek na osi. Różnica między nimi jest taka sama jak między punktami startowymi: $4-(-2)=6$, a $-2-(-8)=6$ ✔ Przesunięcie o stałą wartość zachowuje odległości.

Odpowiedź: $-8$ oraz $-2$.

Kolejność działań: najpierw dzielenie i mnożenie, dopiero na końcu dodawanie.

Krok 1 — dzielenie. Minus dzielony przez plus daje minus:

$$(-48):6=-8$$

Krok 2 — mnożenie. Dwa minusy dają plus:

$$(-2)\cdot(-3)=6$$

Krok 3 — dodawanie wyników:

$$-8+6=-2$$

Odpowiedź: $-2$.

Krok 1 — co oznacza warunek. Szukamy liczb oddalonych od zera o mniej niż $4$ jednostki.

Krok 2 — rozpisujemy:

$$-4

Krok 3 — liczby całkowite w tym przedziale:

$$-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$$

Jest ich siedem.

Uwaga: $-4$ i $4$ nie spełniają warunku, bo ich odległość od zera wynosi dokładnie $4$, a nierówność jest ostra.

Odpowiedź: $7$ liczb: od $-3$ do $3$.

Krok 1 — sumujemy wszystkie temperatury. Wygodnie jest zsumować osobno ujemne i osobno dodatnie.

$$\text{ujemne: } -2-5-1=-8$$

$$\text{dodatnie: } 0+3=3$$

$$\text{razem: } -8+3=-5$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę dni:

$$(-5):5=-1$$

Kontrola sensu: większość dni była na minusie, więc średnia ujemna jest wynikiem oczekiwanym. Mieści się też pomiędzy najniższą ($-5$) a najwyższą ($3$) temperaturą, tak jak każda średnia.

Odpowiedź: średnia temperatura wynosiła $-1$ stopień Celsjusza.

Krok 1 — zapis liczbami. Dług oznaczamy liczbą ujemną:

$$\text{Adam}: -150\ \text{zł},\qquad \text{Basia}: -90\ \text{zł}$$

Krok 2 — różnica długów. Porównujemy wartości bezwzględne:

$$150-90=60\ \text{zł}$$

Krok 3 — łączny dług:

$$-150+(-90)=-240\ \text{zł}$$

Razem muszą oddać $240$ zł.

Uwaga na sformułowanie. Dług Adama jest większy co do kwoty, ale jako liczba $-150$ jest mniejsza od $-90$. Przy długach mówimy o wartości bezwzględnej, choć na osi liczbowej porządek jest odwrotny.

Odpowiedź: $-150$ zł i $-90$ zł; dług Adama większy o $60$ zł; razem $240$ zł.