Na czym polegają wzory skróconego mnożenia, skąd się biorą i kiedy pomagają w rozkładzie na czynniki.
4 definicjiJednomian to iloczyn liczby i zmiennych, np. $3x^2y$. Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x^2-5x+1$. Jednomiany różniące się tylko współczynnikiem nazywamy podobnymi — można je redukować: $3x+5x=8x$.
Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego:
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
Przykład: $(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Środkowy wyraz $2ab$ to podwojony iloczyn — o nim najczęściej się zapomina.
$(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Łatwo to sprawdzić na liczbach: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się na czynniki.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Warto znać też sześciany:
$$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$
$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right),\qquad a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$$
$$(a+b)^2\neq a^2+b^2$$
Brakuje środkowego wyrazu $2ab$. Łatwo to sprawdzić liczbami: $(2+3)^2=25$, ale $4+9=13$.
$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$
Do kwadratu podnosimy cały jednomian — również liczbę przed literą. Zapis $2x^2$ zamiast $4x^2$ to bardzo częsta pomyłka.
Od lewej do prawej — rozwijamy. Od prawej do lewej — rozkładamy na czynniki:
$$x^2-49=(x-7)(x+7),\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Umiejętność rozpoznania wzoru w gotowym wyrażeniu jest cenniejsza niż samo mnożenie.
Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów:
$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)=2x(x-3)(x+3)$$
Pominięcie pierwszego kroku daje rozkład niepełny. Wyłączamy zawsze największy wspólny czynnik — z $8x^2+12x$ wyłączamy $4x$, a nie samo $4$ czy samo $x$.
$$102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404$$
$$97\cdot103=(100-3)(100+3)=10\,000-9=9991$$
$$51\cdot49=2500-1=2499$$
Wzory zamieniają jedno trudne mnożenie na kilka łatwych działań.
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Znając $a+b=7$ i $ab=10$, obliczymy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb. To standardowy chwyt w zadaniach z sumą i iloczynem.
$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$
Ponieważ $(x-3)^2\ge0$, całe wyrażenie jest zawsze co najmniej równe $2$ — to standardowy sposób dowodzenia, że wyrażenie kwadratowe jest dodatnie, a przy okazji znajdujemy jego wartość najmniejszą.
Nie gub wyrazu $2ab$. Nie zapominaj o nawiasie przy odejmowaniu całego wyrażenia. I zawsze doprowadzaj rozkład do końca.
$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$.
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ oraz $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$.
Rozkład wielomianów na czynniki i upraszczanie wyrażeń.
Z $(a-b)^2\geq0$ wynika $a^2+b^2\geq2ab$.
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ułatwia szacowanie i rozkład.
Przekształcamy wyrażenie do postaci pełnego kwadratu.
$x^2+4x+5=(x+2)^2+1\geq1$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.