Długość okręgu i pole koła — zadania

Korzystamy ze wzoru na długość okręgu:

$$L=2\pi r=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: $10\pi\approx31{,}4$ cm.

Pułapka: odpowiedź B ($25\pi$) to pole koła, a nie długość okręgu — we wzorze na pole promień jest podnoszony do kwadratu.

Odpowiedź: C. $10\pi$ cm.

$$P=\pi r^2$$

Odpowiedź: B. $\pi r^2$.

Korzystamy ze wzoru na pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: przyjmując $\pi\approx3{,}14$ otrzymujemy $36\cdot3{,}14=113{,}04$ cm$^2$.

Uwaga na kolejność: najpierw podnosimy promień do kwadratu, dopiero potem mnożymy przez $\pi$. Zapis $(\pi\cdot6)^2$ dałby zupełnie inny wynik.

Odpowiedź: $36\pi$ cm$^2$, czyli około $113$ cm$^2$.

$$L=2\pi r$$

Odpowiedź: A. $2\pi r$.

Krok 1 — przekształcamy wzór na długość okręgu:

$$L=2\pi r \quad\Rightarrow\quad r=\frac{L}{2\pi}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$r=\frac{18\pi}{2\pi}=9\ \text{cm}$$

Symbol $\pi$ skraca się — dlatego wygodnie zostawiać go we wzorze do samego końca.

Krok 3 — średnica to dwa promienie:

$$d=2r=18\ \text{cm}$$

Odpowiedź: promień $9$ cm, średnica $18$ cm.

$$P=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Odpowiedź: $25\pi$.

Przekształcamy wzór na pole koła:

$$P=\pi r^2 \quad\Rightarrow\quad r^2=\frac{P}{\pi}=\frac{49\pi}{\pi}=49$$

Wyciągamy pierwiastek:

$$r=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Pułapka: odpowiedź D ($14$ cm) to średnica, a pytanie dotyczy promienia — warto zawsze sprawdzić, o którą wielkość chodzi.

Odpowiedź: B. $7$ cm.

$$L=2\pi\cdot3=6\pi$$

Odpowiedź: $6\pi$.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$L=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{cm}\approx31{,}4\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole:

$$P=\pi\cdot5^2=25\pi\ \text{cm}^2\approx78{,}5\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: podstawienie średnicy w miejsce promienia. Zawsze zaczynaj od sprawdzenia, którą wielkość podano w treści.

Odpowiedź: obwód $10\pi\approx31{,}4$ cm, pole $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

$$d=2r$$

Odpowiedź: C. dwóm promieniom.

We wzorze $P=\pi r^2$ promień występuje w kwadracie, więc podwojenie promienia oznacza czterokrotny wzrost pola:

$$P_2=\pi(2r)^2=\pi\cdot4r^2=4\cdot\pi r^2=4P_1$$

Sprawdźmy na liczbach: dla $r=3$ pole to $9\pi$, a dla $r=6$ pole to $36\pi$. Rzeczywiście $36:9=4$.

Dla porównania: obwód, w którym promień występuje w pierwszej potędze, wzrósłby tylko dwukrotnie.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — promień: $r=\frac{10}{2}=5$.

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Odpowiedź: $25\pi$.

Kąt $90^\circ$ to ćwiartka pełnego kąta, więc łuk stanowi ćwiartkę całego okręgu.

Krok 1 — długość całego okręgu:

$$L=2\pi\cdot8=16\pi\ \text{cm}$$

Krok 2 — bierzemy ćwiartkę:

$$l=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot16\pi=\frac14\cdot16\pi=4\pi\ \text{cm}$$

Wzór ogólny na długość łuku:

$$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$$

Odpowiedź: łuk ma $4\pi\approx12{,}6$ cm.

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\approx16\cdot3{,}14=50{,}24$$

Odpowiedź: około $50{,}24$.

Kąt $60^\circ$ to szósta część pełnego kąta, bo $360^\circ:60^\circ=6$.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — bierzemy szóstą część:

$$P_w=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot36\pi=\frac16\cdot36\pi=6\pi\ \text{cm}^2$$

Wzór ogólny na pole wycinka:

$$P_w=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$$

Odpowiedź: pole wycinka to $6\pi\approx18{,}8$ cm$^2$.

$$L=2\pi\cdot7=14\pi$$

Odpowiedź: D. $14\pi$.

Osią symetrii okręgu jest każda prosta przechodząca przez jego środek. Takich prostych można poprowadzić nieskończenie wiele.

Okrąg ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Dla porównania: kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt $2$, a trójkąt równoboczny $3$.

Odpowiedź: D.

Z wzoru $L=2\pi r$:

$$2\pi r=12\pi \quad\Rightarrow\quad r=\frac{12\pi}{2\pi}=6$$

Odpowiedź: $r=6$.

Krok 1 — jeden obrót koła odpowiada przejechaniu drogi równej obwodowi koła:

$$L=\pi d=3{,}14\cdot70=219{,}8\ \text{cm}$$

Krok 2 — droga po $100$ obrotach:

$$s=100\cdot219{,}8=21\,980\ \text{cm}$$

Krok 3 — zamiana na metry:

$$21\,980\ \text{cm}=219{,}8\ \text{m}$$

Kontrola sensu: koło ma około $2{,}2$ m obwodu, więc $100$ obrotów to około $220$ m — zgadza się.

Odpowiedź: rower przejedzie $219{,}8$ metra.

Z wzoru $P=\pi r^2$:

$$\pi r^2=36\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=36 \quad\Rightarrow\quad r=6$$

Odpowiedź: $r=6$.

Krok 1 — promień wpisanego koła. Największe koło mieszczące się w kwadracie ma średnicę równą bokowi kwadratu:

$$d=10\ \text{cm} \quad\Rightarrow\quad r=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole kwadratu:

$$P_k=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_o=3{,}14\cdot5^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole pozostałej części:

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Kontrola sensu: koło zajmuje blisko $79\%$ kwadratu, więc na cztery narożniki zostaje około jednej piątej powierzchni — to się zgadza.

Odpowiedź: pozostała część ma $21{,}5$ cm$^2$.

$$P=\pi\cdot1^2=\pi$$

Odpowiedź: B. $\pi$.

Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka o dokładnie $r$ — sama linia, bez wnętrza. Ma długość.

Koło to zbiór punktów oddalonych od środka o nie więcej niż $r$ — linia wraz z całym wnętrzem. Ma pole.

Praktyczne rozróżnienie: obręcz roweru to okrąg, a talerz to koło.

Stąd też wzory: dla okręgu liczymy długość $L=2\pi r$, dla koła pole $P=\pi r^2$.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — pole pierścienia to różnica pól kół:

$$P=\pi\cdot5^2-\pi\cdot3^2=25\pi-9\pi$$

Krok 2 — obliczamy:

$$=16\pi$$

Odpowiedź: $16\pi$.

Krok 1 — wyznaczamy promień z obwodu:

$$2\pi r=12\pi \quad\Rightarrow\quad r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — obliczamy pole:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot36=36\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie da się przejść wprost z obwodu na pole — trzeba po drodze wyznaczyć promień. To typowe zadanie dwuetapowe.

Odpowiedź: pole koła to $36\pi\approx113$ cm$^2$.

Krok 1 — pole całego koła: $\pi\cdot6^2=36\pi$.

Krok 2 — połowa:

$$\frac{36\pi}{2}=18\pi$$

Odpowiedź: $18\pi$.

Pierścień to koło większe z wyciętym kołem mniejszym, więc pola odejmujemy.

Krok 1 — pole koła większego:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole koła mniejszego:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie wolno najpierw odejmować promieni. Wynik $\pi(5-3)^2=4\pi$ byłby błędny, bo $(a-b)^2\neq a^2-b^2$.

Odpowiedź: pole pierścienia to $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Pole zależy od kwadratu promienia:

$$\pi(2r)^2=4\pi r^2$$

Odpowiedź: A. $4$-krotnie.

Długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta środkowego, więc trzecia część okręgu odpowiada trzeciej części pełnego kąta:

$$\alpha=\frac13\cdot360^\circ=120^\circ$$

Warto zapamiętać kilka przypadków: $\frac12$ okręgu to $180^\circ$, $\frac14$ to $90^\circ$, $\frac16$ to $60^\circ$.

Odpowiedź: B. $120^\circ$.

Krok 1 — promień: $r=4$ m.

Krok 2 — obwód:

$$L=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\ \text{m}$$

Krok 3 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\approx50{,}24\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: obwód $\approx25{,}12$ m, pole $\approx50{,}24$ m².

Siatka biegnie wzdłuż brzegu klombu, więc liczymy obwód:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot4=25{,}12\ \text{m}$$

Powierzchnia ziemi to pole koła:

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot16=50{,}24\ \text{m}^2$$

Jak rozpoznać, czego szuka zadanie: to, co biegnie wokół (płot, siatka, obwódka), liczymy obwodem; to, co wypełnia (ziemia, trawa, farba), liczymy polem.

Odpowiedź: potrzeba $25{,}12$ m siatki, a klomb zajmie $50{,}24$ m$^2$.

Dla średnicy $d$: $L=\pi d=10\pi$. (Lub $r=5$, $L=2\pi\cdot5=10\pi$.)

Odpowiedź: C. $10\pi$.

Krok 1 — przekątna kwadratu. Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki, więc jego średnica to przekątna kwadratu:

$$d=a\sqrt2=8\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — promień to połowa przekątnej:

$$r=\frac{8\sqrt2}{2}=4\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\left(4\sqrt2\right)^2=\pi\cdot16\cdot2=32\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga przy potęgowaniu: $\left(4\sqrt2\right)^2=4^2\cdot\left(\sqrt2\right)^2=16\cdot2=32$ — do kwadratu podnosimy oba czynniki.

Odpowiedź: $r=4\sqrt2$ cm, pole koła $32\pi\approx100{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — promień z obwodu:

$$2\pi r=20\pi \quad\Rightarrow\quad r=10$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot10^2=100\pi$$

Odpowiedź: $100\pi$.

Równoległobok ma środek symetrii — jest nim punkt przecięcia przekątnych. Jeśli jednak nie jest rombem ani prostokątem, to nie ma żadnej osi symetrii.

Pozostałe przypadki mają jedno i drugie albo odwrotnie:

• kwadrat — $4$ osie i środek symetrii
• koło — nieskończenie wiele osi i środek symetrii
• trójkąt równoboczny — $3$ osie, ale brak środka symetrii

Wniosek: te dwie własności są od siebie niezależne — figura może mieć jedną, drugą, obie albo żadną.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — pole całego koła: $\pi\cdot8^2=64\pi$.

Krok 2 — kąt $90^\circ$ to $\frac{90}{360}=\frac14$ pełnego koła:

$$P=\frac14\cdot64\pi=16\pi$$

Odpowiedź: $16\pi$.

Krok 1 — odcinki proste:

$$2\cdot100=200\ \text{m}$$

Krok 2 — dwa półkola. Dwa półkola o tym samym promieniu tworzą razem pełny okrąg:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot35=219{,}8\ \text{m}$$

Krok 3 — łączna długość okrążenia:

$$200+219{,}8=419{,}8\ \text{m}$$

Kontrola sensu: standardowa bieżnia lekkoatletyczna ma około $400$ m, więc wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: jedno okrążenie ma $419{,}8$ metra.

Krok 1 — pole kwadratu: $10^2=100$.

Krok 2 — promień koła (średnica = bok kwadratu): $r=5$.

Krok 3 — pole koła: $\pi\cdot5^2=25\pi\approx78{,}5$.

Krok 4 — pole poza kołem:

$$100-78{,}5=21{,}5$$

Odpowiedź: około $21{,}5$.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot100=314\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — jaką część koła stanowi wycinek:

$$\frac{72^\circ}{360^\circ}=\frac15=0{,}2$$

Krok 3 — pole wycinka:

$$P_w=0{,}2\cdot314=62{,}8\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — udział procentowy:

$$0{,}2=20\%$$

Warto zauważyć: stosunek kątów, stosunek pól i udział procentowy to ta sama liczba wyrażona na trzy sposoby — dlatego procent można odczytać wprost z kąta, bez liczenia pól.

Odpowiedź: pole pomalowanej części to $62{,}8$ cm$^2$, czyli $20\%$ koła.

Krok 1 — pole koła: $P=\pi r^2$.

Krok 2 — dzielimy przez $r^2$:

$$\frac{P}{r^2}=\frac{\pi r^2}{r^2}=\pi \qquad ∎$$

Wniosek. Iloraz nie zależy od $r$ — to stała $\pi$. Właśnie tak można zdefiniować $\pi$: jako stały stosunek pola koła do kwadratu promienia (albo obwodu do średnicy).

Sprawdzenie: dla $r=5$: $\frac{25\pi}{25}=\pi$ ✔