Definicje: Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Definicje funkcji wykładniczej i logarytmicznej, ich wykresy, monotoniczność i zastosowania.

3 definicji

Funkcja wykładnicza — definicja i własności SP · szkoła podstawowa

Definicja: $f(x) = a^x$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$, $x \in \mathbb{R}$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$, $f(0)=1$, $f(1)=a$.
Równanie $a^x = b$ ma rozwiązanie: $x = \log_a b$ (dla $b > 0$).

Prosto mówiąc: Wykładnicza opisuje wzrost/spadek geometryczny — zdwajanie co pewien czas (np. bakterie) lub rozpad (np. radioaktywny). "Wykładnik to nieznana" — różnica od potęgi $x^2$, gdzie wykładnik jest stały.

Monotoniczność:

$a > 1$: rosnąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=0$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$
$0 < a \lt 1$: malejąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=0$

Naturalna baza: $e \approx 2{,}718$; $f(x)=e^x$ — podstawa analizy matematycznej.
Prawa działań: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$; $(a^m)^n=a^{mn}$.

Przykład: Rozwiąż $2^{2x-1} = 8$.

$8 = 2^3$, więc $2^{2x-1} = 2^3$
$2x-1=3 \Rightarrow x=2$

⚡ Zapamiętaj: $a^x > 0$ zawsze (wykładnicza nigdy nie jest zerem!). Czas podwojenia przy wzroście geometrycznym: $T = \dfrac{\ln 2}{\ln a}$ (np. dla $a=2$: $T=1$, dla $a=1{,}07$: $T\approx10{,}2$ lat).

Własności funkcji wykładniczej (klasa 2 LO) LO · szkoła średnia

Temat lekcji: Własności funkcji wykładniczej

Wzór

$y=a^x$ dla $a>0$ i $a\neq1$.

Monotoniczność

Rosnąca dla $a>1$, malejąca dla $0\lt a\lt 1$.

Wykres

Przechodzi przez $(0,1)$; asymptota pozioma $y=0$.

Zbiór wartości

Wartości dodatnie: $y>0$.

Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej — cz. 2 (klasa 2 LO) LO · szkoła średnia

Temat lekcji: Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej (2)

Przesunięcie

$y=a^{x-p}+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$; asymptota $y=q$.

Odbicia

$y=a^{-x}$ to odbicie względem osi $OY$; $y=-a^x$ względem osi $OX$.

Rozciągnięcia

$y=c\cdot a^x$ rozciąga wykres pionowo.

Dziedzina

Cały zbiór liczb rzeczywistych.

← Proporcjonalność odwrotna i funkcje wymierne Kąty i figury płaskie →