Start › Definicje i teoria › Matematyka › Zbiory, przedziały i logika

∑ Matematyka ⚛ Fizyka ⬡ Chemia 📖 Język polski

Definicje: Zbiory, przedziały i logika

Zbiory i działania na zbiorach, przedziały liczbowe, zdania logiczne i kwantyfikatory — język matematyki.

3 definicji

Zbiory — definicja i działania SP · szkoła podstawowa

Definicja: Zbiór to kolekcja dobrze określonych obiektów (elementów). Zapisujemy: $A = \{1, 2, 3\}$ lub opisowo.

$x \in A$ — $x$ należy do $A$
$x \notin A$ — $x$ nie należy do $A$
$\emptyset$ — zbiór pusty
$A \subseteq B$ — $A$ jest podzbiorem $B$ (każdy element $A$ jest w $B$)

Działania na zbiorach:

Suma $A \cup B$: elementy należące do $A$ LUB $B$ (albo obu)
Iloczyn (część wspólna) $A \cap B$: elementy należące do $A$ I $B$
Różnica $A \setminus B$: elementy $A$, które nie są w $B$
Dopełnienie $A^c$: elementy spoza $A$ (w zbiorze uniwersalnym)

Liczby rzeczywiste jako zbiory (inkluzje): $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$ Liczby niewymierne ($\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$): $\sqrt{2}, \pi, e$ — nie da się zapisać jako ułamka.

Przykład: $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{3,4,5,6\}$.

$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$
$A \cap B = \{3,4\}$
$A \setminus B = \{1,2\}$

⚡ Zapamiętaj: Suma ∪ = LUB (więcej elementów). Iloczyn ∩ = I (wspólne). Diagram Venna pomaga to wizualizować.

Zbiory i przedziały liczbowe LO · szkoła średnia

Temat lekcji: Zbiory

Zbiory i przynależność

Zbiór to kolekcja elementów. Zapis $a\in A$ czytamy „$a$ należy do $A$”, a $a\notin A$ — „nie należy”. Symbol $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów: $A\subset B$ znaczy, że każdy element $A$ jest też elementem $B$.

Działania na zbiorach

Suma $A\cup B$ — elementy należące do $A$ lub do $B$
Część wspólna $A\cap B$ — elementy należące do $A$ i do $B$
Różnica $A\setminus B$ — elementy $A$, które nie należą do $B$

Różnica nie jest przemienna: $A\setminus B$ to zwykle co innego niż $B\setminus A$.

Liczba podzbiorów

$$\text{zbiór } n\text{-elementowy ma } 2^n \text{ podzbiorów}$$

Wliczamy w to zbiór pusty i cały zbiór — o nich najłatwiej zapomnieć.

Zbiory liczbowe

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste. Liczby niewymierne (np. $\sqrt2$, $\pi$) należą do $\mathbb{R}$, ale nie do $\mathbb{Q}$.

Przedziały — zapis

$\langle a,\,b\rangle$ — domknięty, oba końce należą ($a\le x\le b$)
$(a,\,b)$ — otwarty, końce nie należą ($a\lt x\lt b$)
$\langle a,\,b)$ — domknięty z lewej ($a\le x\lt b$)

Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły: $\langle 3,\,+\infty)$ — nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do przedziału.

Działania na przedziałach

Warto naszkicować oba przedziały na jednej osi liczbowej.

część wspólna — od większego lewego końca do mniejszego prawego
suma — od mniejszego lewego do większego prawego (o ile przedziały się zazębiają)

Przykład: $\langle 1,\,6\rangle\cap\langle 4,\,9\rangle=\langle 4,\,6\rangle$.

Na co uważać

Nie mylić $\in$ (element i zbiór) z $\subset$ (dwa zbiory). Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale sprawdź uważnie, czy końce należą — najczęstszy błąd to pomyłka o jeden. Jeśli przedziały nie mają części wspólnej, ich suma zostaje zapisana z symbolem $\cup$ i nie da się jej „skleić” w jeden przedział.

Język matematyki — zdania i kwantyfikatory (klasa 1 LO) LO · szkoła średnia

Temat lekcji: Język matematyki — zagadnienia uzupełniające

Zdania logiczne

Zdanie ma jednoznaczną wartość: prawda albo fałsz.

Spójniki

Koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność.

Kwantyfikatory

„dla każdego" ($\forall$) oraz „istnieje" ($\exists$).

Zaprzeczenia

Zaprzeczenie „dla każdego" to „istnieje takie, że nie".

← Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia →