Start › Definicje i teoria › Matematyka › Funkcje — pojęcia i własności
∑ Matematyka⚛ Fizyka⬡ Chemia📖 Język polski

Definicje: Funkcje — pojęcia i własności

Definicja funkcji, dziedzina i zbiór wartości, wykres, miejsce zerowe, monotoniczność, parzystość i okresowość.

11 definicji
Funkcje cyklometryczne — arcsin, arccos, arctg, arccotg LO · szkoła średnia
Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do trygonometrycznych (z ograniczoną dziedziną):
  • $\arcsin x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$; $\arcsin x = \alpha \Leftrightarrow \sin\alpha = x$
  • $\arccos x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $[0, \pi]$; $\arccos x = \alpha \Leftrightarrow \cos\alpha = x$
  • $\text{arctg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$; $\text{arctg}\, x = \alpha \Leftrightarrow \text{tg}\,\alpha = x$
  • $\text{arccotg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $(0, \pi)$
Prosto mówiąc: Funkcje cyklometryczne odpowiadają na pytanie „dla jakiego kąta sinus (cosinus, tangens…) wynosi tyle?". $\arcsin(\tfrac{1}{2}) = 30°$, bo $\sin 30° = \tfrac{1}{2}$. Ograniczenie dziedziny jest konieczne, bo funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe na całym $\mathbb{R}$.
Ważne tożsamości:
  • $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in [-1,1]$
  • $\text{arctg}\, x + \text{arccotg}\, x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in \mathbb{R}$
  • $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (nieparzysta); $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$
Pochodne (kluczowe dla całkowania): $$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\text{arctg}\, x)' = \frac{1}{1+x^2}$$ Całki: $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$, $\quad\displaystyle\int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg}\, x + C$
Przykłady:
  1. $\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{\pi}{4} = 45°$
  2. $\arccos(-1) = \pi = 180°$
  3. $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3} = 60°$
  4. Równanie: $\sin x = 0{,}6 \Rightarrow x = \arcsin(0{,}6) \approx 36{,}87°$ (plus okresy)
⚡ Zapamiętaj: $\arcsin$ i $\arccos$ mają dziedzinę $[-1,1]$. $\text{arctg}$ przyjmuje wszystkie liczby rzeczywiste. Tożsamość $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ — suma zawsze daje kąt prosty!
Funkcja złożona — definicja i obliczenia LO · szkoła średnia
Definicja: Złożenie funkcji $g\circ f$: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Dziedzina złożenia: $\{x\in D_f : f(x)\in D_g\}$. Złożenie nie jest na ogół przemienne: $g\circ f \neq f\circ g$.
Prosto mówiąc: Wynik jednej funkcji staje się argumentem drugiej. Jak "rura": wchodzi $x$, przechodzi przez $f$, wynik idzie do $g$, wychodzi $g(f(x))$.
Zastosowanie:
  • Reguła łańcuchowa w różniczkowaniu
  • Zmiana zmiennej w całkowaniu
  • Programowanie funkcyjne (compose)
Przykład: $f(x)=x^2+1$, $g(x)=\sqrt{x}$. $(g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1}$ (dziedzina: $\mathbb{R}$). $(f\circ g)(x)=(\sqrt{x})^2+1=x+1$ (dziedzina: $x\geq0$). Wyniki różne!
⚡ Zapamiętaj: $(g\circ f)(x)$ czytamy "g po f" — najpierw $f$, potem $g$. Kolejność ważna! Sprawdź dziedzinę złożenia.
Funkcja odwrotna — kiedy istnieje i jak ją wyznaczać LO · szkoła średnia
Definicja: Funkcja $f^{-1}$ odwrotna do $f$ istnieje, gdy $f$ jest różnowartościowa (bijekcja). Wyznaczanie: zamień $x$ i $y$, a następnie wyrażenie wyraź $y$. $D_{f^{-1}}=Z_f$, $Z_{f^{-1}}=D_f$.
Prosto mówiąc: $f^{-1}$ "cofa" działanie $f$. Jeśli $f(3)=7$, to $f^{-1}(7)=3$. Wykresy $f$ i $f^{-1}$ są symetryczne względem $y=x$.
Zastosowanie:
  • $\ln$ jako odwrotność $e^x$
  • $\arcsin$ jako odwrotność $\sin$ (na odpowiednim przedziale)
  • Kryptografia (klucz publiczny i prywatny)
Przykład: $f(x)=2x+3$. Zamiana: $y=2x+3\to x=2y+3\to y=\tfrac{x-3}{2}$. Więc $f^{-1}(x)=\tfrac{x-3}{2}$. Sprawdzenie: $f(f^{-1}(x))=2\cdot\tfrac{x-3}{2}+3=x$ ✓
⚡ Zapamiętaj: Warunek istnienia: funkcja musi być różnowartościowa (każda wartość tylko raz). Funkcja kwadratowa na całej dziedzinie NIE ma odwrotności (bez ograniczenia dziedziny).
Badanie przebiegu zmienności funkcji — schemat LO · szkoła średnia

Pełny schemat badania funkcji:

  1. Dziedzina $D$
  2. Parzysta/nieparzysta/brak symetrii
  3. Miejsca zerowe
  4. Granice i asymptoty
  5. Pochodna $f'$ → ekstrema i monotoniczność
  6. Pochodna $f''$ → wypukłość i punkty przegięcia
  7. Wykres

Ekstrema: $f'(c)=0$ i zmiana znaku $f'$ → minimum lub maksimum lokalne.

Wypukłość: $f''>0$ → wypukła w górę (łuk), $f''\lt 0$ → wklęsła.

Punkt przegięcia: $f''=0$ i zmiana znaku $f''$.

$f(x)=x^3-3x$: $f'=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1$; $f''=6x$: min w $x=1$ (f''=6>0), max w $x=-1$.

Zawsze sprawdzaj dziedzinę przed różniczkowaniem — logarytmy i pierwiastki mają ograniczenia.

Miejsca zerowe a wykres funkcji LO · szkoła średnia
Definicja: Miejsce zerowe funkcji $f$ to takie $x_0$, że $f(x_0)=0$. Na wykresie: punkt przecięcia z osią OX. Liczba miejsc zerowych informuje o liczbie pierwiastków rzeczywistych równania $f(x)=0$.
Prosto mówiąc: Gdzie wykres "krzyżuje" oś poziomą — tam jest miejsce zerowe. Funkcja kwadratowa może mieć 0, 1 lub 2 miejsca zerowe w zależności od wyróżnika.
Zastosowanie:
  • Rozwiązywanie równań graficznie
  • Faktoryzacja wielomianów
  • Analiza modeli fizycznych (równowaga)
Przykład: $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$. Miejsca zerowe: $x=0, 1, -1$. Wykres przecina OX w trzech punktach. Twierdzenie Rolle'a: między zerami jest ekstremum.
⚡ Zapamiętaj: Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ miejsc zerowych w $\mathbb{R}$. Nieparzyste stopnie mają zawsze co najmniej jedno.
Dziedzina i zbiór wartości funkcji LO · szkoła średnia
Definicja: Dziedzina $D_f$ to zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów. Zbiór wartości (przeciwdziedzina) $Z_f$ to zbiór wszystkich wartości, które funkcja przyjmuje. Związek: $Z_f \subseteq$ koddziedzina.
Prosto mówiąc: Dziedzina = "co możemy włożyć". Zbiór wartości = "co wychodzi". Np. $f(x)=x^2$: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $[0,+\infty)$ — kwadrat nigdy nie daje ujemnej wartości.
Zastosowanie:
  • Wyznaczanie ograniczeń w zadaniach
  • Określanie sensu modeli matematycznych
  • Sprawdzanie poprawności obliczeń
Przykład: $f(x)=\sqrt{4-x^2}$. Dziedzina: $4-x^2\geq0$, $|x|\leq2$, $D_f=[-2,2]$. Zbiór wartości: $\sqrt{4-x^2}\in[0,2]$, $Z_f=[0,2]$. (Górna półkula okręgu o $r=2$.)
⚡ Zapamiętaj: Główne ograniczenia dziedziny: pod pierwiastkiem ≥0, w mianowniku ≠0, pod logarytmem >0. Stosuj wszystkie naraz.
Funkcja — definicja formalna LO · szkoła średnia
Definicja: Funkcja $f: X \to Y$ to przyporządkowanie, które każdemu elementowi $x$ ze zbioru $X$ (dziedzina) przypisuje dokładnie jeden element $y$ ze zbioru $Y$ (przeciwdziedzina). Zapisujemy: $y = f(x)$.
  • Dziedzina $D_f = X$ — zbiór dopuszczalnych argumentów
  • Zbiór wartości $W_f \subseteq Y$ — zbiór wartości faktycznie przyjmowanych przez $f$
  • Wykres $= \{(x, f(x)) : x \in D_f\}$ — zbiór punktów na płaszczyźnie
Prosto mówiąc: Funkcja to maszyna — wrzucasz $x$, wychodzi dokładnie jeden $y$. Jeden $x$ → jeden $y$ (ale różne $x$ mogą dawać ten sam $y$).
Jak wyznaczać dziedzinę:
  • Mianownik ≠ 0: $f(x) = \frac{1}{x-2}$ → $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
  • Podpierwiastkowy ≥ 0: $f(x) = \sqrt{x-3}$ → $x \geq 3$, $D_f = [3, +\infty)$
  • Logarytm > 0: $f(x) = \log(x+1)$ → $x > -1$, $D_f = (-1, +\infty)$
Przykład: $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$. Dziedzina?
  1. Warunek 1: $x \geq 0$ (podpierwiastkowy)
  2. Warunek 2: $x - 1 \neq 0$, czyli $x \neq 1$
  3. $D_f = [0, 1) \cup (1, +\infty)$
⚡ Zapamiętaj: Test pionowej prostej — jeśli pionowa prosta przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, to NIE jest to funkcja!
Monotoniczność i miejsca zerowe funkcji LO · szkoła średnia
Definicje:
  • Rosnąca: dla $x_1 \lt x_2$ zachodzi $f(x_1) \lt f(x_2)$ — im większy argument, tym większa wartość
  • Malejąca: dla $x_1 \lt x_2$ zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$
  • Miejsce zerowe: argument $x_0$ taki, że $f(x_0) = 0$ — punkt przecięcia z osią $OX$
  • Ekstremum lokalne: punkt, gdzie funkcja „zmienia" monotoniczność
Prosto mówiąc: Rosnąca = idzie „w górę" wraz z $x$. Malejąca = idzie „w dół". Miejsca zerowe to punkty, gdzie wykres przecina oś $x$.
Jak badać monotoniczność:
  • Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$: rosnąca gdy $a > 0$, malejąca gdy $a \lt 0$
  • Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$: malejąca potem rosnąca (gdy $a > 0$), z wierzchołkiem jako minimum
  • W szkole średniej: z wykresu lub tablicą znaków pochodnej
Przykład: $f(x) = x^2 - 4$. Miejsca zerowe i monotoniczność?
  1. $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
  2. Parabola otwarta ku górze, wierzchołek $(0, -4)$
  3. Malejąca na $(-\infty, 0)$, rosnąca na $(0, +\infty)$
⚡ Zapamiętaj: Miejsce zerowe ≠ wartość minimalna. Parabola może mieć minimum (dla $a>0$) i 0, 1 lub 2 miejsca zerowe — to zależy od delty!
Pojęcie i własności funkcji LO · szkoła średnia
Temat lekcji: Pojęcie funkcji

Definicja

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość. Zapisujemy $f:X\to Y$, $y=f(x)$.

Podstawowe pojęcia

  • Dziedzina — zbiór dopuszczalnych argumentów (np. mianownik $\ne0$, wyrażenie pod pierwiastkiem $\ge0$)
  • Zbiór wartości — wszystkie przyjmowane wartości
  • Miejsce zerowe — argument, dla którego $f(x)=0$ (przecięcie z osią $OX$)

Monotoniczność

Funkcja jest rosnąca, gdy dla $x_1\lt x_2$ zachodzi $f(x_1)\lt f(x_2)$, a malejąca, gdy $f(x_1)>f(x_2)$.

Przekształcenia wykresu

$$y=f(x)+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$

$$y=f(x-p)\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$

$$y=-f(x)\ :\ \text{symetria względem } OX$$

$$y=f(-x)\ :\ \text{symetria względem } OY$$

Przesunięcie o wektor $[p,q]$ daje łącznie $y=f(x-p)+q$.

Proporcjonalność odwrotna

$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a$$

Wykresem jest hiperbola; osie układu są jej asymptotami.

Na co uważać

W zapisie $f(x-p)$ znak jest mylący: $f(x-3)$ przesuwa wykres w prawo o $3$. Przy osi $OY$ jest intuicyjnie: $f(x)+2$ to przesunięcie w górę.

Odczytywanie własności funkcji z wykresu LO · szkoła średnia
Temat lekcji: Odczytywanie własności funkcji z wykresu (1)

Co da się odczytać

Wykres jest pełnym opisem funkcji — wystarczy wiedzieć, gdzie patrzeć.

Dziedzina i zbiór wartości

  • Dziedzina — rzut wykresu na oś $OX$: dla jakich argumentów wykres istnieje
  • Zbiór wartości — rzut na oś $OY$: jakie wartości funkcja przyjmuje

Kółko puste oznacza, że punkt nie należy do wykresu, pełne — że należy.

Miejsca zerowe

To argumenty, dla których $f(x)=0$ — punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Odczytujemy ich pierwsze współrzędne.

Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\,f(0))$ — to nie jest miejsce zerowe.

Znak funkcji

Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. Odpowiedź podajemy jako przedziały argumentów.

Monotoniczność

  • rosnąca — im dalej w prawo, tym wyżej: większy argument daje większą wartość
  • malejąca — im dalej w prawo, tym niżej
  • stała — wykres poziomy

Monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach, nigdy jako sumę przedziałów.

Wartość największa i najmniejsza

Odczytujemy je z osi $OY$ — jako wartości, nie argumenty. Dla $f(x)=-x^2+4$ największa wartość to $4$, osiągana dla $x=0$.

Argumenty spełniające warunek

„Dla jakich $x$ zachodzi $f(x)=2$?” — prowadzimy poziomą prostą $y=2$ i odczytujemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązań może być kilka.

Czy to w ogóle funkcja

Test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.

Parzystość

Wykres symetryczny względem osi $OY$ — funkcja parzysta ($f(-x)=f(x)$). Symetryczny względem początku układu — nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$).

Na co uważać

Najczęstsze pomyłki to mylenie argumentu z wartością (miejsce zerowe to $x$, a wartość największa to $y$) oraz podawanie monotoniczności jako sumy przedziałów — funkcja $f(x)=\frac1x$ maleje w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$, ale nie na sumie tych zbiorów.

Funkcje — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO) LO · szkoła średnia
Temat lekcji: Funkcje — zagadnienia uzupełniające

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedzina to zbiór argumentów, zbiór wartości — przyjmowanych $y$.

Miejsce zerowe

Argument, dla którego $f(x)=0$.

Monotoniczność

Funkcja rosnąca, malejąca lub stała w przedziale.

Odczyt z wykresu

Z wykresu odczytujemy wartości, znak i przedziały monotoniczności.

← Układy równańFunkcja liniowa →
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas