Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) jest równa:

A \(\frac{1}{2}\)
B \(\frac{3}{2}\)
C \(3\)
D \(17\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Podstawiając \(x=\frac{1}{2}\) do wzoru naszej funkcji otrzymamy: $$f\left(\frac{1}{2}\right)=4^{-\frac{1}{2}}+1$$ Z własności potęg wiemy, że ujemnej potęgi możemy się pozbyć poprzez odwrócenie liczby potęgowanej. Odwrotnością \(4\) jest \(\frac{1}{4}\) zatem otrzymamy: $$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}+1$$ Teraz przydadzą nam się własności pierwiastków. Wykładnik potęgi w postaci ułamka możemy zamienić na pierwiastek w następujący sposób: $$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt[2]{\frac{1}{4}^{1}}+1 \           ,\ f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}}+1$$ Tak jak pierwiastek z \(4\) to \(2\), tak pierwiastek z \(\frac{1}{4}\) to \(\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem: $$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+1 \           ,\ f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania