MATEMATIX

Polityka prywatności

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 8 SP › Wielokąty foremne

Wielokąty foremne

Klasa 8 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Wielokąty foremne (klasa 8 SP)

Definicja

Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe.

Kąt wewnętrzny

$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.

Przykłady

Trójkąt równoboczny ($60^\circ$), kwadrat ($90^\circ$), sześciokąt foremny ($120^\circ$).

Okrąg

Każdy wielokąt foremny można wpisać w okrąg i opisać na okręgu.

∑Wzory 2

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego
$$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}, \qquad \text{suma kątów} = (n-2)\cdot 180^\circ$$

Co robi: oblicza miarę jednego kąta wewnętrznego wielokąta foremnego oraz sumę wszystkich jego kątów.

Elementy: $n$ — liczba boków (i wierzchołków). Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe, więc sumę dzielimy równo przez $n$.

Przykład: sześciokąt foremny ($n=6$): suma $= (6-2)\cdot 180^\circ = 720^\circ$, jeden kąt $= \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Pułapka: dzielenie przez $n$ wolno stosować tylko dla wielokąta foremnego. W dowolnym pięciokącie suma kątów też wynosi $540^\circ$, ale poszczególne kąty mogą być różne.

Kąty w wielokącie foremnym i liczba przekątnych
$$\alpha_{\text{wewn}} = \frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}, \qquad \alpha_{\text{zewn}} = \frac{360^\circ}{n}, \qquad d = \frac{n(n-3)}{2}$$

Co robi: podaje miarę kąta wewnętrznego i zewnętrznego wielokąta foremnego oraz liczbę jego przekątnych.

Elementy: $n$ to liczba boków, $d$ — liczba przekątnych.

Skąd wzór na przekątne: z każdego wierzchołka prowadzimy $n-3$ przekątne (pomijamy siebie i dwóch sąsiadów), a dzielimy przez $2$, bo każdą policzylibyśmy dwukrotnie — z obu końców.

Przykłady: sześciokąt foremny ma kąt $120^\circ$ i $9$ przekątnych; dwunastokąt — kąt $150^\circ$ i kąt zewnętrzny $30^\circ$.

Szybsza droga: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc $\alpha_{\text{zewn}}=\frac{360^\circ}{n}$ liczy się natychmiast, a kąt wewnętrzny to $180^\circ$ minus ta wartość.

Zadanie odwrotne: wielokąt o kącie wewnętrznym $150^\circ$ ma kąt zewnętrzny $30^\circ$, więc $n=360^\circ:30^\circ=12$ boków.

Pułapka: wzory na kąt dotyczą wyłącznie wielokątów foremnych. W dowolnym wielokącie znamy tylko sumę kątów $(n-2)\cdot180^\circ$ — pojedyncze kąty mogą być różne.

🧩Quizy 1

▶Przystawanie trójkątów i dowody8 pyt. średni

✍Zadania 43

Zadanie nr 1

Dwa kąty przyległe. Jeden ma $72^\circ$. Ile ma drugi?

A $18^\circ$
B $72^\circ$
C $108^\circ$
D $288^\circ$
Zadanie nr 1

Które trójkąty nazywamy przystającymi?

A takie, które mają równe pola
B takie, które mają wszystkie odpowiadające boki i kąty równe
C takie, które mają równe obwody
D takie, które mają jeden wspólny kąt
Zadanie nr 2

Kąty wierzchołkowe mają miary:

A równe
B sumujące się do $180^\circ$
C sumujące się do $90^\circ$
D różne
Zadanie nr 2

Wymień trzy cechy przystawania trójkątów i wyjaśnij, dlaczego nie ma cechy „KKK”.

Zadanie nr 3

Oblicz sumę kątów wewnętrznych pięciokąta.

Zadanie nr 3

Czy z odcinków o długościach $4$, $5$ i $10$ można zbudować trójkąt?

Zadanie nr 4

Ile stopni ma każdy kąt w sześciokącie foremnym?

A $60^\circ$
B $120^\circ$
C $108^\circ$
D $135^\circ$
Zadanie nr 4

Ile stopni ma kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego?

A $72^\circ$
B $120^\circ$
C $108^\circ$
D $90^\circ$
Zadanie nr 5

Czy z odcinków o długościach $3$, $4$ i $8$ można zbudować trójkąt?

Zadanie nr 5

Trójkąt ma boki $7$ i $9$. W jakich granicach musi mieścić się trzeci bok?

Zadanie nr 6

Które boki mogą tworzyć trójkąt?

A $2,\,3,\,6$
B $1,\,2,\,3$
C $5,\,1,\,3$
D $4,\,5,\,6$
Zadanie nr 6

Dwa trójkąty mają boki $5$, $6$, $7$ oraz $5$, $6$, $7$. Są to trójkąty:

A przystające na mocy cechy BBB
B tylko podobne
C przystające na mocy cechy KKK
D nieporównywalne
Zadanie nr 7

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma $50^\circ$. Oblicz kąty przy podstawie.

Zadanie nr 7

Ile stopni ma kąt zewnętrzny ośmiokąta foremnego? Skorzystaj z faktu, że suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$.

Zadanie nr 8

Cecha przystawania trójkątów „bok–bok–bok” oznacza, że trójkąty są przystające, gdy:

A mają odpowiednio równe wszystkie trzy boki
B mają równe wszystkie kąty
C mają równe pola
D mają równe obwody
Zadanie nr 8

W trójkącie równoramiennym $ABC$ ($AC=BC$) poprowadzono wysokość $CD$ na podstawę $AB$. Wykaż, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są przystające.

Zadanie nr 9

Kąt zewnętrzny trójkąta ma $115^\circ$. Oblicz sąsiedni kąt wewnętrzny.

Zadanie nr 9

Ile osi symetrii ma kwadrat?

A $1$
B $2$
C $8$
D $4$
Zadanie nr 10

Ile osi symetrii ma kwadrat?

A $2$
B $1$
C $4$
D nieskończenie wiele
Zadanie nr 10

Ile stopni ma kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego?

Zadanie nr 11

Oblicz sumę kątów wewnętrznych ośmiokąta i miarę jednego kąta w ośmiokącie foremnym.

Zadanie nr 11

Z których odcinków można zbudować trójkąt?

A $2$, $3$, $6$
B $6$, $8$, $11$
C $1$, $2$, $3$
D $4$, $4$, $9$
Zadanie nr 12

Dwa kąty trójkąta mają $40^\circ$ i $75^\circ$. Oblicz trzeci kąt i określ rodzaj trójkąta ze względu na kąty.

Zadanie nr 12

Wielokąt foremny ma kąt wewnętrzny $150^\circ$. Ile ma boków?

Zadanie nr 13

Kąty naprzemianległe przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą są:

A przyległe
B równe
C sumujące się do $90^\circ$
D zawsze proste
Zadanie nr 13

Wykaż, że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

Zadanie nr 14

W wielokącie foremnym każdy kąt wewnętrzny ma $150^\circ$. Ile boków ma ten wielokąt?

Zadanie nr 14

Które zdanie jest twierdzeniem, a nie definicją?

A suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$
B trójkąt równoboczny to trójkąt o trzech równych bokach
C kąt prosty to kąt o mierze $90^\circ$
D kwadrat to prostokąt o równych bokach
Zadanie nr 15

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ mają: $AB=DE=5$, $BC=EF=7$ oraz kąt między tymi bokami po $60^\circ$. Czy są przystające? Podaj cechę.

Zadanie nr 15

Ile przekątnych ma ośmiokąt?

Zadanie nr 16

Suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego wynosi:

A $180^\circ$
B zależy od liczby boków
C $540^\circ$
D $360^\circ$
Zadanie nr 16

Figury przystające mają:

A równe pola, ale różne obwody
B równe obwody, ale różne pola
C równe pola i równe obwody
D różne pola i różne obwody
Zadanie nr 17

W trójkącie kąty mają miary $x$, $2x$ i $3x$. Oblicz je i określ rodzaj trójkąta.

Zadanie nr 17

Wykaż, że przekątne prostokąta mają równą długość.

Zadanie nr 18

Boki trójkąta to $x$, $x+2$ i $x+4$. Obwód wynosi $18$. Oblicz boki i sprawdź, czy spełniają nierówność trójkąta.

Zadanie nr 18

Trójkąt równoramienny ma obwód $40$ cm, a ramię jest o $2$ cm dłuższe od podstawy. Oblicz długości boków i sprawdź nierówność trójkąta.

Zadanie nr 19

Kąt $\alpha$ i kąt $\beta$ są przyległe. Kąt $\alpha$ jest trzy razy większy od $\beta$. Oblicz oba kąty.

Zadanie nr 19

Wykaż, że suma kątów w każdym czworokącie wynosi $360^\circ$, korzystając z faktu o sumie kątów trójkąta.

Zadanie nr 20

Ile przekątnych ma ośmiokąt? Skorzystaj ze wzoru $\frac{n(n-3)}{2}$.

Zadanie nr 20

W sześciokącie foremnym o boku $6$ cm oblicz kąt wewnętrzny oraz obwód. Wyjaśnij, dlaczego sześciokąt foremny dzieli się na sześć trójkątów równobocznych.

Zadanie nr 12 · Egz. 8-kl. 2016
W układzie współrzędnych narysowano sześciokąt foremny o boku \(2\) tak, że jednym z jego wierzchołków jest punkt \((0,0)\), a jeden z jego boków leży na osi \(x\) (rysunek).

Matematyka jest prosta



Współrzędne wierzchołka \(K\) tego sześciokąta są równe:
A \((3, \sqrt{3})\)
B \((\sqrt{3}, 3)\)
C \((\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})\)
D \((3, \frac{\sqrt{3}}{2})\)
Zadanie nr 13 · Egz. 8-kl. 2016
Do sześciokąta foremnego o boku długości \(2\) (przedstawionego na poniższym rysunku) dorysowujemy kolejne takie same sześciokąty. Umieszczamy je tak, jak na rysunku, aby każdy następny sześciokąt miał z poprzednim dokładnie jeden wspólny wierzchołek oraz by jeden bok każdego sześciokąta leżał na osi \(x\). Poniżej przedstawiono dorysowane, zgodnie z tą regułą, sześciokąty, które ponumerowano kolejnymi liczbami naturalnymi.

Matematyka jest prosta



Oceń prawdziwość podanych zdań. Pierwsza współrzędna wierzchołka \(L\) w drugim sześciokącie jest równa \(6\).
Pierwsza współrzędna wierzchołka \(M\) w \(n\)-tym sześciokącie jest równa \(4n-2\).
Pierwsza współrzędna wierzchołka \(L\) w drugim sześciokącie jest równa \(6\).



Pierwsza współrzędna wierzchołka \(M\) w \(n\)-tym sześciokącie jest równa \(4n-2\).



Zadanie nr 16 · Egz. 8-kl. 2015
Na rysunku przedstawiono sześciokąt foremny o boku równym \(2cm\). Przekątna \(AD\) dzieli go na dwa przystające trapezy równoramienne.

Matematyka jest prosta



Wysokość trapezu \(ABCD\) jest równa:
A \(\sqrt{2}cm\)
B \(\frac{\sqrt{3}}{2}cm\)
C \(\sqrt{3}\)
D \(2cm\)
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas