Zastosowania reguły mnożenia

Reguła mnożenia

Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:

$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$

Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.

Mnożyć czy dodawać

Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).

Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.

Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.

Z powtórzeniami i bez

Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.

Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.

Zero na pierwszej pozycji

W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:

$$9\cdot9\cdot8=648$$

Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.

Zaczynaj od najostrzejszego warunku

Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:

$$5\cdot8\cdot8=320$$

Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.

Ustawienia w rzędzie

$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$

Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.

Prawdopodobieństwo klasyczne

$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$

Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.

Kostki są rozróżnialne

Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.

Na co uważać

Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.