Przystawanie trójkątów w dowodach twierdzeń

Trójkąty przystające można na siebie nałożyć — pokrywają się dokładnie.

Kontrprzykład dla A: trójkąt o podstawie $6$ i wysokości $2$ oraz trójkąt o podstawie $4$ i wysokości $3$ mają to samo pole $6$, ale nie są przystające.

Odpowiedź: B. takie, które mają wszystkie odpowiadające boki i kąty równe.

Cechy przystawania:

• BBB — trzy pary równych boków
• BKB — dwa boki i kąt między nimi
• KBK — dwa kąty i bok między nimi

Dlaczego nie KKK: trzy równe kąty gwarantują tylko podobieństwo. Trójkąt o kątach $60^\circ$ i boku $1$ oraz trójkąt o tych samych kątach i boku $100$ mają identyczny kształt, ale zupełnie inny rozmiar.

Odpowiedź: BBB, BKB, KBK; KKK daje tylko podobieństwo.

Sprawdzamy nierówność trójkąta — suma dwóch krótszych musi przewyższać najdłuższy:

$$4+5=9\lt 10$$

Warunek nie jest spełniony.

Odpowiedź: nie, takiego trójkąta zbudować się nie da.

Krok 1 — suma kątów:

$$(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt:

$$540^\circ:5=108^\circ$$

Uwaga: $72^\circ$ to kąt zewnętrzny ($360^\circ:5$).

Odpowiedź: C. $108^\circ$.

Warunek górny. Trzeci bok musi być krótszy od sumy pozostałych:

$$x\lt 7+9=16$$

Warunek dolny. Musi być dłuższy od ich różnicy:

$$x>9-7=2$$

$$2\lt x\lt 16$$

Odpowiedź: trzeci bok mieści się między $2$ a $16$.

Wszystkie trzy pary boków są równe — to dokładnie cecha BBB.

Cecha KKK nie istnieje jako warunek przystawania.

Odpowiedź: A. przystające na mocy cechy BBB.

Krok 1 — co mamy równe:

• $AC=BC$ — z założenia (ramiona)
• $CD$ — bok wspólny obu trójkątów
• kąty przy $D$ są proste — bo $CD$ jest wysokością

Krok 2 — trzeci bok. W obu trójkątach z twierdzenia Pitagorasa:

$$AD=\sqrt{AC^2-CD^2},\qquad BD=\sqrt{BC^2-CD^2}$$

Skoro $AC=BC$, to $AD=BD$.

Krok 3 — wniosek. Trzy pary boków są równe, więc trójkąty są przystające na mocy cechy BBB. ∎

Konsekwencja: wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na połowy i jest jednocześnie środkową oraz dwusieczną kąta przy wierzchołku.

Kwadrat ma cztery osie symetrii: dwie przechodzące przez środki przeciwległych boków oraz dwie pokrywające się z przekątnymi.

Ogólnie: $n$-kąt foremny ma dokładnie $n$ osi symetrii.

Odpowiedź: D. $4$.

Sposób 1 — przez sumę kątów wewnętrznych:

$$(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ,\qquad 1440^\circ:10=144^\circ$$

Sposób 2 — przez kąt zewnętrzny (szybszy):

$$360^\circ:10=36^\circ,\qquad 180^\circ-36^\circ=144^\circ$$

Odpowiedź: $144^\circ$.

Sprawdzamy warunek „suma dwóch krótszych $>$ najdłuższy”:

• $2+3=5\lt 6$ ✘
• $6+8=14>11$ ✔
• $1+2=3=3$ ✘ (równość to za mało — wyszedłby odcinek, nie trójkąt)
• $4+4=8\lt 9$ ✘

Odpowiedź: B. $6$, $8$, $11$.

Założenie. W trójkącie $ABC$ mamy $AC=BC$.

Krok 1 — konstrukcja pomocnicza. Poprowadźmy dwusieczną $CD$ kąta przy wierzchołku $C$.

Krok 2 — porównanie trójkątów $ACD$ i $BCD$:

• $AC=BC$ — z założenia
• kąty $ACD$ i $BCD$ są równe — bo $CD$ to dwusieczna
• $CD$ — bok wspólny

Krok 3 — wniosek. Zachodzi cecha BKB (dwa boki i kąt między nimi), więc trójkąty są przystające.

Krok 4. W trójkątach przystających odpowiadające kąty są równe, a kąt przy $A$ odpowiada kątowi przy $B$. Zatem kąty przy podstawie są równe. ∎

Definicja wprowadza nazwę dla pewnego pojęcia — nie wymaga dowodu.

Twierdzenie to zdanie, którego prawdziwość trzeba udowodnić.

Odpowiedzi B, C i D nazywają pojęcia. Zdanie A wymaga dowodu — i taki dowód istnieje (np. przez poprowadzenie prostej równoległej do jednego z boków).

Odpowiedź: A. suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$.

Krok 1 — z każdego wierzchołka. Z danego wierzchołka nie prowadzimy przekątnej do niego samego ani do dwóch sąsiadów:

$$8-3=5$$

Krok 2 — wszystkie wierzchołki, bez podwójnego liczenia:

$$\frac{8\cdot5}{2}=20$$

Wzór ogólny: $\frac{n(n-3)}{2}$.

Odpowiedź: $20$ przekątnych.

Przystawanie oznacza, że figury są identyczne — pokrywają się po nałożeniu. Wszystkie ich miary są więc równe: boki, kąty, obwód i pole.

Uwaga: twierdzenie odwrotne nie zachodzi — równe pole i obwód nie gwarantują przystawania.

Odpowiedź: C. równe pola i równe obwody.

Założenie. $ABCD$ jest prostokątem, przekątne to $AC$ i $BD$.

Krok 1 — porównujemy trójkąty $ABC$ i $BAD$:

• $AB$ — bok wspólny
• $BC=AD$ — przeciwległe boki prostokąta są równe
• kąty przy $B$ i przy $A$ są proste — z definicji prostokąta

Krok 2 — cecha BKB. Dwa boki i kąt między nimi są równe, więc trójkąty są przystające.

Krok 3 — wniosek. W trójkątach przystających odpowiadające boki są równe, a $AC$ odpowiada $BD$. Zatem $AC=BD$. ∎

Sprawdzenie liczbowe. Dla prostokąta $3\times4$ obie przekątne wynoszą $\sqrt{9+16}=5$ ✔

Krok 1 — oznaczenia. Podstawa to $x$, każde ramię $x+2$.

Krok 2 — równanie:

$$x+2(x+2)=40$$

$$3x+4=40 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Krok 3 — boki: podstawa $12$ cm, ramiona po $14$ cm.

Krok 4 — sprawdzenie obwodu: $12+14+14=40$ cm ✔

Krok 5 — nierówność trójkąta:

$$12+14=26>14 \ ✔,\qquad 14+14=28>12 \ ✔$$

Odpowiedź: podstawa $12$ cm, ramiona po $14$ cm; trójkąt istnieje.

Krok 1 — konstrukcja. W czworokącie $ABCD$ prowadzimy przekątną $AC$. Dzieli ona czworokąt na dwa trójkąty: $ABC$ oraz $ACD$.

Krok 2 — suma kątów w każdym trójkącie:

$$180^\circ+180^\circ=360^\circ$$

Krok 3 — kluczowa obserwacja. Kąty obu trójkątów składają się dokładnie na kąty czworokąta — przy wierzchołkach $B$ i $D$ mamy kąty w całości, a przy $A$ i $C$ przekątna dzieli kąty czworokąta na dwie części, które sumują się z powrotem do całości.

Wniosek: suma kątów czworokąta wynosi $360^\circ$. ∎

Uogólnienie. Tym samym sposobem $n$-kąt dzielimy na $n-2$ trójkąty, co daje wzór $(n-2)\cdot180^\circ$.

Krok 1 — kąt wewnętrzny:

$$(6-2)\cdot180^\circ:6=720^\circ:6=120^\circ$$

Krok 2 — obwód:

$$6\cdot6=36\ \text{cm}$$

Krok 3 — podział na trójkąty. Łączymy środek sześciokąta ze wszystkimi wierzchołkami. Powstaje sześć trójkątów, a kąt przy środku w każdym z nich wynosi:

$$360^\circ:6=60^\circ$$

Krok 4 — dlaczego równoboczne. Każdy taki trójkąt jest równoramienny (dwa boki to promienie okręgu opisanego), więc kąty przy podstawie są równe:

$$(180^\circ-60^\circ):2=60^\circ$$

Wszystkie trzy kąty mają po $60^\circ$, a to oznacza trójkąt równoboczny. ∎

Ważny wniosek: promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy jego bokowi — tutaj $6$ cm.

Odpowiedź: kąt $120^\circ$, obwód $36$ cm.