Proste doświadczenia losowe

Moneta ma $2$ jednakowo prawdopodobne wyniki, a sprzyjający jest jeden:

$$P=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Możliwe wyniki to orzeł i reszka — dwa jednakowo prawdopodobne:

$$P=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Moneta ma dwa jednakowo prawdopodobne wyniki, jeden sprzyjający:

$$P=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Krok 1 — wszystkie kule:

$$3+5=8$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{8}$$

Odpowiedź: $\frac38=0{,}375$.

$$\frac{12+15+9+20}{4}=\frac{56}{4}=14$$

Odpowiedź: $14$.

Krok 1 — zdarzenia sprzyjające: $2$, $4$, $6$ — trzy.

Krok 2 — wszystkie wyniki: $6$.

$$P=\frac36=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Liczby nieparzyste na kostce to $1$, $3$, $5$ — jest ich $3$ z $6$ możliwych:

$$P=\frac{3}{6}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Wszystkich kul jest $10$, czerwonych $4$:

$$P=\frac{4}{10}=\frac25=0{,}4$$

Odpowiedź: $\frac25$.

Zdarzenie pewne zawsze zachodzi, więc jego prawdopodobieństwo to $1$.

Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo $0$. Zawsze $0\le P\le1$.

Odpowiedź: C. $1$.

Zdarzenie niemożliwe nigdy nie zachodzi, więc liczba wyników sprzyjających wynosi zero:

$$P=0$$

Skala: zawsze $0\le P\le1$; zdarzenie pewne ma $P=1$.

Odpowiedź: A. $0$.

Przez $3$ dzielą się $3$ i $6$ — dwa wyniki z sześciu:

$$P=\frac26=\frac13$$

Odpowiedź: C. $\frac13$.

Krok 1 — wszystkie kule: $5+3=8$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{8}$$

Odpowiedź: $\frac38$.

Liczby parzyste od $1$ do $10$ to $2,4,6,8,10$ — jest ich $5$:

$$P=\frac{5}{10}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Uporządkowane dane:

$$3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5$$

Zliczenie: trójka dwa razy, czwórka trzy razy, piątka raz.

Najczęstsza wartość to dominanta.

Odpowiedź: ocena $4$ (trzy razy).

Sprzyjają $5$ i $6$ (dwa wyniki):

$$P=\frac26=\frac13$$

Odpowiedź: A. $\frac13$.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to dopełnienie do $1$:

$$1-\frac25=\frac55-\frac25=\frac35$$

Odpowiedź: D. $\frac35$.

Zdarzenie pewne zachodzi zawsze — $P=1$.

Zdarzenie niemożliwe nie zachodzi nigdy — $P=0$.

Każde prawdopodobieństwo mieści się między $0$ a $1$.

Odpowiedź: A. pewnym.

Zdarzenie przeciwne dopełnia do $1$:

$$P(A')=1-0{,}3=0{,}7$$

Odpowiedź: $0{,}7$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$OO,\quad OR,\quad RO,\quad RR$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — sprzyjający jest jeden ($OO$):

$$P=\frac14$$

Uwaga: $OR$ i $RO$ to różne wyniki, mimo że oba dają „jeden orzeł i jedna reszka”.

Odpowiedź: $\frac14$.

Krok 1 — suma wszystkich ocen:

$$5\cdot4=20$$

Krok 2 — suma znanych:

$$3+5+4+4=16$$

Krok 3 — piąta ocena:

$$20-16=4$$

Odpowiedź: $4$.

Krok 1 — wszyscy uczniowie: $12+18=30$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{12}{30}=\frac25=0{,}4$$

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

Sposób 1 — liczymy sprzyjające wprost. Niemiętowe to truskawkowe i cytrynowe: $4+5=9$:

$$P=\frac{9}{12}=\frac34$$

Sposób 2 — przez zdarzenie przeciwne:

$$1-\frac{3}{12}=1-\frac14=\frac34$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Sposób 1 — wprost. Niebiałych jest $3+2=5$ z $10$:

$$P=\frac{5}{10}=\frac12$$

Sposób 2 — przez zdarzenie przeciwne:

$$P=1-\frac{5}{10}=\frac12 \ ✔$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — w talii są $4$ asy.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{13}$.

Na kostce największa liczba to $6$, więc nie ma wyniku większego niż $6$. To zdarzenie niemożliwe:

$$P=0$$

Odpowiedź: B. $0$.

Całe koło to $360^\circ$, więc:

$$0{,}25\cdot360^\circ=90^\circ$$

Warto zapamiętać: $1\%$ to $3{,}6^\circ$.

Odpowiedź: D. $90^\circ$.

Każda moneta daje $2$ wyniki:

$$2\cdot2=4$$

Wypisane: OO, OR, RO, RR.

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — liczba chłopców:

$$30-18=12$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

Krok 1 — wszystkie wyniki (O — orzeł, R — reszka):

$$\text{OO},\quad \text{OR},\quad \text{RO},\quad \text{RR}$$

Jest ich cztery.

Krok 2 — sprzyjające. Dokładnie jeden orzeł to OR i RO — dwa wyniki:

$$P=\frac24=\frac12$$

Ważne: OR i RO to różne wyniki — pierwsza i druga moneta są rozróżnialne. Dlatego nie ma tu trzech równie prawdopodobnych możliwości.

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — wszystkie wyniki: OO, OR, RO, RR — cztery.

Krok 2 — sprzyja tylko OO.

$$P=\frac14$$

Odpowiedź: $\frac14$.

W talii są $4$ asy (po jednym w każdym kolorze):

$$P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$$

Odpowiedź: C. $\frac{1}{13}$.

Kilka bardzo wysokich pensji zawyża średnią, choć większość zarabia mniej.

Mediana to wartość środkowa — nie reaguje na wartości skrajne, więc lepiej pokazuje sytuację typowego pracownika.

Dlatego w raportach o zarobkach podaje się zwykle medianę, a nie średnią.

Odpowiedź: B. mediana.

Zdarzenie niemożliwe nigdy nie zachodzi, więc $P=0$.

Odpowiedź: B. $0$.

Zdarzenia „czerwone” i „żółte” wykluczają się, więc dodajemy liczby pól sprzyjających:

$$2+3=5$$

$$P=\frac{5}{8}$$

Sprawdzenie: zdarzenie przeciwne (zielone) ma $P=\frac38$, a $\frac58+\frac38=1$ ✔

Odpowiedź: $\frac58$.

Kier — jeden z czterech kolorów, czyli $13$ kart:

$$P=\frac{13}{52}=\frac14$$

Figura — trzy figury w każdym z czterech kolorów:

$$3\cdot4=12,\qquad P=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$$

Odpowiedź: kier $\frac14$, figura $\frac{3}{13}$.

Sposób 1 — wprost. Przegrywających jest $8$:

$$P=\frac{8}{10}=\frac45$$

Sposób 2 — przez dopełnienie. Wygrana ma $P=\frac{2}{10}=\frac15$, więc przegrana:

$$1-\frac15=\frac45$$

Odpowiedź: $\frac45=0{,}8$.

Krok 1 — liczba wszystkich wyników. Każda kostka ma $6$ możliwości:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — sprzyjający jest tylko jeden: $(6,\,6)$:

$$P=\frac{1}{36}$$

Odpowiedź: $36$ wyników, $P=\frac{1}{36}$.

Krok 1 — procent:

$$\frac{30}{120}=0{,}25=25\%$$

Krok 2 — kąt środkowy:

$$0{,}25\cdot360^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $25\%$, kąt $90^\circ$.

Krok 1 — liczby podzielne przez $3$ na kostce: $3$ i $6$ — dwie.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac26=\frac13$$

Odpowiedź: $\frac13$.

Prawdopodobieństwo zawsze mieści się w przedziale od $0$ do $1$:

$$0\le P\le1$$

Wartość $1{,}5$ przekracza $1$, więc jest niemożliwa.

Odpowiedź: A. $1{,}5$.

Zdarzenie niemożliwe nie ma zdarzeń sprzyjających, więc licznik wynosi zero.

Przykład: wyrzucenie $7$ jedną kostką sześcienną.

Uwaga: prawdopodobieństwo nigdy nie jest ujemne — odpowiedź D jest niemożliwa z definicji.

Odpowiedź: A. $0$.

Prawdopodobieństwo zawsze spełnia $0\le P\le1$, więc $1{,}5$ jest niemożliwe.

Odpowiedź: C. $1{,}5$.

Krok 1 — liczby podzielne przez $5$:

$$5,\ 10,\ 15,\ 20$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{20}=\frac15$$

Odpowiedź: $\frac15=0{,}2$.

Krok 1 — porządkujemy:

$$3,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$$

Krok 2 — mediana. Sześć elementów, więc średnia dwóch środkowych:

$$\frac{5+7}{2}=6$$

Krok 3 — rozstęp:

$$11-3=8$$

Odpowiedź: mediana $6$, rozstęp $8$.

Krok 1 — liczby pierwsze do $20$: $2,3,5,7,11,13,17,19$ — osiem.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{8}{20}=\frac25=0{,}4$$

Odpowiedź: $\frac25$.

Każdy możliwy wynik jest sprzyjający, więc zdarzenie jest pewne:

$$P=1$$

Odpowiedź: B. $1$.

Dla każdego z $6$ wyników pierwszej kostki druga daje $6$ możliwości:

$$6\cdot6=36$$

Uwaga: $11$ to liczba możliwych sum oczek (od $2$ do $12$), ale sumy te nie są jednakowo prawdopodobne.

Odpowiedź: C. $36$.

Jedna biała na sześć kul:

$$P=\frac16$$

Odpowiedź: A. $\frac16$.

Krok 1 — wypisujemy pary dające sumę $5$:

$$(1,4),\ (2,3),\ (3,2),\ (4,1)$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — wszystkich wyników jest $36$:

$$P=\frac{4}{36}=\frac19$$

Uwaga: pary $(1,4)$ i $(4,1)$ liczymy osobno — kostki są rozróżnialne.

Odpowiedź: $\frac19$.

Krok 1 — procenty:

• rower: $\frac{80}{200}=40\%$
• autobus: $\frac{60}{200}=30\%$
• pieszo: $\frac{40}{200}=20\%$
• samochód: $\frac{20}{200}=10\%$

Krok 2 — kąty (procent razy $3{,}6^\circ$):

• rower: $144^\circ$
• autobus: $108^\circ$
• pieszo: $72^\circ$
• samochód: $36^\circ$

Krok 3 — kontrole:

$$40+30+20+10=100\% \ ✔$$

$$144+108+72+36=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $40\%$, $30\%$, $20\%$, $10\%$; kąty $144^\circ$, $108^\circ$, $72^\circ$, $36^\circ$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — pary o sumie $7$:

$$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$$

Jest ich sześć.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{36}=\frac16$$

Ciekawostka. Suma $7$ jest najbardziej prawdopodobna przy dwóch kostkach — ma najwięcej kombinacji.

Odpowiedź: $\frac16$.

Krok 1 — wygrana:

$$P(W)=\frac{3}{10}$$

Krok 2 — przegrana (losów przegrywających jest $7$):

$$P(P)=\frac{7}{10}$$

Krok 3 — sprawdzenie:

$$\frac{3}{10}+\frac{7}{10}=\frac{10}{10}=1 \ ✔$$

Wniosek: zdarzenia przeciwne zawsze sumują się do $1$ — to dobry sposób kontroli obliczeń.

Odpowiedź: $P(W)=\frac{3}{10}$, $P(P)=\frac{7}{10}$; suma wynosi $1$.

Krok 1 — warunek łączny. Liczba parzysta i podzielna przez $3$ to liczba podzielna przez $6$.

Krok 2 — wypisujemy:

$$6,\ 12,\ 18$$

To trzy liczby z dwudziestu.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{20}=0{,}15$$

Częsty błąd: mnożenie $\frac{10}{20}\cdot\frac{6}{20}$ — to działa tylko dla zdarzeń niezależnych, a tutaj mówimy o jednym losowaniu.

Odpowiedź: $\frac{3}{20}$.

Krok 1 — podzielne przez $3$: $3,6,9,12$ — cztery.

Krok 2 — podzielne przez $4$: $4,8,12$ — trzy.

Krok 3 — wspólne (podzielne przez $12$): $12$ — jedna.

Krok 4 — zasada włączeń i wyłączeń. Aby nie liczyć $12$ dwa razy:

$$4+3-1=6$$

Krok 5 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{12}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — wypisujemy wszystkie liczby:

$$12,\ 13,\ 21,\ 23,\ 31,\ 32$$

Jest ich $6$ (bo $3\cdot2=6$).

Krok 2 — liczby parzyste (kończące się cyfrą parzystą): $12$ i $32$ — są $2$.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{2}{6}=\frac13$$

Odpowiedź: $6$ liczb, $P=\frac13$.

Krok 1 — faktyczny wzrost w sztukach:

$$150-50=100$$

Krok 2 — wzrost procentowy. Odnosimy do wartości początkowej:

$$\frac{100}{50}=2=200\%$$

Krok 3 — ocena nagłówka. Liczba jest poprawna: sprzedaż wzrosła o $200\%$.

Na co uważać. Częsta manipulacja polega na myleniu dwóch sformułowań: wzrost o $200\%$ oznacza potrojenie, a wzrost do $200\%$ — tylko podwojenie. Gdyby gazeta napisała „sprzedaż wzrosła do $200\%$”, byłoby to fałszem, bo $150$ to $300\%$ wartości wyjściowej.

Odpowiedź: tak, nagłówek jest prawdziwy — wzrost o $200\%$.

Krok 1 — zasada włączeń i wyłączeń. Uczący się co najmniej jednego języka:

$$15+12-5=22$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{22}{25}=0{,}88$$

Dlaczego odejmujemy $5$. Uczniowie uczący się obu języków zostali policzeni dwa razy (raz w $15$, raz w $12$) — odejmujemy nadmiar.

Odpowiedź: $\frac{22}{25}=0{,}88$.

Krok 1 — pierwsze losowanie. Czarnych jest $4$ z $6$:

$$P_1=\frac{4}{6}=\frac23$$

Krok 2 — drugie losowanie. Po wyjęciu jednej czarnej zostaje $3$ czarne z $5$ kul:

$$P_2=\frac{3}{5}$$

Krok 3 — mnożymy:

$$P=\frac23\cdot\frac35=\frac{6}{15}=\frac25$$

Kluczowe: bez zwracania w drugim kroku maleją obie liczby — i kul czarnych, i wszystkich.

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

Krok 1 — dlaczego nie zwykła średnia. Grupy mają różną liczebność, więc liczymy średnią ważoną.

Krok 2 — sumy wzrostów:

$$12\cdot160=1920\ \text{cm}$$

$$18\cdot172=3096\ \text{cm}$$

Krok 3 — średnia klasy:

$$\frac{1920+3096}{30}=\frac{5016}{30}=167{,}2\ \text{cm}$$

Kontrola sensu. Wynik musi leżeć między $160$ a $172$ — i leży ✔ Jest bliżej $172$, bo chłopców jest więcej. Zwykła średnia z $160$ i $172$ dałaby $166$ — wartość zaniżoną.

Odpowiedź: $167{,}2$ cm.

Krok 1 — definicja klasyczna. Niech $\Omega$ ma $n$ jednakowo prawdopodobnych wyników, a zdarzeniu $A$ sprzyja $k$ z nich.

Krok 2 — zdarzenie przeciwne. Zdarzeniu $A'$ sprzyjają wszystkie pozostałe wyniki, czyli $n-k$.

Krok 3 — sumujemy prawdopodobieństwa:

$$P(A)+P(A')=\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n}=\frac{k+n-k}{n}=\frac{n}{n}=1 \qquad ∎$$

Zastosowanie. Ten wzór pozwala liczyć „przez dopełnienie": $P(A)=1-P(A')$ — wygodne, gdy zdarzenie przeciwne jest prostsze do policzenia (np. przy „co najmniej jeden").

Sprawdzenie: dla kostki $P(\text{parzysta})=\frac12$, $P(\text{nieparzysta})=\frac12$, suma $1$ ✔