Wielokąty foremne

Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-72^\circ=108^\circ$$

Odpowiedź: C. $108^\circ$.

Kąty wierzchołkowe (leżące naprzeciw przy przecięciu prostych) są zawsze równe.

Odpowiedź: A. równe.

Wzór na sumę kątów wielokąta o $n$ bokach:

$$S=(n-2)\cdot180^\circ$$

Dla pięciokąta ($n=5$):

$$S=(5-2)\cdot180^\circ=3\cdot180^\circ=540^\circ$$

Intuicja: pięciokąt dzieli się przekątnymi na $3$ trójkąty.

Odpowiedź: $540^\circ$.

Krok 1 — suma kątów sześciokąta:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — w foremnym wszystkie kąty równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: B. $120^\circ$.

Kąty przy podstawie są równe. Na dwa z nich zostaje:

$$180^\circ-50^\circ=130^\circ$$

Dzielimy na dwa:

$$130^\circ:2=65^\circ$$

Sprawdzenie: $50^\circ+65^\circ+65^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: każdy kąt przy podstawie ma $65^\circ$.

Kąt zewnętrzny i przyległy do niego kąt wewnętrzny są przyległe (sumują się do $180^\circ$):

$$180^\circ-115^\circ=65^\circ$$

Dodatkowa własność: kąt zewnętrzny równa się sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych trójkąta.

Odpowiedź: $65^\circ$.

Kwadrat ma $4$ osie symetrii: dwie przekątne i dwie proste łączące środki przeciwległych boków.

Dla porównania: prostokąt ma $2$ osie, a koło nieskończenie wiele.

Odpowiedź: C. $4$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt w foremnym:

$$1080^\circ:8=135^\circ$$

Odpowiedź: suma $1080^\circ$, jeden kąt $135^\circ$.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ$$

Krok 2 — rodzaj trójkąta. Wszystkie kąty ($40^\circ$, $75^\circ$, $65^\circ$) są mniejsze od $90^\circ$, więc trójkąt jest ostrokątny.

Odpowiedź: trzeci kąt $65^\circ$; trójkąt ostrokątny.

Przy prostych równoległych przeciętych sieczną kąty naprzemianległe są równe. Tak samo kąty odpowiadające.

Kąty jednostronne wewnętrzne z kolei sumują się do $180^\circ$.

Odpowiedź: B. równe.

Korzystamy z faktu, że suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wynosi $360^\circ$.

Krok 1 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Krok 2 — liczba boków:

$$n=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12$$

Sprawdzenie wzorem: $\frac{(12-2)\cdot180^\circ}{12}=\frac{1800^\circ}{12}=150^\circ$ ✔

Odpowiedź: $12$ boków (dwunastokąt).

Niezależnie od liczby boków, suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest stała i wynosi $360^\circ$.

Intuicja: obchodząc wielokąt dookoła, wykonujemy jeden pełny obrót.

Odpowiedź: D. $360^\circ$.

Krok 1 — równanie z sumy kątów:

$$x+2x+3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 6x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=30^\circ$$

Krok 2 — poszczególne kąty:

$$30^\circ,\qquad 60^\circ,\qquad 90^\circ$$

Krok 3 — rodzaj. Jeden kąt ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Sprawdzenie: $30^\circ+60^\circ+90^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąty $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$; trójkąt prostokątny.

Krok 1 — warunki. Kąty przyległe: $\alpha+\beta=180^\circ$, przy czym $\alpha=3\beta$.

Krok 2 — podstawiamy:

$$3\beta+\beta=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 4\beta=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \beta=45^\circ$$

Krok 3 — drugi kąt:

$$\alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $135^\circ+45^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Podstawiamy $n=8$ do wzoru na liczbę przekątnych wielokąta:

$$\frac{n(n-3)}{2}=\frac{8\cdot(8-3)}{2}=\frac{8\cdot5}{2}=\frac{40}{2}=20$$

Skąd ten wzór: z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych (nie liczymy samego wierzchołka i dwóch sąsiednich). Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzylibyśmy dwa razy — z obu końców.

Odpowiedź: ośmiokąt ma $20$ przekątnych.

Krok 1 — suma kątów:

$$(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt:

$$540^\circ:5=108^\circ$$

Uwaga: $72^\circ$ to kąt zewnętrzny ($360^\circ:5$).

Odpowiedź: C. $108^\circ$.

Warunek górny. Trzeci bok musi być krótszy od sumy pozostałych:

$$x\lt 7+9=16$$

Warunek dolny. Musi być dłuższy od ich różnicy:

$$x>9-7=2$$

$$2\lt x\lt 16$$

Odpowiedź: trzeci bok mieści się między $2$ a $16$.

Wszystkie kąty zewnętrzne są równe, a jest ich osiem:

$$360^\circ:8=45^\circ$$

Kontrola. Kąt wewnętrzny wynosi wtedy $180^\circ-45^\circ=135^\circ$, a suma wszystkich: $8\cdot135^\circ=1080^\circ=(8-2)\cdot180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $45^\circ$.

Kwadrat ma cztery osie symetrii: dwie przechodzące przez środki przeciwległych boków oraz dwie pokrywające się z przekątnymi.

Ogólnie: $n$-kąt foremny ma dokładnie $n$ osi symetrii.

Odpowiedź: D. $4$.

Sposób 1 — przez sumę kątów wewnętrznych:

$$(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ,\qquad 1440^\circ:10=144^\circ$$

Sposób 2 — przez kąt zewnętrzny (szybszy):

$$360^\circ:10=36^\circ,\qquad 180^\circ-36^\circ=144^\circ$$

Odpowiedź: $144^\circ$.

Sprawdzamy warunek „suma dwóch krótszych $>$ najdłuższy”:

• $2+3=5\lt 6$ ✘
• $6+8=14>11$ ✔
• $1+2=3=3$ ✘ (równość to za mało — wyszedłby odcinek, nie trójkąt)
• $4+4=8\lt 9$ ✘

Odpowiedź: B. $6$, $8$, $11$.

Krok 1 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Krok 2 — liczba boków. Suma kątów zewnętrznych to zawsze $360^\circ$:

$$n=360^\circ:30^\circ=12$$

Sprawdzenie: $(12-2)\cdot180^\circ:12=1800^\circ:12=150^\circ$ ✔

Odpowiedź: $12$ boków.

Krok 1 — z każdego wierzchołka. Z danego wierzchołka nie prowadzimy przekątnej do niego samego ani do dwóch sąsiadów:

$$8-3=5$$

Krok 2 — wszystkie wierzchołki, bez podwójnego liczenia:

$$\frac{8\cdot5}{2}=20$$

Wzór ogólny: $\frac{n(n-3)}{2}$.

Odpowiedź: $20$ przekątnych.

Krok 1 — konstrukcja. W czworokącie $ABCD$ prowadzimy przekątną $AC$. Dzieli ona czworokąt na dwa trójkąty: $ABC$ oraz $ACD$.

Krok 2 — suma kątów w każdym trójkącie:

$$180^\circ+180^\circ=360^\circ$$

Krok 3 — kluczowa obserwacja. Kąty obu trójkątów składają się dokładnie na kąty czworokąta — przy wierzchołkach $B$ i $D$ mamy kąty w całości, a przy $A$ i $C$ przekątna dzieli kąty czworokąta na dwie części, które sumują się z powrotem do całości.

Wniosek: suma kątów czworokąta wynosi $360^\circ$. ∎

Uogólnienie. Tym samym sposobem $n$-kąt dzielimy na $n-2$ trójkąty, co daje wzór $(n-2)\cdot180^\circ$.

Krok 1 — kąt wewnętrzny:

$$(6-2)\cdot180^\circ:6=720^\circ:6=120^\circ$$

Krok 2 — obwód:

$$6\cdot6=36\ \text{cm}$$

Krok 3 — podział na trójkąty. Łączymy środek sześciokąta ze wszystkimi wierzchołkami. Powstaje sześć trójkątów, a kąt przy środku w każdym z nich wynosi:

$$360^\circ:6=60^\circ$$

Krok 4 — dlaczego równoboczne. Każdy taki trójkąt jest równoramienny (dwa boki to promienie okręgu opisanego), więc kąty przy podstawie są równe:

$$(180^\circ-60^\circ):2=60^\circ$$

Wszystkie trzy kąty mają po $60^\circ$, a to oznacza trójkąt równoboczny. ∎

Ważny wniosek: promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy jego bokowi — tutaj $6$ cm.

Odpowiedź: kąt $120^\circ$, obwód $36$ cm.