Średnia arytmetyczna

Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów:

$$\text{średnia}=\frac{4+7+10+3}{4}=\frac{24}{4}=6$$

Pułapka: odpowiedź D to sama suma — łatwo zapomnieć o dzieleniu.

Kontrola: średnia zawsze leży między wartością najmniejszą ($3$) a największą ($10$). Zgadza się.

Odpowiedź: B. $6$.

Możliwe wyniki to orzeł i reszka — dwa jednakowo prawdopodobne:

$$P=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Średnia arytmetyczna:

$$\frac{3+4+5+4+4}{5}=\frac{20}{5}=4$$

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Ocena $4$ pojawia się trzy razy, a pozostałe po razie:

$$\text{dominanta}=4$$

Odpowiedź: średnia $4$, dominanta $4$.

$$\frac{12+15+9+20}{4}=\frac{56}{4}=14$$

Odpowiedź: $14$.

Krok 1 — porządkujemy dane rosnąco. To warunek konieczny, o którym łatwo zapomnieć:

$$3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 12$$

Krok 2 — wybieramy wartość środkową. Liczb jest $5$, czyli nieparzyście, więc mediana to element trzeci:

$$\text{mediana}=7$$

Odpowiedź: mediana wynosi $7$.

Wszystkich kul jest $10$, czerwonych $4$:

$$P=\frac{4}{10}=\frac25=0{,}4$$

Odpowiedź: $\frac25$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$2,\ 4,\ 6,\ 10$$

Krok 2 — liczb jest parzyście ($4$), więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\text{mediana}=\frac{4+6}{2}=5$$

Uwaga: mediana nie musi należeć do zestawu — tutaj $5$ nie występuje wśród danych.

Odpowiedź: mediana wynosi $5$.

Przez $3$ dzielą się $3$ i $6$ — dwa wyniki z sześciu:

$$P=\frac26=\frac13$$

Odpowiedź: C. $\frac13$.

Przekształcamy wzór na średnią:

$$\text{średnia}=\frac{\text{suma}}{n} \quad\Rightarrow\quad \text{suma}=\text{średnia}\cdot n$$

Podstawiamy dane:

$$\text{suma}=12\cdot5=60$$

Pułapka: odpowiedź D to wynik dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: C. $60$.

Uporządkowane dane:

$$3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5$$

Zliczenie: trójka dwa razy, czwórka trzy razy, piątka raz.

Najczęstsza wartość to dominanta.

Odpowiedź: ocena $4$ (trzy razy).

Krok 1 — suma wszystkich czterech liczb:

$$9\cdot4=36$$

Krok 2 — suma trzech znanych:

$$7+10+8=25$$

Krok 3 — czwarta liczba to różnica:

$$36-25=11$$

Sprawdzenie: $\frac{7+10+8+11}{4}=\frac{36}{4}=9$ ✔

Odpowiedź: czwarta liczba to $11$.

Zdarzenie pewne zachodzi zawsze — $P=1$.

Zdarzenie niemożliwe nie zachodzi nigdy — $P=0$.

Każde prawdopodobieństwo mieści się między $0$ a $1$.

Odpowiedź: A. pewnym.

Policzmy obie miary. Średnia:

$$\frac{2+3+3+4+100}{5}=\frac{112}{5}=22{,}4$$

Mediana (dane są już uporządkowane, środkowa to trzecia):

$$\text{mediana}=3$$

Cztery z pięciu liczb mieszczą się między $2$ a $4$, więc średnia $22{,}4$ zupełnie nie pasuje do zestawu — zawyża ją pojedyncza wartość odstająca $100$.

Wniosek: gdy w danych jest wartość odstająca, mediana opisuje je wierniej.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — suma wszystkich ocen:

$$5\cdot4=20$$

Krok 2 — suma znanych:

$$3+5+4+4=16$$

Krok 3 — piąta ocena:

$$20-16=4$$

Odpowiedź: $4$.

Liczba uczniów to suma wszystkich liczebności:

$$3+8+6+3=20$$

Dominanta to ocena o największej liczebności. Najwięcej, bo $8$ osób, dostało ocenę $3$:

$$\text{dominanta}=3$$

Odpowiedź: sprawdzian pisało $20$ uczniów, dominanta ocen to $3$.

Sposób 1 — wprost. Niebiałych jest $3+2=5$ z $10$:

$$P=\frac{5}{10}=\frac12$$

Sposób 2 — przez zdarzenie przeciwne:

$$P=1-\frac{5}{10}=\frac12 \ ✔$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Przy danych z tabeli liczymy średnią ważoną — każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali.

Krok 1 — suma wszystkich ocen:

$$2\cdot3+3\cdot8+4\cdot6+5\cdot3=6+24+24+15=69$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę uczniów:

$$\frac{69}{20}=3{,}45$$

Kontrola sensu: wynik leży między $2$ a $5$ i blisko dominanty $3$ — to ma sens.

Odpowiedź: średnia ocena wynosi $3{,}45$.

Całe koło to $360^\circ$, więc:

$$0{,}25\cdot360^\circ=90^\circ$$

Warto zapamiętać: $1\%$ to $3{,}6^\circ$.

Odpowiedź: D. $90^\circ$.

Pełny kąt $360^\circ$ odpowiada $100\%$, więc:

$$\frac{72^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{5}=20\%$$

Sprawdzenie w drugą stronę: $20\%$ z $360^\circ$ to $0{,}2\cdot360^\circ=72^\circ$ ✔

Pułapka: odpowiedź A myli stopnie z procentami — to dwie różne jednostki.

Odpowiedź: D. $20\%$.

Krok 1 — wszystkie wyniki (O — orzeł, R — reszka):

$$\text{OO},\quad \text{OR},\quad \text{RO},\quad \text{RR}$$

Jest ich cztery.

Krok 2 — sprzyjające. Dokładnie jeden orzeł to OR i RO — dwa wyniki:

$$P=\frac24=\frac12$$

Ważne: OR i RO to różne wyniki — pierwsza i druga moneta są rozróżnialne. Dlatego nie ma tu trzech równie prawdopodobnych możliwości.

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$0{,}36\cdot250=90$$

Krok 2 — kąt wycinka:

$$0{,}36\cdot360^\circ=129{,}6^\circ$$

Kontrola: $36\%$ to nieco ponad jedna trzecia, a $129{,}6^\circ$ to nieco ponad $120^\circ$ — zgadza się.

Odpowiedź: sport wybrało $90$ uczniów, kąt wycinka to $129{,}6^\circ$.

Kilka bardzo wysokich pensji zawyża średnią, choć większość zarabia mniej.

Mediana to wartość środkowa — nie reaguje na wartości skrajne, więc lepiej pokazuje sytuację typowego pracownika.

Dlatego w raportach o zarobkach podaje się zwykle medianę, a nie średnią.

Odpowiedź: B. mediana.

Krok 1 — suma wzrostów przed zmianą:

$$180\cdot10=1800\ \text{cm}$$

Krok 2 — nowa suma:

$$1800+191=1991\ \text{cm}$$

Krok 3 — nowa średnia dla $11$ zawodników:

$$\frac{1991}{11}=181\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: nowy zawodnik jest wyższy od dotychczasowej średniej, więc średnia musiała wzrosnąć — i wzrosła o $1$ cm.

Odpowiedź: nowa średnia to $181$ cm.

Kier — jeden z czterech kolorów, czyli $13$ kart:

$$P=\frac{13}{52}=\frac14$$

Figura — trzy figury w każdym z czterech kolorów:

$$3\cdot4=12,\qquad P=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$$

Odpowiedź: kier $\frac14$, figura $\frac{3}{13}$.

Średnia przed zmianą: $\frac{20}{4}=5$.

Średnia po zmianie: $\frac{25}{5}=5$.

Reguła ogólna: dodanie liczby równej dotychczasowej średniej nie zmienia jej. Liczba większa od średniej podnosi ją, a mniejsza obniża.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — procent:

$$\frac{30}{120}=0{,}25=25\%$$

Krok 2 — kąt środkowy:

$$0{,}25\cdot360^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $25\%$, kąt $90^\circ$.

Średnia:

$$\frac{6+9+6+12+9+6}{6}=\frac{48}{6}=8$$

Mediana — najpierw porządkujemy rosnąco:

$$6,\ 6,\ 6,\ 9,\ 9,\ 12$$

Liczb jest parzyście, więc bierzemy średnią dwóch środkowych ($6$ i $9$):

$$\text{mediana}=\frac{6+9}{2}=7{,}5$$

Dominanta — liczba $6$ występuje trzy razy, $9$ dwa razy, $12$ raz:

$$\text{dominanta}=6$$

Odpowiedź: średnia $8$, mediana $7{,}5$, dominanta $6$.

Zdarzenie niemożliwe nie ma zdarzeń sprzyjających, więc licznik wynosi zero.

Przykład: wyrzucenie $7$ jedną kostką sześcienną.

Uwaga: prawdopodobieństwo nigdy nie jest ujemne — odpowiedź D jest niemożliwa z definicji.

Odpowiedź: A. $0$.

Gdy oś nie zaczyna się od zera, widzimy tylko górne fragmenty słupków. Niewielka różnica liczbowa zamienia się wtedy w wyraźną różnicę wysokości.

Przykład: wartości $98$ i $102$ różnią się o około $4\%$. Przy osi od zera słupki wyglądają niemal identycznie, ale przy osi od $95$ jeden jest ponad dwa razy wyższy od drugiego.

Wniosek: to nie jest błąd rachunkowy, ale chwyt, który może wprowadzać w błąd — dlatego przy czytaniu wykresu zawsze sprawdzaj, od czego zaczyna się oś.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — porządkujemy:

$$3,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$$

Krok 2 — mediana. Sześć elementów, więc średnia dwóch środkowych:

$$\frac{5+7}{2}=6$$

Krok 3 — rozstęp:

$$11-3=8$$

Odpowiedź: mediana $6$, rozstęp $8$.

Krok 1 — średnia:

$$\frac{12+15+9+20+15+11+15+23}{8}=\frac{120}{8}=15$$

Krok 2 — dominanta. Liczba $15$ występuje trzy razy, częściej niż każda inna:

$$\text{dominanta}=15$$

Krok 3 — kto zebrał więcej niż $15$. Sprawdzamy każdy wynik: $20$ i $23$ są większe od $15$. Wyniki równe $15$ nie są większe.

Odpowiedź: średnia i dominanta wynoszą po $15$, a więcej niż średnia zebrało $2$ uczniów.

Dla każdego z $6$ wyników pierwszej kostki druga daje $6$ możliwości:

$$6\cdot6=36$$

Uwaga: $11$ to liczba możliwych sum oczek (od $2$ do $12$), ale sumy te nie są jednakowo prawdopodobne.

Odpowiedź: C. $36$.

Uwaga: nie można po prostu uśrednić $60$ i $70$ — grupy mają różną liczebność.

Krok 1 — suma punktów w każdej grupie:

$$60\cdot10=600,\qquad 70\cdot15=1050$$

Krok 2 — suma łączna:

$$600+1050=1650$$

Krok 3 — dzielimy przez łączną liczbę uczniów:

$$\frac{1650}{25}=66$$

Kontrola sensu: wynik $66$ leży między $60$ a $70$, bliżej $70$ — i słusznie, bo druga grupa jest liczniejsza. Zwykła średnia $65$ byłaby błędna.

Odpowiedź: średnia wszystkich uczniów to $66$ punktów.

Krok 1 — procenty:

• rower: $\frac{80}{200}=40\%$
• autobus: $\frac{60}{200}=30\%$
• pieszo: $\frac{40}{200}=20\%$
• samochód: $\frac{20}{200}=10\%$

Krok 2 — kąty (procent razy $3{,}6^\circ$):

• rower: $144^\circ$
• autobus: $108^\circ$
• pieszo: $72^\circ$
• samochód: $36^\circ$

Krok 3 — kontrole:

$$40+30+20+10=100\% \ ✔$$

$$144+108+72+36=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $40\%$, $30\%$, $20\%$, $10\%$; kąty $144^\circ$, $108^\circ$, $72^\circ$, $36^\circ$.

Krok 1 — wszystkie możliwe wyniki: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ — jest ich $6$.

Krok 2 — wyniki sprzyjające (liczby parzyste): $2$, $4$, $6$ — są $3$.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}=\frac{3}{6}=\frac12$$

Odpowiedź: A. $\frac12$.

Krok 1 — warunek łączny. Liczba parzysta i podzielna przez $3$ to liczba podzielna przez $6$.

Krok 2 — wypisujemy:

$$6,\ 12,\ 18$$

To trzy liczby z dwudziestu.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{20}=0{,}15$$

Częsty błąd: mnożenie $\frac{10}{20}\cdot\frac{6}{20}$ — to działa tylko dla zdarzeń niezależnych, a tutaj mówimy o jednym losowaniu.

Odpowiedź: $\frac{3}{20}$.

Krok 1 — liczba wszystkich kul:

$$5+3+2=10$$

Krok 2 — kula niebieska:

$$P=\frac{3}{10}=0{,}3$$

Krok 3 — kula inna niż czerwona. Są to kule niebieskie i zielone, czyli $3+2=5$:

$$P=\frac{5}{10}=\frac12$$

Sposób alternatywny: zdarzenie przeciwne do „czerwona” ma prawdopodobieństwo $1-\frac{5}{10}=\frac12$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: kula niebieska $\frac{3}{10}$, kula nieczerwona $\frac12$.

Krok 1 — faktyczny wzrost w sztukach:

$$150-50=100$$

Krok 2 — wzrost procentowy. Odnosimy do wartości początkowej:

$$\frac{100}{50}=2=200\%$$

Krok 3 — ocena nagłówka. Liczba jest poprawna: sprzedaż wzrosła o $200\%$.

Na co uważać. Częsta manipulacja polega na myleniu dwóch sformułowań: wzrost o $200\%$ oznacza potrojenie, a wzrost do $200\%$ — tylko podwojenie. Gdyby gazeta napisała „sprzedaż wzrosła do $200\%$”, byłoby to fałszem, bo $150$ to $300\%$ wartości wyjściowej.

Odpowiedź: tak, nagłówek jest prawdziwy — wzrost o $200\%$.

Krok 1 — suma sześciu liczb:

$$10\cdot6=60$$

Krok 2 — suma pozostałych pięciu:

$$11\cdot5=55$$

Krok 3 — usunięta liczba to różnica sum:

$$60-55=5$$

Kontrola sensu: średnia wzrosła po usunięciu liczby, więc usunięta wartość musiała być mniejsza od poprzedniej średniej $10$. Wynik $5$ to potwierdza.

Odpowiedź: usunięto liczbę $5$.

Krok 1 — dlaczego nie zwykła średnia. Grupy mają różną liczebność, więc liczymy średnią ważoną.

Krok 2 — sumy wzrostów:

$$12\cdot160=1920\ \text{cm}$$

$$18\cdot172=3096\ \text{cm}$$

Krok 3 — średnia klasy:

$$\frac{1920+3096}{30}=\frac{5016}{30}=167{,}2\ \text{cm}$$

Kontrola sensu. Wynik musi leżeć między $160$ a $172$ — i leży ✔ Jest bliżej $172$, bo chłopców jest więcej. Zwykła średnia z $160$ i $172$ dałaby $166$ — wartość zaniżoną.

Odpowiedź: $167{,}2$ cm.