MATEMATIX

Polityka prywatności

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 8 SP › Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna

Klasa 8 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Statystyka — odczyt danych i średnia

Średnia arytmetyczna

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$

Sumujemy wszystkie dane i dzielimy przez ich liczbę. Każde wystąpienie liczy się osobno — dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$.

Zależność odwrotna

$$\text{suma}=\bar{x}\cdot n$$

Jeśli średnia trzech liczb wynosi $10$, ich suma to $30$. To bardzo częsty krok w zadaniach.

Diagramy

Słupkowy — porównywanie wielkości. Kołowy — udział części w całości; pełne koło to $360^\circ$, więc:

$$\text{procent}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot100\%$$

Wycinek o kącie $90^\circ$ odpowiada $25\%$ całości.

Jak zmienia się średnia

Dołożenie liczby większej od dotychczasowej średniej podnosi ją, mniejszej — obniża. Liczba równa średniej nic nie zmienia.

Doświadczenia losowe

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le 1$$

Zdarzenie niemożliwe ma $P=0$ (np. wyrzucenie $7$ na kostce), pewne $P=1$.

Na co uważać

Średnia bywa myląca przy wartościach skrajnych — jedna bardzo duża liczba potrafi ją znacząco zawyżyć. Przy odczycie z diagramu zawsze sprawdź, czy oś zaczyna się od zera; przesunięta skala wyolbrzymia różnice.

∑Wzory 1

Średnia arytmetyczna — suma a liczebność
$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \sum x_i = \bar{x}\cdot n$$

Co robi: pokazuje wzór na średnią w obie strony — z danych liczymy średnią, a ze średniej odtwarzamy sumę.

Elementy: $\sum x_i$ — suma wszystkich danych, $n$ — ich liczba, $\bar{x}$ — średnia. Druga postać jest kluczem do większości zadań tekstowych.

Przykład: średnia trzech liczb wynosi $10$, więc ich suma to $30$. Jeśli dwie z nich to $8$ i $9$, trzecia wynosi $30-17=13$.

Jak zmienia się średnia: dołożenie liczby większej od średniej podnosi ją, mniejszej — obniża, a równej — nie zmienia.

Pułapka: każde wystąpienie liczy się osobno. Dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$ — a nie średnia z dwóch różnych wartości.

🧩Quizy 2

▶Dane statystyczne i doświadczenia losowe8 pyt. średni
▶Statystyka — dane, diagramy, średnia8 pyt. łatwy

✍Zadania 47

Zadanie nr 1

Oblicz średnią arytmetyczną liczb: $4$, $7$, $10$, $3$.

A $5$
B $6$
C $7$
D $24$
Zadanie nr 1

Rzucamy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła?

A $1$
B $\frac12$
C $\frac14$
D $0$
Zadanie nr 2

Uczeń dostał oceny: $3$, $4$, $5$, $4$, $4$. Oblicz średnią oraz podaj dominantę.

Zadanie nr 2

Oblicz średnią arytmetyczną liczb: $12$, $15$, $9$, $20$.

Zadanie nr 3

Wyznacz medianę zestawu: $8$, $3$, $5$, $12$, $7$.

Zadanie nr 3

W urnie jest $4$ kule czerwone i $6$ niebieskich. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej?

Zadanie nr 4

Wyznacz medianę zestawu: $10$, $4$, $6$, $2$.

Zadanie nr 4

Rzucamy kostką. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez $3$ wynosi:

A $\frac16$
B $\frac12$
C $\frac13$
D $\frac23$
Zadanie nr 5

Średnia pięciu liczb wynosi $12$. Ile wynosi ich suma?

A $12$
B $17$
C $60$
D $2{,}4$
Zadanie nr 5

W klasie zebrano oceny: $3$, $4$, $5$, $4$, $3$, $4$. Uporządkuj dane i podaj, która ocena wystąpiła najczęściej.

Zadanie nr 6

Średnia czterech liczb wynosi $9$. Trzy z nich to $7$, $10$ i $8$. Jaka jest czwarta liczba?

Zadanie nr 6

Zdarzenie o prawdopodobieństwie $1$ nazywamy:

A pewnym
B niemożliwym
C losowym
D przeciwnym
Zadanie nr 7

W zestawie $2$, $3$, $3$, $4$, $100$ która miara najlepiej opisuje „typową” wartość?

A mediana, bo nie zależy od wartości skrajnych
B średnia, bo uwzględnia wszystkie dane
C suma, bo pokazuje całość
D wartość największa
Zadanie nr 7

Średnia ocen z pięciu prac wynosi $4$. Cztery oceny to $3$, $5$, $4$, $4$. Jaka jest piąta ocena?

Zadanie nr 8

W tabeli podano liczbę uczniów, którzy dostali daną ocenę: ocena $2$ — $3$ uczniów, ocena $3$ — $8$ uczniów, ocena $4$ — $6$ uczniów, ocena $5$ — $3$ uczniów. Ilu uczniów pisało sprawdzian i jaka jest dominanta ocen?

Zadanie nr 8

W pudełku jest $5$ kul białych, $3$ czarne i $2$ zielone. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest biała.

Zadanie nr 9

Korzystając z danych z poprzedniego zadania, oblicz średnią ocenę na sprawdzianie.

Zadanie nr 9

Na diagramie kołowym wycinek odpowiadający $25\%$ danych ma kąt środkowy:

A $25^\circ$
B $45^\circ$
C $180^\circ$
D $90^\circ$
Zadanie nr 10

Na diagramie kołowym wycinek odpowiadający uczniom dojeżdżającym do szkoły ma kąt $72^\circ$. Jaki procent uczniów dojeżdża?

A $72\%$
B $36\%$
C $25\%$
D $20\%$
Zadanie nr 10

Rzucamy dwiema monetami. Wypisz wszystkie możliwe wyniki i oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie jednego orła.

Zadanie nr 11

W szkole jest $250$ uczniów. Na diagramie kołowym wycinek „sport” obejmuje $36\%$. Ilu uczniów wybrało sport i jaki kąt ma ten wycinek?

Zadanie nr 11

Która miara najlepiej opisuje typowe zarobki, gdy w firmie kilka osób zarabia bardzo dużo, a większość — niewiele?

A średnia arytmetyczna
B mediana
C suma
D rozstęp
Zadanie nr 12

Średnia wzrostu $10$ zawodników wynosi $180$ cm. Do drużyny dołączył zawodnik o wzroście $191$ cm. Jaka jest teraz średnia wzrostu?

Zadanie nr 12

Losujemy jedną kartę z talii $52$ kart. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kiera oraz prawdopodobieństwo wylosowania figury (walet, dama, król).

Zadanie nr 13

Do zestawu $5$, $5$, $5$, $5$ dodano liczbę $5$. Jak zmieniła się średnia?

A wzrosła
B nie zmieniła się
C zmalała
D nie da się ustalić
Zadanie nr 13

W ankiecie $120$ uczniów wybierało ulubiony przedmiot. Matematykę wskazało $30$ osób. Jaki to procent i jaki kąt środkowy odpowiada temu na diagramie kołowym?

Zadanie nr 14

Zestaw danych to: $6$, $9$, $6$, $12$, $9$, $6$. Wyznacz średnią, medianę i dominantę.

Zadanie nr 14

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi:

A $0$
B $1$
C $\frac12$
D $-1$
Zadanie nr 15

Diagram słupkowy pokazuje sprzedaż w czterech miesiącach, ale oś pionowa zaczyna się od wartości $95$, a nie od zera. Jaki jest tego skutek?

A wykres jest zawsze błędny
B różnice między słupkami wydają się mniejsze
C różnice między słupkami wydają się większe
D nie ma to żadnego wpływu na odbiór
Zadanie nr 15

Wyznacz medianę i rozstęp zestawu: $7$, $3$, $9$, $5$, $11$, $3$.

Zadanie nr 16

Ośmiu uczniów zebrało kasztany: $12$, $15$, $9$, $20$, $15$, $11$, $15$, $23$ sztuki. Oblicz średnią i dominantę oraz podaj, ilu uczniów zebrało więcej niż średnia.

Zadanie nr 16

Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest wszystkich możliwych wyników?

A $12$
B $6$
C $36$
D $11$
Zadanie nr 17

W pierwszej grupie $10$ uczniów średnia wyniku testu to $60$ punktów, a w drugiej grupie $15$ uczniów — $70$ punktów. Jaka jest średnia wszystkich $25$ uczniów?

Zadanie nr 17

W szkole przeprowadzono ankietę wśród $200$ uczniów. Wyniki: rower $80$ osób, autobus $60$, pieszo $40$, samochód $20$. Oblicz procenty i kąty na diagramie kołowym oraz sprawdź, czy sumy się zgadzają.

Zadanie nr 18

Rzucamy jedną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej?

A $\frac12$
B $\frac13$
C $\frac16$
D $\frac23$
Zadanie nr 18

Losujemy jedną liczbę ze zbioru $\{1,2,\dots,20\}$. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest parzysta i jednocześnie podzielna przez $3$.

Zadanie nr 19

W worku jest $5$ kul czerwonych, $3$ niebieskie i $2$ zielone. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej oraz kuli, która nie jest czerwona.

Zadanie nr 19

Gazeta pisze: „Sprzedaż wzrosła aż o $200\%$!”, a w tabeli widać wzrost z $50$ do $150$ sztuk. Czy nagłówek jest prawdziwy?

Zadanie nr 20

Zestaw sześciu liczb ma średnią $10$. Po usunięciu jednej liczby średnia pozostałych pięciu wzrosła do $11$. Jaką liczbę usunięto?

Zadanie nr 20

W klasie jest $12$ dziewcząt i $18$ chłopców. Średnia wzrostu dziewcząt to $160$ cm, a chłopców $172$ cm. Oblicz średni wzrost w całej klasie.

Zadanie nr 7 · Egz. 8-kl. 2019
W pewnej firmie zatrudnionych jest więcej niż \(10\) pracowników. Połowa z nich zarabia po \(3000zł\), a druga połowa - po \(4000zł\).



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Średnia arytmetyczna zarobków w tej firmie jest równa \(3500zł\).
Gdy z pracy w tej firmie zrezygnują dwie osoby, z których jedna zarabia \(3000zł\), a druga \(4000zł\), to średnia arytmetyczna zarobków się nie zmieni.
Średnia arytmetyczna zarobków w tej firmie jest równa \(3500zł\).



Gdy z pracy w tej firmie zrezygnują dwie osoby, z których jedna zarabia \(3000zł\), a druga \(4000zł\), to średnia arytmetyczna zarobków się nie zmieni.



Zadanie nr 10 · Egz. 8-kl. 2019
Dany jest zestaw liczb: \(4, 9, 11, 15, 21\). Do podanych liczb dopisano jeszcze jedną liczbę i wtedy średnia arytmetyczna nowego zestawu liczb zwiększyła się o \(1\). Która liczba została dopisana?
A \(10\)
B \(12\)
C \(13\)
D \(18\)
Zadanie nr 21 · Egz. 8-kl. 2018
Do zestawu liczb: \(3\), \(5\) i \(9\) dopisano czwartą liczbę. Mediana otrzymanego w ten sposób zestawu czterech liczb jest większa od mediany początkowego zestawu trzech liczb. Uzasadnij, że dopisana liczba jest większa od \(5\).
Zadanie nr 21 · Egz. 8-kl. 2017
Zapisano trzy różne liczby, których średnia arytmetyczna jest równa \(4\), oraz dwie inne liczby, których średnia arytmetyczna jest równa \(2\). Uzasadnij, że średnia arytmetyczna zestawu tych pięciu liczb jest równa \(3,2\).
Zadanie nr 11 · Egz. 8-kl. 2015
Pięć różnych liczb naturalnych zapisano w kolejności od najmniejszej do największej: \(1, a, b, c, 10\). Mediana liczb: \(1, a, b\) jest równa \(3\), a mediana liczb: \(a, b, c, 10\) jest równa \(5\). Liczba \(c\) jest równa:
A \(4\)
B \(5\)
C \(6\)
D \(7\)
Zadanie nr 15 · Egz. 8-kl. 2014
Ola codziennie, przez tydzień, odczytywała o 7 rano temperaturę powietrza. Oto podane (w \(°C\)) wyniki jej pomiarów: \(−2, 3, 4, 0, −3, 2, 3\). Wybierz odpowiedź, w której podano poprawne wartości średniej arytmetycznej, mediany i amplitudy (różnica między wartością najwyższą i wartością najniższą) zanotowanych temperatur.
A Średnia arytmetyczna \(7°C\), Mediana \(0°C\), Amplituda \(1°C\)
B Średnia arytmetyczna \(1°C\), Mediana \(0°C\), Amplituda \(7°C\)
C Średnia arytmetyczna \(7°C\), Mediana \(2°C\), Amplituda \(1°C\)
D Średnia arytmetyczna \(1°C\), Mediana \(2°C\), Amplituda \(7°C\)
Zadanie nr 1 · Egz. 8-kl. 2013
W tabeli przedstawiono informacje dotyczące wieku wszystkich uczestników obozu narciarskiego.

Matematyka jest prosta



Mediana wieku uczestników obozu jest równa:
A \(14\) lat
B \(14,5\) roku
C \(15\) lat
D \(15,5\) roku
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas