Średnia arytmetyczna

Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów:

$$\text{średnia}=\frac{4+7+10+3}{4}=\frac{24}{4}=6$$

Pułapka: odpowiedź D to sama suma — łatwo zapomnieć o dzieleniu.

Kontrola: średnia zawsze leży między wartością najmniejszą ($3$) a największą ($10$). Zgadza się.

Odpowiedź: B. $6$.

Średnia arytmetyczna:

$$\frac{3+4+5+4+4}{5}=\frac{20}{5}=4$$

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Ocena $4$ pojawia się trzy razy, a pozostałe po razie:

$$\text{dominanta}=4$$

Odpowiedź: średnia $4$, dominanta $4$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$2,\ 4,\ 6,\ 10$$

Krok 2 — liczb jest parzyście ($4$), więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\text{mediana}=\frac{4+6}{2}=5$$

Uwaga: mediana nie musi należeć do zestawu — tutaj $5$ nie występuje wśród danych.

Odpowiedź: mediana wynosi $5$.

Przekształcamy wzór na średnią:

$$\text{średnia}=\frac{\text{suma}}{n} \quad\Rightarrow\quad \text{suma}=\text{średnia}\cdot n$$

Podstawiamy dane:

$$\text{suma}=12\cdot5=60$$

Pułapka: odpowiedź D to wynik dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: C. $60$.

Krok 1 — suma wszystkich czterech liczb:

$$9\cdot4=36$$

Krok 2 — suma trzech znanych:

$$7+10+8=25$$

Krok 3 — czwarta liczba to różnica:

$$36-25=11$$

Sprawdzenie: $\frac{7+10+8+11}{4}=\frac{36}{4}=9$ ✔

Odpowiedź: czwarta liczba to $11$.

Policzmy obie miary. Średnia:

$$\frac{2+3+3+4+100}{5}=\frac{112}{5}=22{,}4$$

Mediana (dane są już uporządkowane, środkowa to trzecia):

$$\text{mediana}=3$$

Cztery z pięciu liczb mieszczą się między $2$ a $4$, więc średnia $22{,}4$ zupełnie nie pasuje do zestawu — zawyża ją pojedyncza wartość odstająca $100$.

Wniosek: gdy w danych jest wartość odstająca, mediana opisuje je wierniej.

Odpowiedź: A.

Przy danych z tabeli liczymy średnią ważoną — każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali.

Krok 1 — suma wszystkich ocen:

$$2\cdot3+3\cdot8+4\cdot6+5\cdot3=6+24+24+15=69$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę uczniów:

$$\frac{69}{20}=3{,}45$$

Kontrola sensu: wynik leży między $2$ a $5$ i blisko dominanty $3$ — to ma sens.

Odpowiedź: średnia ocena wynosi $3{,}45$.

Krok 1 — suma wzrostów przed zmianą:

$$180\cdot10=1800\ \text{cm}$$

Krok 2 — nowa suma:

$$1800+191=1991\ \text{cm}$$

Krok 3 — nowa średnia dla $11$ zawodników:

$$\frac{1991}{11}=181\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: nowy zawodnik jest wyższy od dotychczasowej średniej, więc średnia musiała wzrosnąć — i wzrosła o $1$ cm.

Odpowiedź: nowa średnia to $181$ cm.

Średnia przed zmianą: $\frac{20}{4}=5$.

Średnia po zmianie: $\frac{25}{5}=5$.

Reguła ogólna: dodanie liczby równej dotychczasowej średniej nie zmienia jej. Liczba większa od średniej podnosi ją, a mniejsza obniża.

Odpowiedź: B.

Średnia:

$$\frac{6+9+6+12+9+6}{6}=\frac{48}{6}=8$$

Mediana — najpierw porządkujemy rosnąco:

$$6,\ 6,\ 6,\ 9,\ 9,\ 12$$

Liczb jest parzyście, więc bierzemy średnią dwóch środkowych ($6$ i $9$):

$$\text{mediana}=\frac{6+9}{2}=7{,}5$$

Dominanta — liczba $6$ występuje trzy razy, $9$ dwa razy, $12$ raz:

$$\text{dominanta}=6$$

Odpowiedź: średnia $8$, mediana $7{,}5$, dominanta $6$.

Krok 1 — średnia:

$$\frac{12+15+9+20+15+11+15+23}{8}=\frac{120}{8}=15$$

Krok 2 — dominanta. Liczba $15$ występuje trzy razy, częściej niż każda inna:

$$\text{dominanta}=15$$

Krok 3 — kto zebrał więcej niż $15$. Sprawdzamy każdy wynik: $20$ i $23$ są większe od $15$. Wyniki równe $15$ nie są większe.

Odpowiedź: średnia i dominanta wynoszą po $15$, a więcej niż średnia zebrało $2$ uczniów.

Uwaga: nie można po prostu uśrednić $60$ i $70$ — grupy mają różną liczebność.

Krok 1 — suma punktów w każdej grupie:

$$60\cdot10=600,\qquad 70\cdot15=1050$$

Krok 2 — suma łączna:

$$600+1050=1650$$

Krok 3 — dzielimy przez łączną liczbę uczniów:

$$\frac{1650}{25}=66$$

Kontrola sensu: wynik $66$ leży między $60$ a $70$, bliżej $70$ — i słusznie, bo druga grupa jest liczniejsza. Zwykła średnia $65$ byłaby błędna.

Odpowiedź: średnia wszystkich uczniów to $66$ punktów.

Krok 1 — suma sześciu liczb:

$$10\cdot6=60$$

Krok 2 — suma pozostałych pięciu:

$$11\cdot5=55$$

Krok 3 — usunięta liczba to różnica sum:

$$60-55=5$$

Kontrola sensu: średnia wzrosła po usunięciu liczby, więc usunięta wartość musiała być mniejsza od poprzedniej średniej $10$. Wynik $5$ to potwierdza.

Odpowiedź: usunięto liczbę $5$.

$$\frac{12+15+9+20}{4}=\frac{56}{4}=14$$

Odpowiedź: $14$.

Krok 1 — suma wszystkich ocen:

$$5\cdot4=20$$

Krok 2 — suma znanych:

$$3+5+4+4=16$$

Krok 3 — piąta ocena:

$$20-16=4$$

Odpowiedź: $4$.

Kilka bardzo wysokich pensji zawyża średnią, choć większość zarabia mniej.

Mediana to wartość środkowa — nie reaguje na wartości skrajne, więc lepiej pokazuje sytuację typowego pracownika.

Dlatego w raportach o zarobkach podaje się zwykle medianę, a nie średnią.

Odpowiedź: B. mediana.

Krok 1 — porządkujemy:

$$3,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$$

Krok 2 — mediana. Sześć elementów, więc średnia dwóch środkowych:

$$\frac{5+7}{2}=6$$

Krok 3 — rozstęp:

$$11-3=8$$

Odpowiedź: mediana $6$, rozstęp $8$.

Krok 1 — dlaczego nie zwykła średnia. Grupy mają różną liczebność, więc liczymy średnią ważoną.

Krok 2 — sumy wzrostów:

$$12\cdot160=1920\ \text{cm}$$

$$18\cdot172=3096\ \text{cm}$$

Krok 3 — średnia klasy:

$$\frac{1920+3096}{30}=\frac{5016}{30}=167{,}2\ \text{cm}$$

Kontrola sensu. Wynik musi leżeć między $160$ a $172$ — i leży ✔ Jest bliżej $172$, bo chłopców jest więcej. Zwykła średnia z $160$ i $172$ dałaby $166$ — wartość zaniżoną.

Odpowiedź: $167{,}2$ cm.