Potęgi

Pierwiastek kwadratowy z $49$ to liczba, która podniesiona do kwadratu daje $49$:

$$7^2=49 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{49}=7$$

Pułapka: odpowiedź A to wynik dzielenia $49:2$ — pierwiastkowanie to zupełnie inne działanie.

Odpowiedź: C. $7$.

Pierwiastek sześcienny z $64$ to liczba, której trzecia potęga daje $64$:

$$4^3=4\cdot4\cdot4=64 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{64}=4$$

Uwaga: nie mylić z pierwiastkiem kwadratowym — $\sqrt{64}=8$, ale $\sqrt[3]{64}=4$.

Odpowiedź: $4$.

Podniesienie pierwiastka do kwadratu znosi pierwiastkowanie — to działania odwrotne:

$$\left(\sqrt7\right)^2=7$$

Ogólnie: $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ dla $a\ge0$.

Odpowiedź: $7$.

Szukamy dwóch kolejnych kwadratów, między którymi mieści się $20$:

$$4^2=16\lt 20\lt 25=5^2$$

Zatem:

$$4\lt \sqrt{20}\lt 5$$

Dokładniej: $\sqrt{20}\approx4{,}47$ — leży bliżej $4{,}5$.

Odpowiedź: D. $4$ i $5$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$2^3\cdot2^2=2^{3+2}=2^5=32$$

Sprawdzenie: $8\cdot4=32$ oraz $2^5=32$ ✔

Odpowiedź: B. $2^5$.

Notacja wykładnicza to zapis $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$.

Krok 1 — przesuwamy przecinek, aby uzyskać liczbę z zakresu od $1$ do $10$:

$$45\,000=4{,}5\cdot10\,000$$

Krok 2 — zapisujemy $10\,000$ jako potęgę:

$$10\,000=10^4$$

$$45\,000=4{,}5\cdot10^4$$

Kontrola: wykładnik $4$ to liczba miejsc, o które przesunęliśmy przecinek w lewo.

Odpowiedź: $4{,}5\cdot10^4$.

Szukamy liczby, której kwadrat daje $0{,}09$:

$$0{,}3^2=0{,}09 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{0{,}09}=0{,}3$$

Wskazówka: $0{,}09=\frac{9}{100}$, więc $\sqrt{\frac{9}{100}}=\frac{3}{10}=0{,}3$.

Odpowiedź: $0{,}3$.

Kluczowa reguła: każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$5^0=1$$

Ponadto $3^1=3$. Zatem:

$$5^0+3^1=1+3=4$$

Pułapka: potraktowanie $5^0$ jako $0$ (błędna odpowiedź B) — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: C. $4$.

Pole kwadratu to $P=a^2$, więc bok jest pierwiastkiem z pola:

$$a=\sqrt{P}=\sqrt{81}=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $9^2=81$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: bok ma $9$ cm.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{6^5}{6^3}=6^{5-3}=6^2=36$$

Odpowiedź: A. $36$.

Obliczamy każdy składnik osobno:

$$\sqrt{16}=4$$

$$2^3=8$$

$$\sqrt[3]{27}=3 \quad (\text{bo } 3^3=27)$$

Podstawiamy do wyrażenia:

$$4+8-3=9$$

Uwaga na rodzaj pierwiastka: $\sqrt[3]{27}=3$, a nie $\sqrt{27}$ — indeks przy pierwiastku ma znaczenie.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — bok kwadratu. Z $P=a^2$ wynika:

$$a=\sqrt{P}=\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — przekątna. Przekątna kwadratu to $a\sqrt2$:

$$d=\sqrt2\cdot\sqrt2=\sqrt{2\cdot2}=\sqrt4=2\ \text{cm}$$

Ciekawostka: choć bok jest liczbą niewymierną ($\sqrt2$), przekątna wychodzi równa dokładnie $2$ cm — iloczyn $\sqrt2\cdot\sqrt2$ daje liczbę wymierną.

Odpowiedź: bok $\sqrt2$ cm, przekątna $2$ cm.

1. $3^4\cdot3^5=3^{4+5}=3^9$.

Odpowiedź: $3^9$

1. $\sqrt{\dfrac{49}{81}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\dfrac79$.

Odpowiedź: $\dfrac79$

1. $\dfrac{9^{4+3}}{9^5}=9^{7-5}=9^2=81$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? Najpierw dodajemy wykładniki w liczniku, potem odejmujemy wykładnik mianownika.

1. 1. $2\cdot8^3=2\cdot\left(2^3\right)^3=2\cdot2^9=2^{10}$ — prawda.
2. 2. $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$, a $\sqrt{16}+\sqrt9=4+3=7$ — liczby są różne, więc fałsz.

Odpowiedź: PF

1. $\sqrt{121}=11$, $\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac35=0{,}6$, $\sqrt[3]{27}=3$.
2. $11-0{,}6+3=13{,}4$.

Odpowiedź: $13{,}4$

1. $\dfrac{2^{12}}{2^{7}}=2^{5}=32$.
2. $2^{12}=4096$, $2^{7}=128$; sprawdzenie: $4096:128=32$.

Odpowiedź: $32$ razy; $4096$ i $128$

1. $\dfrac{10^8}{5^8}=\left(\dfrac{10}{5}\right)^8=2^8$.
2. $2^8=256$ — jest to liczba naturalna. $\blacksquare$

Odpowiedź: $256$