Pierwiastki

Pierwiastek kwadratowy z $49$ to liczba, która podniesiona do kwadratu daje $49$:

$$7^2=49 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{49}=7$$

Pułapka: odpowiedź A to wynik dzielenia $49:2$ — pierwiastkowanie to zupełnie inne działanie.

Odpowiedź: C. $7$.

Pierwiastek sześcienny z $64$ to liczba, której trzecia potęga daje $64$:

$$4^3=4\cdot4\cdot4=64 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{64}=4$$

Uwaga: nie mylić z pierwiastkiem kwadratowym — $\sqrt{64}=8$, ale $\sqrt[3]{64}=4$.

Odpowiedź: $4$.

Obliczamy każdy pierwiastek osobno:

$$\sqrt{25}=5,\qquad \sqrt{16}=4$$

Dodajemy:

$$5+4=9$$

Ważne: $\sqrt{25}+\sqrt{16}\neq\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$. Pierwiastka z sumy nie rozdziela się na sumę pierwiastków.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — szukamy największego kwadratu w liczbie $50$:

$$50=25\cdot2$$

Krok 2 — wyciągamy pierwiastek z kwadratu przed znak:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2$$

Sprawdzenie przybliżeniem: $5\sqrt2\approx7{,}07$, a $\sqrt{50}\approx7{,}07$ ✔

Odpowiedź: B. $5\sqrt2$.

Sposób 1 — osobno:

$$\sqrt9\cdot\sqrt4=3\cdot2=6$$

Sposób 2 — pierwiastek iloczynu:

$$\sqrt9\cdot\sqrt4=\sqrt{9\cdot4}=\sqrt{36}=6$$

Reguła: pierwiastek iloczynu równa się iloczynowi pierwiastków — w odróżnieniu od sumy, gdzie taka reguła nie działa.

Odpowiedź: $6$.

Liczba niewymierna to taka, której nie da się zapisać jako ułamek zwykły — ma nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.

$$\sqrt2=1{,}41421356\ldots \quad (\text{niewymierna})$$

Pozostałe są wymierne: $\sqrt9=3$, $0{,}25=\frac14$, $\frac13$ to ułamek.

Reguła: pierwiastek z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy liczba jest kwadratem liczby naturalnej.

Odpowiedź: A. $\sqrt2$.

Podniesienie pierwiastka do kwadratu znosi pierwiastkowanie — to działania odwrotne:

$$\left(\sqrt7\right)^2=7$$

Ogólnie: $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ dla $a\ge0$.

Odpowiedź: $7$.

Sposób 1 — osobno:

$$\sqrt{144}=12,\qquad \sqrt4=2$$

$$12:2=6$$

Sposób 2 — pierwiastek ilorazu:

$$\frac{\sqrt{144}}{\sqrt4}=\sqrt{\frac{144}{4}}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: $6$.

Szukamy dwóch kolejnych kwadratów, między którymi mieści się $20$:

$$4^2=16<20<25=5^2$$

Zatem:

$$4<\sqrt{20}<5$$

Dokładniej: $\sqrt{20}\approx4{,}47$ — leży bliżej $4{,}5$.

Odpowiedź: D. $4$ i $5$.

Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem traktujemy jak wyrazy podobne — działamy na współczynnikach:

$$2\sqrt3+5\sqrt3-\sqrt3=(2+5-1)\sqrt3=6\sqrt3$$

Analogia: to jak $2a+5a-a=6a$, gdzie $a=\sqrt3$. Sam pierwiastek pozostaje bez zmian.

Uwaga: pamiętaj, że $\sqrt3$ ma domyślny współczynnik $1$.

Odpowiedź: $6\sqrt3$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$2^3\cdot2^2=2^{3+2}=2^5=32$$

Sprawdzenie: $8\cdot4=32$ oraz $2^5=32$ ✔

Odpowiedź: B. $2^5$.

Notacja wykładnicza to zapis $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a<10$.

Krok 1 — przesuwamy przecinek, aby uzyskać liczbę z zakresu od $1$ do $10$:

$$45\,000=4{,}5\cdot10\,000$$

Krok 2 — zapisujemy $10\,000$ jako potęgę:

$$10\,000=10^4$$

$$45\,000=4{,}5\cdot10^4$$

Kontrola: wykładnik $4$ to liczba miejsc, o które przesunęliśmy przecinek w lewo.

Odpowiedź: $4{,}5\cdot10^4$.

Szukamy liczby, której kwadrat daje $0{,}09$:

$$0{,}3^2=0{,}09 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{0{,}09}=0{,}3$$

Wskazówka: $0{,}09=\frac{9}{100}$, więc $\sqrt{\frac{9}{100}}=\frac{3}{10}=0{,}3$.

Odpowiedź: $0{,}3$.

Kluczowa reguła: każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$5^0=1$$

Ponadto $3^1=3$. Zatem:

$$5^0+3^1=1+3=4$$

Pułapka: potraktowanie $5^0$ jako $0$ (błędna odpowiedź B) — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: C. $4$.

Pole kwadratu to $P=a^2$, więc bok jest pierwiastkiem z pola:

$$a=\sqrt{P}=\sqrt{81}=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $9^2=81$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: bok ma $9$ cm.

Korzystamy z reguły pierwiastka iloczynu:

$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$$

Dlaczego wynik jest „ładny”: iloczyn $2\cdot8=16$ jest kwadratem liczby całkowitej, więc pierwiastek się „upraszcza” do liczby wymiernej — mimo że każdy czynnik osobno jest niewymierny.

Odpowiedź: $4$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{6^5}{6^3}=6^{5-3}=6^2=36$$

Odpowiedź: A. $36$.

Podstawiamy przybliżenie pierwiastka:

$$5\sqrt2\approx5\cdot1{,}41=7{,}05$$

Kontrola sensu: przekątna kwadratu jest zawsze dłuższa od boku, ale krótsza od podwojonego boku ($10$). Wynik $7{,}05$ mieści się w tym przedziale ✔

Wzór ogólny: przekątna kwadratu o boku $a$ to $a\sqrt2$.

Odpowiedź: około $7{,}05$.

Obliczamy każdy składnik osobno:

$$\sqrt{16}=4$$

$$2^3=8$$

$$\sqrt[3]{27}=3 \quad (\text{bo } 3^3=27)$$

Podstawiamy do wyrażenia:

$$4+8-3=9$$

Uwaga na rodzaj pierwiastka: $\sqrt[3]{27}=3$, a nie $\sqrt{27}$ — indeks przy pierwiastku ma znaczenie.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — bok kwadratu. Z $P=a^2$ wynika:

$$a=\sqrt{P}=\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — przekątna. Przekątna kwadratu to $a\sqrt2$:

$$d=\sqrt2\cdot\sqrt2=\sqrt{2\cdot2}=\sqrt4=2\ \text{cm}$$

Ciekawostka: choć bok jest liczbą niewymierną ($\sqrt2$), przekątna wychodzi równa dokładnie $2$ cm — iloczyn $\sqrt2\cdot\sqrt2$ daje liczbę wymierną.

Odpowiedź: bok $\sqrt2$ cm, przekątna $2$ cm.