Oś symetrii i środek symetrii

Korzystamy ze wzoru na długość okręgu:

$$L=2\pi r=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: $10\pi\approx31{,}4$ cm.

Pułapka: odpowiedź B ($25\pi$) to pole koła, a nie długość okręgu — we wzorze na pole promień jest podnoszony do kwadratu.

Odpowiedź: C. $10\pi$ cm.

Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej:

$$x\cdot x+x\cdot3+2\cdot x+2\cdot3=x^2+3x+2x+6$$

$$=x^2+5x+6$$

Najczęstszy błąd: pominięcie wyrazów mieszanych i zapisanie $x^2+6$.

Odpowiedź: B. $x^2+5x+6$.

Symetralna spełnia dwa warunki naraz: przechodzi przez środek odcinka i tworzy z nim kąt prosty.

Uwaga: sama prosta przechodząca przez środek to jeszcze nie symetralna — brakuje prostopadłości.

Odpowiedź: A.

Korzystamy ze wzoru na pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: przyjmując $\pi\approx3{,}14$ otrzymujemy $36\cdot3{,}14=113{,}04$ cm$^2$.

Uwaga na kolejność: najpierw podnosimy promień do kwadratu, dopiero potem mnożymy przez $\pi$. Zapis $(\pi\cdot6)^2$ dałby zupełnie inny wynik.

Odpowiedź: $36\pi$ cm$^2$, czyli około $113$ cm$^2$.

$$a^2-4a+4a-16=a^2-16$$

Wyrazy mieszane się znoszą — to wzór na różnicę kwadratów:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Odpowiedź: $a^2-16$.

Odległości są równe:

$$|PA|=|PB|$$

To najważniejsza własność symetralnej i działa też w drugą stronę: każdy punkt równo oddalony od $A$ i $B$ leży na symetralnej odcinka $AB$.

Odpowiedź: są równe.

Krok 1 — przekształcamy wzór na długość okręgu:

$$L=2\pi r \quad\Rightarrow\quad r=\frac{L}{2\pi}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$r=\frac{18\pi}{2\pi}=9\ \text{cm}$$

Symbol $\pi$ skraca się — dlatego wygodnie zostawiać go we wzorze do samego końca.

Krok 3 — średnica to dwa promienie:

$$d=2r=18\ \text{cm}$$

Odpowiedź: promień $9$ cm, średnica $18$ cm.

Symetria względem osi $OY$ zmienia znak pierwszej współrzędnej:

$$(3,\,5)\ \to\ (-3,\,5)$$

Odpowiedź: $(-3,\,5)$.

Symetralna przechodzi przez środek odcinka, więc dzieli go na połowy:

$$|AS|=\frac{12}{2}=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $6$ cm.

Przekształcamy wzór na pole koła:

$$P=\pi r^2 \quad\Rightarrow\quad r^2=\frac{P}{\pi}=\frac{49\pi}{\pi}=49$$

Wyciągamy pierwiastek:

$$r=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Pułapka: odpowiedź D ($14$ cm) to średnica, a pytanie dotyczy promienia — warto zawsze sprawdzić, o którą wielkość chodzi.

Odpowiedź: B. $7$ cm.

Prostokąt ma dwie osie symetrii — proste przechodzące przez środki przeciwległych boków.

Uwaga: przekątne prostokąta nie są osiami symetrii (chyba że jest to kwadrat — wtedy osi są cztery).

Odpowiedź: C. $2$.

Dwusieczna wychodzi z wierzchołka kąta i dzieli go na dwie równe części.

Własność analogiczna do symetralnej: każdy punkt dwusiecznej jest jednakowo oddalony od obu ramion kąta.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$L=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{cm}\approx31{,}4\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole:

$$P=\pi\cdot5^2=25\pi\ \text{cm}^2\approx78{,}5\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: podstawienie średnicy w miejsce promienia. Zawsze zaczynaj od sprawdzenia, którą wielkość podano w treści.

Odpowiedź: obwód $10\pi\approx31{,}4$ cm, pole $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

$$x^2+5x-x-5=x^2+4x-5$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $1\cdot7=7$, a po wymnożeniu $4+8-5=7$ ✔

Odpowiedź: $x^2+4x-5$.

Dwusieczna dzieli kąt na połowy:

$$\frac{84^\circ}{2}=42^\circ$$

Odpowiedź: po $42^\circ$.

We wzorze $P=\pi r^2$ promień występuje w kwadracie, więc podwojenie promienia oznacza czterokrotny wzrost pola:

$$P_2=\pi(2r)^2=\pi\cdot4r^2=4\cdot\pi r^2=4P_1$$

Sprawdźmy na liczbach: dla $r=3$ pole to $9\pi$, a dla $r=6$ pole to $36\pi$. Rzeczywiście $36:9=4$.

Dla porównania: obwód, w którym promień występuje w pierwszej potędze, wzrósłby tylko dwukrotnie.

Odpowiedź: A.

Środek symetrii to punkt, względem którego figura odwzorowuje się na siebie po obrocie o $180^\circ$.

W równoległoboku jest nim punkt przecięcia przekątnych.

Pozostałe figury mają osie symetrii, ale nie mają środka — obrócone o $180^\circ$ nie pokryją się ze sobą.

Odpowiedź: A. równoległobok.

Kwadrat ma cztery osie symetrii:

• dwie proste przechodzące przez środki przeciwległych boków,
• dwie przekątne.

Dla porównania: prostokąt niebędący kwadratem ma tylko dwie — jego przekątne nie są osiami symetrii.

Odpowiedź: B. $4$.

Kąt $90^\circ$ to ćwiartka pełnego kąta, więc łuk stanowi ćwiartkę całego okręgu.

Krok 1 — długość całego okręgu:

$$L=2\pi\cdot8=16\pi\ \text{cm}$$

Krok 2 — bierzemy ćwiartkę:

$$l=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot16\pi=\frac14\cdot16\pi=4\pi\ \text{cm}$$

Wzór ogólny na długość łuku:

$$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$$

Odpowiedź: łuk ma $4\pi\approx12{,}6$ cm.

Mnożymy każdy z każdym:

$$2x\cdot x=2x^2$$

$$2x\cdot(-4)=-8x$$

$$3\cdot x=3x$$

$$3\cdot(-4)=-12$$

Po redukcji:

$$2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12$$

Odpowiedź: $2x^2-5x-12$.

Prostokąt: dwie osie — proste przez środki przeciwległych boków. Przekątne prostokąta osiami nie są, bo odbicie względem przekątnej nie nakłada figury na siebie.

Romb: również dwie osie — ale tym razem są nimi właśnie przekątne.

Ciekawe zestawienie. Obie figury mają po dwie osie, tylko zupełnie różne. Kwadrat, będący jednocześnie prostokątem i rombem, ma wszystkie cztery.

Odpowiedź: po $2$ osie każda.

Kąt $60^\circ$ to szósta część pełnego kąta, bo $360^\circ:60^\circ=6$.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — bierzemy szóstą część:

$$P_w=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot36\pi=\frac16\cdot36\pi=6\pi\ \text{cm}^2$$

Wzór ogólny na pole wycinka:

$$P_w=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$$

Odpowiedź: pole wycinka to $6\pi\approx18{,}8$ cm$^2$.

Symetria środkowa względem $(0,\,0)$ zmienia znaki obu współrzędnych:

$$(-4,\,7)\ \to\ (4,-7)$$

Sprawdzenie. Początek układu powinien być środkiem odcinka łączącego oba punkty:

$$\left(\frac{-4+4}{2},\ \frac{7-7}{2}\right)=(0,\,0) \ ✔$$

Odpowiedź: $(4,-7)$.

Trójkąt równoboczny: trzy osie. Każda przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku.

Trójkąt równoramienny: jedna oś — poprowadzona z wierzchołka między ramionami do środka podstawy.

A trójkąt różnoboczny? Nie ma żadnej osi symetrii.

Odpowiedź: $3$ oraz $1$.

Osią symetrii okręgu jest każda prosta przechodząca przez jego środek. Takich prostych można poprowadzić nieskończenie wiele.

Okrąg ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Dla porównania: kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt $2$, a trójkąt równoboczny $3$.

Odpowiedź: D.

$$(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $(1+3)^2=16$, a $1+6+9=16$ ✔ Natomiast $x^2+9$ dałoby $10$.

Odpowiedź: D. $x^2+6x+9$.

Środkiem symetrii równoległoboku jest punkt przecięcia jego przekątnych — obrót o $180^\circ$ wokół tego punktu nakłada figurę na siebie.

Dlaczego nie trójkąt: żaden trójkąt nie ma środka symetrii, bo obrót o $180^\circ$ zawsze zamienia go na trójkąt „odwrócony”.

Ciekawostka: równoległobok (niebędący rombem ani prostokątem) ma środek symetrii, ale ani jednej osi symetrii. Te dwie własności są od siebie niezależne.

Odpowiedź: D. równoległobok.

Krok 1 — jeden obrót koła odpowiada przejechaniu drogi równej obwodowi koła:

$$L=\pi d=3{,}14\cdot70=219{,}8\ \text{cm}$$

Krok 2 — droga po $100$ obrotach:

$$s=100\cdot219{,}8=21\,980\ \text{cm}$$

Krok 3 — zamiana na metry:

$$21\,980\ \text{cm}=219{,}8\ \text{m}$$

Kontrola sensu: koło ma około $2{,}2$ m obwodu, więc $100$ obrotów to około $220$ m — zgadza się.

Odpowiedź: rower przejedzie $219{,}8$ metra.

Trójkąt równoboczny: trzy osie — każda przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku.

Trójkąt równoramienny: jedna oś — przez wierzchołek między ramionami i środek podstawy.

Trójkąt różnoboczny nie ma żadnej osi symetrii.

Odpowiedź: $3$ oraz $1$.

Punkt równo oddalony od obu ramion kąta leży na jego dwusiecznej.

Uwaga na sposób mierzenia: odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego do niej, a nie dowolnego odcinka.

Zastosowanie. Właśnie dlatego środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych — jest równo oddalony od wszystkich trzech boków.

Odpowiedź: na dwusiecznej tego kąta.

Krok 1 — promień wpisanego koła. Największe koło mieszczące się w kwadracie ma średnicę równą bokowi kwadratu:

$$d=10\ \text{cm} \quad\Rightarrow\quad r=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole kwadratu:

$$P_k=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_o=3{,}14\cdot5^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole pozostałej części:

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Kontrola sensu: koło zajmuje blisko $79\%$ kwadratu, więc na cztery narożniki zostaje około jednej piątej powierzchni — to się zgadza.

Odpowiedź: pozostała część ma $21{,}5$ cm$^2$.

$$a^2-5a-3a+15=a^2-8a+15$$

Uwaga na znaki: iloczyn dwóch liczb ujemnych ($-3$ i $-5$) daje wynik dodatni, stąd $+15$.

Odpowiedź: B. $a^2-8a+15$.

Każda prosta przechodząca przez środek okręgu jest jego osią symetrii, a takich prostych jest nieskończenie wiele.

Okrąg ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Odpowiedź: D. nieskończenie wiele.

Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka o dokładnie $r$ — sama linia, bez wnętrza. Ma długość.

Koło to zbiór punktów oddalonych od środka o nie więcej niż $r$ — linia wraz z całym wnętrzem. Ma pole.

Praktyczne rozróżnienie: obręcz roweru to okrąg, a talerz to koło.

Stąd też wzory: dla okręgu liczymy długość $L=2\pi r$, dla koła pole $P=\pi r^2$.

Odpowiedź: C.

Zamieniamy na postać dziesiętną dla łatwiejszego porównania:

$$-3;\quad 1{,}5;\quad -0{,}5;\quad 0$$

Na osi liczby ustawiają się rosnąco od lewej:

$$-3<-0{,}5<0<1{,}5$$

Zapamiętaj: spośród liczb ujemnych mniejsza jest ta, która ma większą wartość bezwzględną — $-3$ leży dalej od zera niż $-0{,}5$.

Odpowiedź: $-3<-\frac12<0<1{,}5$.

Krok 1 — pierwszy podział:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Krok 2 — podział jednej z połówek:

$$\frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$

Krok 3 — powstałe kąty:

$$22{,}5^\circ,\qquad 22{,}5^\circ,\qquad 45^\circ$$

Sprawdzenie: $22{,}5+22{,}5+45=90^\circ$ ✔

Odpowiedź: dwa kąty po $22{,}5^\circ$ i jeden $45^\circ$.

Krok 1 — wyznaczamy promień z obwodu:

$$2\pi r=12\pi \quad\Rightarrow\quad r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — obliczamy pole:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot36=36\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie da się przejść wprost z obwodu na pole — trzeba po drodze wyznaczyć promień. To typowe zadanie dwuetapowe.

Odpowiedź: pole koła to $36\pi\approx113$ cm$^2$.

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$x\cdot x^2=x^3$$

$$x\cdot(-3)=-3x$$

$$2\cdot x^2=2x^2$$

$$2\cdot(-3)=-6$$

Porządkujemy według malejących potęg:

$$x^3+2x^2-3x-6$$

Uwaga: nie ma tu wyrazów podobnych, więc nic się nie redukuje.

Odpowiedź: $x^3+2x^2-3x-6$.

Krok 1. Rozstawiamy cyrkiel na promień większy od połowy odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ zataczamy łuk nad odcinkiem i pod nim.

Krok 3. Z punktu $B$, nie zmieniając rozwarcia cyrkla, zataczamy takie same łuki.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach. Prosta przez te punkty to szukana symetralna.

Dlaczego to działa. Oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$ — mają ten sam promień z obu środków. A punkty równo oddalone od końców odcinka leżą właśnie na symetralnej.

Odpowiedź: prosta przez oba punkty przecięcia łuków.

Pierścień to koło większe z wyciętym kołem mniejszym, więc pola odejmujemy.

Krok 1 — pole koła większego:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole koła mniejszego:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie wolno najpierw odejmować promieni. Wynik $\pi(5-3)^2=4\pi$ byłby błędny, bo $(a-b)^2\neq a^2-b^2$.

Odpowiedź: pole pierścienia to $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Każda prosta przechodząca przez środek koła jest jego osią symetrii, a takich prostych jest nieskończenie wiele.

Koło ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Odpowiedź: A. nieskończenie wiele.

Każdy punkt symetralnej boku jest równo oddalony od jego końców, więc punkt przecięcia wszystkich trzech symetralnych jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków — a to definicja środka okręgu opisanego.

Dla porównania: środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych, a środek ciężkości — na przecięciu środkowych.

Odpowiedź: B. okręgu opisanego.

Długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta środkowego, więc trzecia część okręgu odpowiada trzeciej części pełnego kąta:

$$\alpha=\frac13\cdot360^\circ=120^\circ$$

Warto zapamiętać kilka przypadków: $\frac12$ okręgu to $180^\circ$, $\frac14$ to $90^\circ$, $\frac16$ to $60^\circ$.

Odpowiedź: B. $120^\circ$.

Krok 1 — zauważamy symetrię wokół $100$:

$$98=100-2,\qquad 102=100+2$$

Krok 2 — stosujemy wzór:

$$(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10\,000-4=9996$$

Zaleta metody: rachunek w pamięci zamiast mnożenia pisemnego.

Odpowiedź: $9996$.

Sześciokąt foremny ma sześć osi symetrii:

• trzy proste łączące przeciwległe wierzchołki,
• trzy proste łączące środki przeciwległych boków.

Reguła ogólna: wielokąt foremny o $n$ bokach ma dokładnie $n$ osi symetrii.

Odpowiedź: $6$ osi.

Siatka biegnie wzdłuż brzegu klombu, więc liczymy obwód:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot4=25{,}12\ \text{m}$$

Powierzchnia ziemi to pole koła:

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot16=50{,}24\ \text{m}^2$$

Jak rozpoznać, czego szuka zadanie: to, co biegnie wokół (płot, siatka, obwódka), liczymy obwodem; to, co wypełnia (ziemia, trawa, farba), liczymy polem.

Odpowiedź: potrzeba $25{,}12$ m siatki, a klomb zajmie $50{,}24$ m$^2$.

Symetria względem osi $OX$ zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(5,-2)\ \to\ (5,\,2)$$

Sprawdzian pamięciowy: punkt leżący na osi symetrii nie może się przesunąć. Punkt $(5,\,0)$ zostaje na miejscu, co potwierdza, że zmieniamy tu rzędną.

Odpowiedź: C. $(5,\,2)$.

Obrót o $180^\circ$ wokół środka odcinka zamienia punkt $A$ z punktem $B$ i nakłada odcinek na siebie.

Odcinek ma też osie symetrii: swoją symetralną oraz prostą, na której sam leży.

Odpowiedź: C. środek odcinka.

Krok 1 — przekątna kwadratu. Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki, więc jego średnica to przekątna kwadratu:

$$d=a\sqrt2=8\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — promień to połowa przekątnej:

$$r=\frac{8\sqrt2}{2}=4\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\left(4\sqrt2\right)^2=\pi\cdot16\cdot2=32\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga przy potęgowaniu: $\left(4\sqrt2\right)^2=4^2\cdot\left(\sqrt2\right)^2=16\cdot2=32$ — do kwadratu podnosimy oba czynniki.

Odpowiedź: $r=4\sqrt2$ cm, pole koła $32\pi\approx100{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — pierwszy iloczyn:

$$(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$$

Krok 2 — drugi iloczyn (różnica kwadratów):

$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$

Krok 3 — odejmujemy, pamiętając o znaku:

$$\left(x^2+x-6\right)-\left(x^2-1\right)=x^2+x-6-x^2+1=x-5$$

Sprawdzenie dla $x=3$: wyjściowo $6\cdot1-4\cdot2=6-8=-2$, a po uproszczeniu $3-5=-2$ ✔

Odpowiedź: $x-5$.

Krok 1 — pierwsza dwusieczna dzieli kąt $AOB$:

$$\angle AOC=\angle COB=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$

Krok 2 — druga dwusieczna dzieli kąt $AOC$:

$$\angle AOD=\angle DOC=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ$$

Krok 3 — zestawienie:

$$\angle AOD=30^\circ,\qquad \angle DOC=30^\circ,\qquad \angle COB=60^\circ$$

Sprawdzenie: $30+30+60=120^\circ$ ✔ Cały kąt został odtworzony.

Odpowiedź: $30^\circ$, $30^\circ$ i $60^\circ$.

Równoległobok ma środek symetrii — jest nim punkt przecięcia przekątnych. Jeśli jednak nie jest rombem ani prostokątem, to nie ma żadnej osi symetrii.

Pozostałe przypadki mają jedno i drugie albo odwrotnie:

• kwadrat — $4$ osie i środek symetrii
• koło — nieskończenie wiele osi i środek symetrii
• trójkąt równoboczny — $3$ osie, ale brak środka symetrii

Wniosek: te dwie własności są od siebie niezależne — figura może mieć jedną, drugą, obie albo żadną.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=(x+3)(x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — pole kwadratu:

$$P_2=x^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P_1-P_2=4x+3$$

Sprawdzenie dla $x=2$: prostokąt $5\times3=15$, kwadrat $4$, różnica $11$. Ze wzoru: $4\cdot2+3=11$ ✔

Odpowiedź: $P_1=x^2+4x+3$; jest większe o $4x+3$.

Koło: nieskończenie wiele osi, jeden środek symetrii.

Kwadrat: $4$ osie, jeden środek symetrii.

Prostokąt: $2$ osie, jeden środek symetrii.

Trójkąt równoboczny: $3$ osie, brak środka symetrii.

Równoległobok: $0$ osi, jeden środek symetrii.

Wniosek. Te dwie własności są od siebie niezależne. Trójkąt równoboczny ma aż trzy osie, a mimo to nie ma środka symetrii. Równoległobok — odwrotnie: ma środek, ale nie ma żadnej osi.

Odpowiedź: jak w zestawieniu wyżej.

Krok 1 — odcinki proste:

$$2\cdot100=200\ \text{m}$$

Krok 2 — dwa półkola. Dwa półkola o tym samym promieniu tworzą razem pełny okrąg:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot35=219{,}8\ \text{m}$$

Krok 3 — łączna długość okrążenia:

$$200+219{,}8=419{,}8\ \text{m}$$

Kontrola sensu: standardowa bieżnia lekkoatletyczna ma około $400$ m, więc wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: jedno okrążenie ma $419{,}8$ metra.

Krok 1 — odbijamy każdy wierzchołek (zmieniamy znak rzędnej):

$$A'=(1,-2),\qquad B'=(4,-2),\qquad C'=(4,-6)$$

Krok 2 — pole trójkąta wyjściowego. Bok $AB$ jest poziomy (długość $3$), bok $BC$ pionowy (długość $4$), a kąt przy $B$ jest prosty:

$$P=\frac{3\cdot4}{2}=6$$

Krok 3 — pole obrazu. Bok $A'B'$ ma nadal $3$, a $B'C'$ ma $|-6-(-2)|=4$:

$$P=\frac{3\cdot4}{2}=6$$

Wniosek: symetria jest izometrią — nie zmienia długości, kątów ani pola. Figura zostaje odbita, ale pozostaje przystająca do wyjściowej.

Odpowiedź: $(1,-2)$, $(4,-2)$, $(4,-6)$; pole nadal wynosi $6$.

Oznaczenia. Niech trójkąt $ABC$ ma ramiona $|AC|=|BC|$, a $CD$ będzie wysokością opuszczoną na podstawę $AB$.

Krok 1 — porównujemy trójkąty $ACD$ i $BCD$. Mają:

• $|AC|=|BC|$ — z założenia o równych ramionach,
• $|CD|$ — bok wspólny,
• kąty przy $D$ proste — bo $CD$ jest wysokością.

Krok 2 — przystawanie. To cecha bok–bok–kąt dla trójkątów prostokątnych (równe przeciwprostokątne i jedna przyprostokątna), więc oba trójkąty są przystające.

Krok 3 — wnioski z przystawania. Odpowiadające sobie elementy są równe:

$$|AD|=|BD| \quad\Rightarrow\quad CD \ \text{przechodzi przez środek } AB$$

$$\angle ACD=\angle BCD \quad\Rightarrow\quad CD \ \text{dzieli kąt } ACB \text{ na połowy}$$

Krok 4 — domknięcie. Skoro $CD$ przechodzi przez środek $AB$ i jest do niego prostopadła, jest symetralną podstawy. Skoro dzieli kąt $ACB$ na dwa równe, jest jego dwusieczną. $\qquad ∎$

Warto zapamiętać. W trójkącie równoramiennym cztery linie zlewają się w jedną: wysokość, środkowa, dwusieczna i symetralna podstawy. W trójkącie różnobocznym są to cztery różne proste.

Sprawdzenie: w trójkącie o ramionach $5$ i podstawie $6$ wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki po $3$, a z twierdzenia Pitagorasa $h=\sqrt{25-9}=4$ — oba trójkąty prostokątne są identyczne ✔

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot100=314\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — jaką część koła stanowi wycinek:

$$\frac{72^\circ}{360^\circ}=\frac15=0{,}2$$

Krok 3 — pole wycinka:

$$P_w=0{,}2\cdot314=62{,}8\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — udział procentowy:

$$0{,}2=20\%$$

Warto zauważyć: stosunek kątów, stosunek pól i udział procentowy to ta sama liczba wyrażona na trzy sposoby — dlatego procent można odczytać wprost z kąta, bez liczenia pól.

Odpowiedź: pole pomalowanej części to $62{,}8$ cm$^2$, czyli $20\%$ koła.

Krok 1 — pierwszy iloczyn:

$$(x+1)(x+3)=x^2+3x+x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — kwadrat sumy:

$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$

Krok 3 — odejmujemy:

$$\left(x^2+4x+3\right)-\left(x^2+4x+4\right)=3-4=-1$$

Wniosek. Wyrazy z $x^2$ i z $x$ znoszą się nawzajem, więc po uproszczeniu zostaje sama liczba — wartość wyrażenia nie zależy od $x$. ∎

Sprawdzenie na trzech wartościach:

• $x=0$: $1\cdot3-4=-1$ ✔
• $x=1$: $2\cdot4-9=-1$ ✔
• $x=5$: $6\cdot8-49=-1$ ✔

Uwaga metodyczna: podstawienie kilku liczb potwierdza wynik, ale dowodem jest przekształcenie z kroków $1$–$3$, bo działa dla każdego $x$.

Odpowiedź: wartość zawsze wynosi $-1$.

Oznaczenia. Niech $k$ będzie symetralną odcinka $AB$, przecinającą go w środku $S$, a $P$ — dowolnym punktem prostej $k$.

Przypadek szczególny. Jeśli $P=S$, to $|PA|=|PB|$ wprost z definicji środka odcinka.

Krok 1 — porównujemy trójkąty $ASP$ i $BSP$. Mają:

• $|AS|=|BS|$ — bo $S$ jest środkiem odcinka,
• kąty przy $S$ proste — bo symetralna jest prostopadła do $AB$,
• $|SP|$ — bok wspólny.

Krok 2 — przystawanie. To cecha bok–kąt–bok, więc trójkąty $ASP$ i $BSP$ są przystające.

Krok 3 — wniosek. Odpowiadające sobie boki są równe:

$$|PA|=|PB| \qquad ∎$$

Twierdzenie odwrotne też zachodzi: jeśli punkt jest równo oddalony od $A$ i $B$, to leży na symetralnej odcinka $AB$. Dlatego mówimy, że symetralna to zbiór wszystkich takich punktów.