Oś symetrii i środek symetrii

Osią symetrii okręgu jest każda prosta przechodząca przez jego środek. Takich prostych można poprowadzić nieskończenie wiele.

Okrąg ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Dla porównania: kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt $2$, a trójkąt równoboczny $3$.

Odpowiedź: D.

Równoległobok ma środek symetrii — jest nim punkt przecięcia przekątnych. Jeśli jednak nie jest rombem ani prostokątem, to nie ma żadnej osi symetrii.

Pozostałe przypadki mają jedno i drugie albo odwrotnie:

• kwadrat — $4$ osie i środek symetrii
• koło — nieskończenie wiele osi i środek symetrii
• trójkąt równoboczny — $3$ osie, ale brak środka symetrii

Wniosek: te dwie własności są od siebie niezależne — figura może mieć jedną, drugą, obie albo żadną.

Odpowiedź: A.

Symetria względem osi $OY$ zmienia znak pierwszej współrzędnej:

$$(3,\,5)\ \to\ (-3,\,5)$$

Odpowiedź: $(-3,\,5)$.

Prostokąt ma dwie osie symetrii — proste przechodzące przez środki przeciwległych boków.

Uwaga: przekątne prostokąta nie są osiami symetrii (chyba że jest to kwadrat — wtedy osi są cztery).

Odpowiedź: C. $2$.

Środek symetrii to punkt, względem którego figura odwzorowuje się na siebie po obrocie o $180^\circ$.

W równoległoboku jest nim punkt przecięcia przekątnych.

Pozostałe figury mają osie symetrii, ale nie mają środka — obrócone o $180^\circ$ nie pokryją się ze sobą.

Odpowiedź: A. równoległobok.

Symetria środkowa względem $(0,\,0)$ zmienia znaki obu współrzędnych:

$$(-4,\,7)\ \to\ (4,-7)$$

Sprawdzenie. Początek układu powinien być środkiem odcinka łączącego oba punkty:

$$\left(\frac{-4+4}{2},\ \frac{7-7}{2}\right)=(0,\,0) \ ✔$$

Odpowiedź: $(4,-7)$.

Trójkąt równoboczny: trzy osie — każda przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku.

Trójkąt równoramienny: jedna oś — przez wierzchołek między ramionami i środek podstawy.

Trójkąt różnoboczny nie ma żadnej osi symetrii.

Odpowiedź: $3$ oraz $1$.

Każda prosta przechodząca przez środek koła jest jego osią symetrii, a takich prostych jest nieskończenie wiele.

Koło ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Odpowiedź: A. nieskończenie wiele.

Krok 1 — zauważamy symetrię wokół $100$:

$$98=100-2,\qquad 102=100+2$$

Krok 2 — stosujemy wzór:

$$(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10\,000-4=9996$$

Zaleta metody: rachunek w pamięci zamiast mnożenia pisemnego.

Odpowiedź: $9996$.

Symetria względem osi $OX$ zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(5,-2)\ \to\ (5,\,2)$$

Sprawdzian pamięciowy: punkt leżący na osi symetrii nie może się przesunąć. Punkt $(5,\,0)$ zostaje na miejscu, co potwierdza, że zmieniamy tu rzędną.

Odpowiedź: C. $(5,\,2)$.

Krok 1 — odbijamy każdy wierzchołek (zmieniamy znak rzędnej):

$$A'=(1,-2),\qquad B'=(4,-2),\qquad C'=(4,-6)$$

Krok 2 — pole trójkąta wyjściowego. Bok $AB$ jest poziomy (długość $3$), bok $BC$ pionowy (długość $4$), a kąt przy $B$ jest prosty:

$$P=\frac{3\cdot4}{2}=6$$

Krok 3 — pole obrazu. Bok $A'B'$ ma nadal $3$, a $B'C'$ ma $|-6-(-2)|=4$:

$$P=\frac{3\cdot4}{2}=6$$

Wniosek: symetria jest izometrią — nie zmienia długości, kątów ani pola. Figura zostaje odbita, ale pozostaje przystająca do wyjściowej.

Odpowiedź: $(1,-2)$, $(4,-2)$, $(4,-6)$; pole nadal wynosi $6$.

Symetralna spełnia dwa warunki naraz: przechodzi przez środek odcinka i tworzy z nim kąt prosty.

Uwaga: sama prosta przechodząca przez środek to jeszcze nie symetralna — brakuje prostopadłości.

Odpowiedź: A.

Odległości są równe:

$$|PA|=|PB|$$

To najważniejsza własność symetralnej i działa też w drugą stronę: każdy punkt równo oddalony od $A$ i $B$ leży na symetralnej odcinka $AB$.

Odpowiedź: są równe.

Symetralna przechodzi przez środek odcinka, więc dzieli go na połowy:

$$|AS|=\frac{12}{2}=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $6$ cm.

Dwusieczna wychodzi z wierzchołka kąta i dzieli go na dwie równe części.

Własność analogiczna do symetralnej: każdy punkt dwusiecznej jest jednakowo oddalony od obu ramion kąta.

Odpowiedź: C.

Kwadrat ma cztery osie symetrii:

• dwie proste przechodzące przez środki przeciwległych boków,
• dwie przekątne.

Dla porównania: prostokąt niebędący kwadratem ma tylko dwie — jego przekątne nie są osiami symetrii.

Odpowiedź: B. $4$.

Prostokąt: dwie osie — proste przez środki przeciwległych boków. Przekątne prostokąta osiami nie są, bo odbicie względem przekątnej nie nakłada figury na siebie.

Romb: również dwie osie — ale tym razem są nimi właśnie przekątne.

Ciekawe zestawienie. Obie figury mają po dwie osie, tylko zupełnie różne. Kwadrat, będący jednocześnie prostokątem i rombem, ma wszystkie cztery.

Odpowiedź: po $2$ osie każda.

Trójkąt równoboczny: trzy osie. Każda przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku.

Trójkąt równoramienny: jedna oś — poprowadzona z wierzchołka między ramionami do środka podstawy.

A trójkąt różnoboczny? Nie ma żadnej osi symetrii.

Odpowiedź: $3$ oraz $1$.

Środkiem symetrii równoległoboku jest punkt przecięcia jego przekątnych — obrót o $180^\circ$ wokół tego punktu nakłada figurę na siebie.

Dlaczego nie trójkąt: żaden trójkąt nie ma środka symetrii, bo obrót o $180^\circ$ zawsze zamienia go na trójkąt „odwrócony”.

Ciekawostka: równoległobok (niebędący rombem ani prostokątem) ma środek symetrii, ale ani jednej osi symetrii. Te dwie własności są od siebie niezależne.

Odpowiedź: D. równoległobok.

Każda prosta przechodząca przez środek okręgu jest jego osią symetrii, a takich prostych jest nieskończenie wiele.

Okrąg ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Odpowiedź: D. nieskończenie wiele.

Krok 1. Rozstawiamy cyrkiel na promień większy od połowy odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ zataczamy łuk nad odcinkiem i pod nim.

Krok 3. Z punktu $B$, nie zmieniając rozwarcia cyrkla, zataczamy takie same łuki.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach. Prosta przez te punkty to szukana symetralna.

Dlaczego to działa. Oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$ — mają ten sam promień z obu środków. A punkty równo oddalone od końców odcinka leżą właśnie na symetralnej.

Odpowiedź: prosta przez oba punkty przecięcia łuków.

Każdy punkt symetralnej boku jest równo oddalony od jego końców, więc punkt przecięcia wszystkich trzech symetralnych jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków — a to definicja środka okręgu opisanego.

Dla porównania: środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych, a środek ciężkości — na przecięciu środkowych.

Odpowiedź: B. okręgu opisanego.

Sześciokąt foremny ma sześć osi symetrii:

• trzy proste łączące przeciwległe wierzchołki,
• trzy proste łączące środki przeciwległych boków.

Reguła ogólna: wielokąt foremny o $n$ bokach ma dokładnie $n$ osi symetrii.

Odpowiedź: $6$ osi.

Obrót o $180^\circ$ wokół środka odcinka zamienia punkt $A$ z punktem $B$ i nakłada odcinek na siebie.

Odcinek ma też osie symetrii: swoją symetralną oraz prostą, na której sam leży.

Odpowiedź: C. środek odcinka.

Koło: nieskończenie wiele osi, jeden środek symetrii.

Kwadrat: $4$ osie, jeden środek symetrii.

Prostokąt: $2$ osie, jeden środek symetrii.

Trójkąt równoboczny: $3$ osie, brak środka symetrii.

Równoległobok: $0$ osi, jeden środek symetrii.

Wniosek. Te dwie własności są od siebie niezależne. Trójkąt równoboczny ma aż trzy osie, a mimo to nie ma środka symetrii. Równoległobok — odwrotnie: ma środek, ale nie ma żadnej osi.

Odpowiedź: jak w zestawieniu wyżej.

Oznaczenia. Niech trójkąt $ABC$ ma ramiona $|AC|=|BC|$, a $CD$ będzie wysokością opuszczoną na podstawę $AB$.

Krok 1 — porównujemy trójkąty $ACD$ i $BCD$. Mają:

• $|AC|=|BC|$ — z założenia o równych ramionach,
• $|CD|$ — bok wspólny,
• kąty przy $D$ proste — bo $CD$ jest wysokością.

Krok 2 — przystawanie. To cecha bok–bok–kąt dla trójkątów prostokątnych (równe przeciwprostokątne i jedna przyprostokątna), więc oba trójkąty są przystające.

Krok 3 — wnioski z przystawania. Odpowiadające sobie elementy są równe:

$$|AD|=|BD| \quad\Rightarrow\quad CD \ \text{przechodzi przez środek } AB$$

$$\angle ACD=\angle BCD \quad\Rightarrow\quad CD \ \text{dzieli kąt } ACB \text{ na połowy}$$

Krok 4 — domknięcie. Skoro $CD$ przechodzi przez środek $AB$ i jest do niego prostopadła, jest symetralną podstawy. Skoro dzieli kąt $ACB$ na dwa równe, jest jego dwusieczną. $\qquad ∎$

Warto zapamiętać. W trójkącie równoramiennym cztery linie zlewają się w jedną: wysokość, środkowa, dwusieczna i symetralna podstawy. W trójkącie różnobocznym są to cztery różne proste.

Sprawdzenie: w trójkącie o ramionach $5$ i podstawie $6$ wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki po $3$, a z twierdzenia Pitagorasa $h=\sqrt{25-9}=4$ — oba trójkąty prostokątne są identyczne ✔

Oznaczenia. Niech $k$ będzie symetralną odcinka $AB$, przecinającą go w środku $S$, a $P$ — dowolnym punktem prostej $k$.

Przypadek szczególny. Jeśli $P=S$, to $|PA|=|PB|$ wprost z definicji środka odcinka.

Krok 1 — porównujemy trójkąty $ASP$ i $BSP$. Mają:

• $|AS|=|BS|$ — bo $S$ jest środkiem odcinka,
• kąty przy $S$ proste — bo symetralna jest prostopadła do $AB$,
• $|SP|$ — bok wspólny.

Krok 2 — przystawanie. To cecha bok–kąt–bok, więc trójkąty $ASP$ i $BSP$ są przystające.

Krok 3 — wniosek. Odpowiadające sobie boki są równe:

$$|PA|=|PB| \qquad ∎$$

Twierdzenie odwrotne też zachodzi: jeśli punkt jest równo oddalony od $A$ i $B$, to leży na symetralnej odcinka $AB$. Dlatego mówimy, że symetralna to zbiór wszystkich takich punktów.