Liczby na osi liczbowej

Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej:

$$x\cdot x+x\cdot3+2\cdot x+2\cdot3=x^2+3x+2x+6$$

$$=x^2+5x+6$$

Najczęstszy błąd: pominięcie wyrazów mieszanych i zapisanie $x^2+6$.

Odpowiedź: B. $x^2+5x+6$.

$$a^2-4a+4a-16=a^2-16$$

Wyrazy mieszane się znoszą — to wzór na różnicę kwadratów:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Odpowiedź: $a^2-16$.

Symetria względem osi $OY$ zmienia znak pierwszej współrzędnej:

$$(3,\,5)\ \to\ (-3,\,5)$$

Odpowiedź: $(-3,\,5)$.

Prostokąt ma dwie osie symetrii — proste przechodzące przez środki przeciwległych boków.

Uwaga: przekątne prostokąta nie są osiami symetrii (chyba że jest to kwadrat — wtedy osi są cztery).

Odpowiedź: C. $2$.

$$x^2+5x-x-5=x^2+4x-5$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $1\cdot7=7$, a po wymnożeniu $4+8-5=7$ ✔

Odpowiedź: $x^2+4x-5$.

Środek symetrii to punkt, względem którego figura odwzorowuje się na siebie po obrocie o $180^\circ$.

W równoległoboku jest nim punkt przecięcia przekątnych.

Pozostałe figury mają osie symetrii, ale nie mają środka — obrócone o $180^\circ$ nie pokryją się ze sobą.

Odpowiedź: A. równoległobok.

Mnożymy każdy z każdym:

$$2x\cdot x=2x^2$$

$$2x\cdot(-4)=-8x$$

$$3\cdot x=3x$$

$$3\cdot(-4)=-12$$

Po redukcji:

$$2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12$$

Odpowiedź: $2x^2-5x-12$.

Symetria środkowa względem $(0,\,0)$ zmienia znaki obu współrzędnych:

$$(-4,\,7)\ \to\ (4,-7)$$

Sprawdzenie. Początek układu powinien być środkiem odcinka łączącego oba punkty:

$$\left(\frac{-4+4}{2},\ \frac{7-7}{2}\right)=(0,\,0) \ ✔$$

Odpowiedź: $(4,-7)$.

$$(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $(1+3)^2=16$, a $1+6+9=16$ ✔ Natomiast $x^2+9$ dałoby $10$.

Odpowiedź: D. $x^2+6x+9$.

Trójkąt równoboczny: trzy osie — każda przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku.

Trójkąt równoramienny: jedna oś — przez wierzchołek między ramionami i środek podstawy.

Trójkąt różnoboczny nie ma żadnej osi symetrii.

Odpowiedź: $3$ oraz $1$.

$$a^2-5a-3a+15=a^2-8a+15$$

Uwaga na znaki: iloczyn dwóch liczb ujemnych ($-3$ i $-5$) daje wynik dodatni, stąd $+15$.

Odpowiedź: B. $a^2-8a+15$.

Zamieniamy na postać dziesiętną dla łatwiejszego porównania:

$$-3;\quad 1{,}5;\quad -0{,}5;\quad 0$$

Na osi liczby ustawiają się rosnąco od lewej:

$$-3<-0{,}5<0<1{,}5$$

Zapamiętaj: spośród liczb ujemnych mniejsza jest ta, która ma większą wartość bezwzględną — $-3$ leży dalej od zera niż $-0{,}5$.

Odpowiedź: $-3<-\frac12<0<1{,}5$.

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$x\cdot x^2=x^3$$

$$x\cdot(-3)=-3x$$

$$2\cdot x^2=2x^2$$

$$2\cdot(-3)=-6$$

Porządkujemy według malejących potęg:

$$x^3+2x^2-3x-6$$

Uwaga: nie ma tu wyrazów podobnych, więc nic się nie redukuje.

Odpowiedź: $x^3+2x^2-3x-6$.

Każda prosta przechodząca przez środek koła jest jego osią symetrii, a takich prostych jest nieskończenie wiele.

Koło ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Odpowiedź: A. nieskończenie wiele.

Krok 1 — zauważamy symetrię wokół $100$:

$$98=100-2,\qquad 102=100+2$$

Krok 2 — stosujemy wzór:

$$(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10\,000-4=9996$$

Zaleta metody: rachunek w pamięci zamiast mnożenia pisemnego.

Odpowiedź: $9996$.

Symetria względem osi $OX$ zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(5,-2)\ \to\ (5,\,2)$$

Sprawdzian pamięciowy: punkt leżący na osi symetrii nie może się przesunąć. Punkt $(5,\,0)$ zostaje na miejscu, co potwierdza, że zmieniamy tu rzędną.

Odpowiedź: C. $(5,\,2)$.

Krok 1 — pierwszy iloczyn:

$$(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$$

Krok 2 — drugi iloczyn (różnica kwadratów):

$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$

Krok 3 — odejmujemy, pamiętając o znaku:

$$\left(x^2+x-6\right)-\left(x^2-1\right)=x^2+x-6-x^2+1=x-5$$

Sprawdzenie dla $x=3$: wyjściowo $6\cdot1-4\cdot2=6-8=-2$, a po uproszczeniu $3-5=-2$ ✔

Odpowiedź: $x-5$.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=(x+3)(x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — pole kwadratu:

$$P_2=x^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P_1-P_2=4x+3$$

Sprawdzenie dla $x=2$: prostokąt $5\times3=15$, kwadrat $4$, różnica $11$. Ze wzoru: $4\cdot2+3=11$ ✔

Odpowiedź: $P_1=x^2+4x+3$; jest większe o $4x+3$.

Krok 1 — odbijamy każdy wierzchołek (zmieniamy znak rzędnej):

$$A'=(1,-2),\qquad B'=(4,-2),\qquad C'=(4,-6)$$

Krok 2 — pole trójkąta wyjściowego. Bok $AB$ jest poziomy (długość $3$), bok $BC$ pionowy (długość $4$), a kąt przy $B$ jest prosty:

$$P=\frac{3\cdot4}{2}=6$$

Krok 3 — pole obrazu. Bok $A'B'$ ma nadal $3$, a $B'C'$ ma $|-6-(-2)|=4$:

$$P=\frac{3\cdot4}{2}=6$$

Wniosek: symetria jest izometrią — nie zmienia długości, kątów ani pola. Figura zostaje odbita, ale pozostaje przystająca do wyjściowej.

Odpowiedź: $(1,-2)$, $(4,-2)$, $(4,-6)$; pole nadal wynosi $6$.

Krok 1 — pierwszy iloczyn:

$$(x+1)(x+3)=x^2+3x+x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — kwadrat sumy:

$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$

Krok 3 — odejmujemy:

$$\left(x^2+4x+3\right)-\left(x^2+4x+4\right)=3-4=-1$$

Wniosek. Wyrazy z $x^2$ i z $x$ znoszą się nawzajem, więc po uproszczeniu zostaje sama liczba — wartość wyrażenia nie zależy od $x$. ∎

Sprawdzenie na trzech wartościach:

• $x=0$: $1\cdot3-4=-1$ ✔
• $x=1$: $2\cdot4-9=-1$ ✔
• $x=5$: $6\cdot8-49=-1$ ✔

Uwaga metodyczna: podstawienie kilku liczb potwierdza wynik, ale dowodem jest przekształcenie z kroków $1$–$3$, bo działa dla każdego $x$.

Odpowiedź: wartość zawsze wynosi $-1$.