MATEMATIX

Polityka prywatności

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 8 SP › Kombinatoryka a prawdopodobieństwo

Kombinatoryka a prawdopodobieństwo

Klasa 8 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Reguła mnożenia i zliczanie możliwości

Reguła mnożenia

Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:

$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$

Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.

Mnożyć czy dodawać

Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).

Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.

Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.

Z powtórzeniami i bez

Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.

Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.

Zero na pierwszej pozycji

W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:

$$9\cdot9\cdot8=648$$

Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.

Zaczynaj od najostrzejszego warunku

Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:

$$5\cdot8\cdot8=320$$

Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.

Ustawienia w rzędzie

$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$

Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.

Prawdopodobieństwo klasyczne

$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$

Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.

Kostki są rozróżnialne

Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.

Na co uważać

Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.

∑Wzory 1

Reguła mnożenia w kombinatoryce
$$N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$

Co robi: zlicza możliwości wyboru składającego się z kilku etapów, bez wypisywania wszystkich przypadków.

Elementy: $n_i$ to liczba możliwości na $i$-tym etapie, $N$ — łączna liczba wyników.

Kiedy mnożyć, a kiedy dodawać: mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie); dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie.

Przykłady: $3$ koszulki i $4$ pary spodni dają $12$ zestawów. Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9^3=729$. Liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach: $9\cdot9\cdot8=648$.

Wskazówka: zaczynaj od pozycji z najostrzejszym warunkiem. Liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach jest $5\cdot8\cdot8=320$ — najpierw ostatnia cyfra, dopiero potem pierwsza.

Pułapka: pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej nie może być zerem, ale na dalszych pozycjach zero jest dozwolone.

🧩Quizy 1

▶Kombinatoryka a prawdopodobieństwo8 pyt. średni

✍Zadania 40

Zadanie nr 1

Rzucamy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła?

A $1$
B $\frac14$
C $\frac12$
D $0$
Zadanie nr 1

Mam $3$ koszulki i $4$ pary spodni. Na ile sposobów mogę się ubrać?

A $7$
B $34$
C $12$
D $43$
Zadanie nr 2

W worku jest $3$ kule czerwone i $5$ niebieskich. Losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej?

Zadanie nr 2

Ile trzycyfrowych kodów można ułożyć z cyfr $1$–$9$, jeśli cyfry mogą się powtarzać?

Zadanie nr 3

Rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej.

Zadanie nr 3

Rzucamy monetą i kostką. Ile jest wszystkich możliwych wyników?

Zadanie nr 4

Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego?

A $0$
B $1$
C $\frac12$
D zależy od zdarzenia
Zadanie nr 4

Ile jest dwucyfrowych liczb o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr $1$, $2$, $3$, $4$?

A $12$
B $16$
C $8$
D $24$
Zadanie nr 5

Z liczb $1$–$10$ losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej.

Zadanie nr 5

W restauracji są $4$ zupy, $6$ dań głównych i $3$ desery. Ile różnych trzydaniowych zestawów można zamówić?

Zadanie nr 6

Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia wynosi $\frac25$. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że to zdarzenie nie zajdzie?

A $\frac25$
B $\frac52$
C $\frac15$
D $\frac35$
Zadanie nr 6

Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest wyników, w których suma oczek wynosi $7$?

A $3$
B $4$
C $5$
D $6$
Zadanie nr 7

Rzucamy dwiema monetami. Wypisz wszystkie możliwe wyniki i oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów.

Zadanie nr 7

Ile jest liczb trzycyfrowych o wszystkich różnych cyfrach?

Zadanie nr 8

W pudełku jest $12$ cukierków: $4$ truskawkowe, $5$ cytrynowych i $3$ miętowe. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania cukierka, który nie jest miętowy.

Zadanie nr 8

Rzucamy monetą trzy razy. Ile jest wszystkich wyników, a ile takich, w których wypadną same orły?

Zadanie nr 9

Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej niż $6$?

A $\frac16$
B $0$
C $1$
D $\frac12$
Zadanie nr 9

Na ile sposobów można ustawić w rzędzie $4$ różne książki?

A $16$
B $24$
C $12$
D $4$
Zadanie nr 10

W klasie jest $30$ uczniów, w tym $18$ dziewcząt. Losowo wybieramy jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo wyboru chłopca.

Zadanie nr 10

Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych, w których cyfry mogą się powtarzać?

Zadanie nr 11

Losujemy jedną kartę z talii $52$ kart. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa?

A $\frac{1}{52}$
B $\frac{1}{4}$
C $\frac{1}{13}$
D $\frac{4}{13}$
Zadanie nr 11

Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej niż $4$?

A $\frac12$
B $\frac16$
C $\frac13$
D $\frac23$
Zadanie nr 12

Koło fortuny ma $8$ jednakowych pól: $3$ zielone, $2$ czerwone i $3$ żółte. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania pola czerwonego lub żółtego.

Zadanie nr 12

W urnie są $4$ kule białe i $6$ czarnych. Losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

Zadanie nr 13

Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest wszystkich możliwych wyników i jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch szóstek?

Zadanie nr 13

Kod składa się z dwóch liter (z $26$ dostępnych) i trzech cyfr. Ile jest możliwych kodów, jeśli znaki mogą się powtarzać?

Zadanie nr 14

Które prawdopodobieństwo jest niemożliwe do uzyskania?

A $1{,}5$
B $0{,}5$
C $0$
D $1$
Zadanie nr 14

Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest wszystkich możliwych wyników?

A $36$
B $12$
C $21$
D $6$
Zadanie nr 15

Z liczb $1$–$20$ losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez $5$.

Zadanie nr 15

Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$?

Zadanie nr 16

W urnie są same kule białe. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

A $0$
B $1$
C $\frac12$
D nie da się określić
Zadanie nr 16

Z cyfr $1$, $2$, $3$ tworzymy wszystkie liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Ile ich jest?

A $3$
B $6$
C $9$
D $27$
Zadanie nr 17

Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie $5$.

Zadanie nr 17

Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie większa niż $9$.

Zadanie nr 18

W pudełku jest $10$ losów, w tym $3$ wygrywające. Losujemy jeden los. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej i przegranej, a następnie sprawdź, czy sumują się do $1$.

Zadanie nr 18

Ile jest liczb czterocyfrowych o wszystkich różnych cyfrach, zaczynających się od cyfry $5$?

Zadanie nr 19

Z cyfr $1$, $2$, $3$ tworzymy wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe o różnych cyfrach. Ile ich jest i jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana z nich jest parzysta?

Zadanie nr 19

W klasie jest $12$ dziewcząt i $8$ chłopców. Wybieramy losowo jedną osobę do odpowiedzi. Oblicz prawdopodobieństwo wybrania chłopca. Następnie oblicz, na ile sposobów można wybrać parę: jedną dziewczynę i jednego chłopca.

Zadanie nr 20

W urnie jest $6$ kul: $2$ białe i $4$ czarne. Losujemy dwie kule kolejno bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.

Zadanie nr 20

Ile jest liczb trzycyfrowych, w których żadna cyfra się nie powtarza i które są nieparzyste?

Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas