Kombinatoryka a prawdopodobieństwo

Moneta ma $2$ jednakowo prawdopodobne wyniki, a sprzyjający jest jeden:

$$P=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Krok 1 — wszystkie kule:

$$3+5=8$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{8}$$

Odpowiedź: $\frac38=0{,}375$.

Liczby nieparzyste na kostce to $1$, $3$, $5$ — jest ich $3$ z $6$ możliwych:

$$P=\frac{3}{6}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Zdarzenie niemożliwe nigdy nie zachodzi, więc liczba wyników sprzyjających wynosi zero:

$$P=0$$

Skala: zawsze $0\le P\le1$; zdarzenie pewne ma $P=1$.

Odpowiedź: A. $0$.

Liczby parzyste od $1$ do $10$ to $2,4,6,8,10$ — jest ich $5$:

$$P=\frac{5}{10}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to dopełnienie do $1$:

$$1-\frac25=\frac55-\frac25=\frac35$$

Odpowiedź: D. $\frac35$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$OO,\quad OR,\quad RO,\quad RR$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — sprzyjający jest jeden ($OO$):

$$P=\frac14$$

Uwaga: $OR$ i $RO$ to różne wyniki, mimo że oba dają „jeden orzeł i jedna reszka”.

Odpowiedź: $\frac14$.

Sposób 1 — liczymy sprzyjające wprost. Niemiętowe to truskawkowe i cytrynowe: $4+5=9$:

$$P=\frac{9}{12}=\frac34$$

Sposób 2 — przez zdarzenie przeciwne:

$$1-\frac{3}{12}=1-\frac14=\frac34$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Na kostce największa liczba to $6$, więc nie ma wyniku większego niż $6$. To zdarzenie niemożliwe:

$$P=0$$

Odpowiedź: B. $0$.

Krok 1 — liczba chłopców:

$$30-18=12$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

W talii są $4$ asy (po jednym w każdym kolorze):

$$P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$$

Odpowiedź: C. $\frac{1}{13}$.

Zdarzenia „czerwone” i „żółte” wykluczają się, więc dodajemy liczby pól sprzyjających:

$$2+3=5$$

$$P=\frac{5}{8}$$

Sprawdzenie: zdarzenie przeciwne (zielone) ma $P=\frac38$, a $\frac58+\frac38=1$ ✔

Odpowiedź: $\frac58$.

Krok 1 — liczba wszystkich wyników. Każda kostka ma $6$ możliwości:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — sprzyjający jest tylko jeden: $(6,\,6)$:

$$P=\frac{1}{36}$$

Odpowiedź: $36$ wyników, $P=\frac{1}{36}$.

Prawdopodobieństwo zawsze mieści się w przedziale od $0$ do $1$:

$$0\le P\le1$$

Wartość $1{,}5$ przekracza $1$, więc jest niemożliwa.

Odpowiedź: A. $1{,}5$.

Krok 1 — liczby podzielne przez $5$:

$$5,\ 10,\ 15,\ 20$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{20}=\frac15$$

Odpowiedź: $\frac15=0{,}2$.

Każdy możliwy wynik jest sprzyjający, więc zdarzenie jest pewne:

$$P=1$$

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — wypisujemy pary dające sumę $5$:

$$(1,4),\ (2,3),\ (3,2),\ (4,1)$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — wszystkich wyników jest $36$:

$$P=\frac{4}{36}=\frac19$$

Uwaga: pary $(1,4)$ i $(4,1)$ liczymy osobno — kostki są rozróżnialne.

Odpowiedź: $\frac19$.

Krok 1 — wygrana:

$$P(W)=\frac{3}{10}$$

Krok 2 — przegrana (losów przegrywających jest $7$):

$$P(P)=\frac{7}{10}$$

Krok 3 — sprawdzenie:

$$\frac{3}{10}+\frac{7}{10}=\frac{10}{10}=1 \ ✔$$

Wniosek: zdarzenia przeciwne zawsze sumują się do $1$ — to dobry sposób kontroli obliczeń.

Odpowiedź: $P(W)=\frac{3}{10}$, $P(P)=\frac{7}{10}$; suma wynosi $1$.

Krok 1 — wypisujemy wszystkie liczby:

$$12,\ 13,\ 21,\ 23,\ 31,\ 32$$

Jest ich $6$ (bo $3\cdot2=6$).

Krok 2 — liczby parzyste (kończące się cyfrą parzystą): $12$ i $32$ — są $2$.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{2}{6}=\frac13$$

Odpowiedź: $6$ liczb, $P=\frac13$.

Krok 1 — pierwsze losowanie. Czarnych jest $4$ z $6$:

$$P_1=\frac{4}{6}=\frac23$$

Krok 2 — drugie losowanie. Po wyjęciu jednej czarnej zostaje $3$ czarne z $5$ kul:

$$P_2=\frac{3}{5}$$

Krok 3 — mnożymy:

$$P=\frac23\cdot\frac35=\frac{6}{15}=\frac25$$

Kluczowe: bez zwracania w drugim kroku maleją obie liczby — i kul czarnych, i wszystkich.

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2 — same orły. Tylko jeden ciąg: OOO.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac18$$

Odpowiedź: $8$ wyników, z czego $1$ to same orły.

Krok 1 — zdarzenia sprzyjające: $5$ i $6$, czyli dwa.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac26=\frac13$$

Uwaga na słowo „większa”: liczba $4$ nie należy do zdarzenia.

Odpowiedź: C. $\frac13$.

Krok 1 — wszystkie kule:

$$4+6=10$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{10}=0{,}4=40\%$$

Sprawdzenie: prawdopodobieństwo kuli czarnej to $0{,}6$, a suma obu wynosi $1$ ✔

Odpowiedź: $P=0{,}4$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — wypisujemy sprzyjające. Suma $10$: $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$ — trzy. Suma $11$: $(5,6)$, $(6,5)$ — dwie. Suma $12$: $(6,6)$ — jedna.

Krok 3 — razem:

$$3+2+1=6$$

Krok 4 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{36}=\frac16$$

Systematyczność się opłaca. Wypisywanie sum po kolei — najpierw $10$, potem $11$, na końcu $12$ — chroni przed pominięciem przypadku.

Odpowiedź: $P=\frac16$.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$12+8=20$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo wybrania chłopca:

$$P=\frac{8}{20}=\frac25=0{,}4$$

Krok 3 — liczba par. Dziewczynę wybieramy na $12$ sposobów, chłopca na $8$, a wybory są niezależne:

$$12\cdot8=96$$

Dwa różne pytania, dwa różne narzędzia. Prawdopodobieństwo to iloraz, a liczba par — iloczyn. Warto pilnować, o co pyta zadanie.

Odpowiedź: $P=0{,}4$; par jest $96$.