Długość okręgu

Korzystamy ze wzoru na długość okręgu:

$$L=2\pi r=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: $10\pi\approx31{,}4$ cm.

Pułapka: odpowiedź B ($25\pi$) to pole koła, a nie długość okręgu — we wzorze na pole promień jest podnoszony do kwadratu.

Odpowiedź: C. $10\pi$ cm.

Krok 1 — przekształcamy wzór na długość okręgu:

$$L=2\pi r \quad\Rightarrow\quad r=\frac{L}{2\pi}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$r=\frac{18\pi}{2\pi}=9\ \text{cm}$$

Symbol $\pi$ skraca się — dlatego wygodnie zostawiać go we wzorze do samego końca.

Krok 3 — średnica to dwa promienie:

$$d=2r=18\ \text{cm}$$

Odpowiedź: promień $9$ cm, średnica $18$ cm.

Kąt $90^\circ$ to ćwiartka pełnego kąta, więc łuk stanowi ćwiartkę całego okręgu.

Krok 1 — długość całego okręgu:

$$L=2\pi\cdot8=16\pi\ \text{cm}$$

Krok 2 — bierzemy ćwiartkę:

$$l=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot16\pi=\frac14\cdot16\pi=4\pi\ \text{cm}$$

Wzór ogólny na długość łuku:

$$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$$

Odpowiedź: łuk ma $4\pi\approx12{,}6$ cm.

Osią symetrii okręgu jest każda prosta przechodząca przez jego środek. Takich prostych można poprowadzić nieskończenie wiele.

Okrąg ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Dla porównania: kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt $2$, a trójkąt równoboczny $3$.

Odpowiedź: D.

Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka o dokładnie $r$ — sama linia, bez wnętrza. Ma długość.

Koło to zbiór punktów oddalonych od środka o nie więcej niż $r$ — linia wraz z całym wnętrzem. Ma pole.

Praktyczne rozróżnienie: obręcz roweru to okrąg, a talerz to koło.

Stąd też wzory: dla okręgu liczymy długość $L=2\pi r$, dla koła pole $P=\pi r^2$.

Odpowiedź: C.

Pierścień to koło większe z wyciętym kołem mniejszym, więc pola odejmujemy.

Krok 1 — pole koła większego:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole koła mniejszego:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie wolno najpierw odejmować promieni. Wynik $\pi(5-3)^2=4\pi$ byłby błędny, bo $(a-b)^2\neq a^2-b^2$.

Odpowiedź: pole pierścienia to $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta środkowego, więc trzecia część okręgu odpowiada trzeciej części pełnego kąta:

$$\alpha=\frac13\cdot360^\circ=120^\circ$$

Warto zapamiętać kilka przypadków: $\frac12$ okręgu to $180^\circ$, $\frac14$ to $90^\circ$, $\frac16$ to $60^\circ$.

Odpowiedź: B. $120^\circ$.

Krok 1 — przekątna kwadratu. Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki, więc jego średnica to przekątna kwadratu:

$$d=a\sqrt2=8\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — promień to połowa przekątnej:

$$r=\frac{8\sqrt2}{2}=4\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\left(4\sqrt2\right)^2=\pi\cdot16\cdot2=32\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga przy potęgowaniu: $\left(4\sqrt2\right)^2=4^2\cdot\left(\sqrt2\right)^2=16\cdot2=32$ — do kwadratu podnosimy oba czynniki.

Odpowiedź: $r=4\sqrt2$ cm, pole koła $32\pi\approx100{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — odcinki proste:

$$2\cdot100=200\ \text{m}$$

Krok 2 — dwa półkola. Dwa półkola o tym samym promieniu tworzą razem pełny okrąg:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot35=219{,}8\ \text{m}$$

Krok 3 — łączna długość okrążenia:

$$200+219{,}8=419{,}8\ \text{m}$$

Kontrola sensu: standardowa bieżnia lekkoatletyczna ma około $400$ m, więc wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: jedno okrążenie ma $419{,}8$ metra.