Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy $r$.
Przykład: $a_1=3$, $r=4$: $a_{10}=3+9\cdot4=39$.
Iloczyn największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb naturalnych równa się iloczynowi tych liczb.
Przykład: $\mathrm{NWD}(12,18)=6$, więc $\mathrm{NWW}(12,18)=\frac{12\cdot18}{6}=36$.
Liczba $d$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n:d$ daje wynik całkowity bez reszty. Wtedy $n$ nazywamy wielokrotnością $d$.
Przykład: $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$. To dwie strony tej samej relacji.
Szukamy parami, zaczynając od $1$:
$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$$
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$
Kończymy, gdy czynniki zaczynają się mijać. Ta metoda gwarantuje, że nic nie zostanie pominięte.
Przykład: $6543$ — suma cyfr to $18$, więc liczba dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Pierwsze z nich to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.
Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona — ma tylko jeden dzielnik. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze, aż dojdziemy do $1$:
$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$
W rozkładzie wszystkie czynniki muszą być pierwsze — zapis $60=4\cdot15$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze.
NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.
Dla $12$ i $18$: wspólne dzielniki to $1,2,3,6$, więc NWD$=6$. Wspólne wielokrotności to $36,72,\dots$, więc NWW$=36$.
Praktyczna zależność:
$$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔ Znając jedno, łatwo obliczyć drugie.
NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej. NWW służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i do zadań o „spotykających się” cyklach — np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Nie myl dzielnika z wielokrotnością (dzielników jest skończenie wiele, wielokrotności nieskończenie). Nie zaliczaj $1$ do liczb pierwszych. I pamiętaj, że każda liczba jest dzielnikiem samej siebie.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wypisz wszystkie dzielniki liczby $20$.
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $6$.
Liczbą przeciwną do $-9$ jest:
Ile liczb całkowitych leży między $-4$ a $3$ (bez tych krańców)?
Która liczba jest jednocześnie dzielnikiem $12$ i wielokrotnością $3$?
Winda ruszyła z poziomu $-2$ (parking podziemny), wjechała o $7$ pięter w górę, a potem zjechała o $3$. Na którym poziomie się zatrzymała?
Ile dzielników ma liczba $24$? Wypisz je.
Wypisz wszystkie wspólne dzielniki liczb $18$ i $24$. Który jest największy?
Ile wynosi $-6\cdot(-4)$?
Która liczba dzieli się przez $3$?
Wypisz wszystkie dzielniki liczby $18$.
Rozłóż liczbę $60$ na czynniki pierwsze.
Która liczba jest pierwsza?
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $7$.
Która liczba dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $5$?
Liczba dzieli się przez $9$, gdy:
Ile dzielników ma liczba $36$? Wypisz je.
Dwa autobusy odjeżdżają z pętli o $8{:}00$. Pierwszy kursuje co $12$ minut, drugi co $18$ minut. O której godzinie znów odjadą razem?
Ile liczb pierwszych jest mniejszych od $20$?
Jaką cyfrę należy wstawić w miejsce gwiazdki w liczbie $23{*}$, aby dzieliła się przez $9$?
Która liczba jest złożona?
Mamy $48$ cukierków i $60$ ciastek. Chcemy zapakować je do jednakowych paczek tak, aby w każdej było tyle samo cukierków i tyle samo ciastek, i żeby nic nie zostało. Ile najwięcej paczek można zrobić i co znajdzie się w każdej?
Oblicz NWD$(30,\,45)$ i NWW$(30,\,45)$, a następnie sprawdź, czy iloczyn NWD i NWW równa się iloczynowi tych liczb.
Ogrodnik sadzi drzewa co $6$ metrów, a lampy ustawia co $8$ metrów, zaczynając od tego samego punktu. Po ilu metrach drzewo i lampa znajdą się w tym samym miejscu? Ile takich miejsc będzie na odcinku $100$ metrów?
Liczba $n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, a przy dzieleniu przez $6$ resztę $5$. Znajdź najmniejszą taką liczbę naturalną większą od zera.
Listewkę o długości $84$ cm chcemy pociąć na jednakowe kawałki o długości będącej liczbą całkowitą centymetrów, dłuższe niż $10$ cm i krótsze niż $30$ cm. Podaj wszystkie możliwe długości kawałka.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dane są liczby: \(k=69\) oraz \(m=83\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Suma liczb \(k\) i \(m\) jest podzielna przez \(4\).
2. Iloczyn liczb \(k\) i \(m\) jest podzielny przez \(3\).
Czy liczba \(27\,733\) jest podzielna przez \(3\)? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
A. Tak / B. Nie, ponieważ 1. cyfrą jedności tej liczby jest \(3\) / 2. suma cyfr tej liczby nie jest podzielna przez \(3\) / 3. dwie ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez \(3\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.