Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła — ile sześcianów jednostkowych da się w niej zmieścić. Podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm$^3$, dm$^3$, m$^3$.
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c$$
$$V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$V_{\text{graniastosłup}}=P_p\cdot H$$
Ostatni wzór jest najogólniejszy — prostopadłościan to po prostu graniastosłup o podstawie prostokątnej.
$$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$
Przelicznik objętości to sześcian przelicznika długości: skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^3=100\cdot100\cdot100$ cm$^3$.
$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$
To najważniejsza zamiana w zadaniach o pojemnikach i akwariach.
Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.
Przykład dla graniastosłupa trójkątnego: $5$ ścian, $6$ wierzchołków, $9$ krawędzi.
Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko. Siatka sześcianu składa się z $6$ jednakowych kwadratów; można je ułożyć na $11$ różnych sposobów.
To dwie różne wielkości: pole podajemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$. Pole powierzchni sześcianu to $6a^2$, a objętość to $a^3$.
Przy zmianie wymiarów objętość rośnie w trzeciej potędze — podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Przy przeliczaniu jednostek objętości dzielimy przez $1000$ lub $1\,000\,000$, nie przez $100$.
To bryła o dwóch jednakowych, równoległych podstawach połączonych ścianami bocznymi, które są prostokątami. Nazwa bierze się od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Dla podstawy o $n$ bokach:
Przykład dla sześciokąta: $8$ ścian, $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi.
Siatka to bryła rozłożona na płasko: dwie podstawy plus pas $n$ prostokątów. Wysokość każdego prostokąta jest równa wysokości graniastosłupa.
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=O_p\cdot H$$
Pole boczne liczymy jako obwód podstawy razy wysokość, bo rozwinięte ściany boczne tworzą jeden duży prostokąt.
$$V=P_p\cdot H$$
Dla prostopadłościanu upraszcza się to do $V=a\cdot b\cdot c$, a dla sześcianu do $V=a^3$.
$$P_{\text{sześcianu}}=6a^2,\qquad V_{\text{sześcianu}}=a^3$$
$$P_{\text{prostopadłościanu}}=2(ab+ac+bc)$$
Sześcian ma $12$ krawędzi — to przydaje się w zadaniach o szkielecie z drutu: potrzeba $12a$.
Przelicznik jednostek objętości to sześcian przelicznika długości.
Z $V=P_p H$ wyznaczamy brakującą wielkość dzieleniem: $H=V:P_p$ albo $P_p=V:H$.
Pole zapisujemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$ — pomylona jednostka to najczęstszy powód utraty punktu. Przy pytaniu „ile kostek się zmieści” bezpieczniej liczyć kostki wzdłuż każdej krawędzi niż dzielić objętości: jeśli wymiary nie dzielą się bez reszty, sam iloraz objętości daje wynik zawyżony.
Dwie podstawy plus pole powierzchni bocznej.
Przykład: $P_p=6$, $P_b=60$: $P_c=72$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile ścian ma prostopadłościan?
Ile ścian bocznych ma graniastosłup o podstawie pięciokąta?
Z ilu kwadratów składa się siatka sześcianu?
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $18$ cm$^2$ i wysokości $7$ cm.
Ile krawędzi ma graniastosłup trójkątny?
Ściany boczne graniastosłupa prostego są:
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $20$ cm, $15$ cm i $10$ cm. Ile centymetrów kwadratowych kartonu potrzeba na jego wykonanie (bez zakładek)?
Graniastosłup ma podstawę w kształcie trójkąta o polu $12$ cm$^2$. Jego objętość wynosi $96$ cm$^3$. Oblicz wysokość graniastosłupa.
Ile ścian ma graniastosłup prosty o podstawie trójkąta?
Ile wierzchołków i ile krawędzi ma graniastosłup prosty o podstawie sześciokąta?
Z ilu prostokątów składa się siatka graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu (nie licząc podstaw)?
Graniastosłup ma podstawę o polu $12$ cm$^2$ i wysokość $7$ cm. Oblicz jego objętość.
Graniastosłup prosty ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm oraz wysokość $10$ cm. Oblicz objętość.
Ile centymetrów drutu potrzeba na model sześcianu o krawędzi $6$ cm (sam szkielet, bez ścian)?
Graniastosłup prosty ma podstawę prostokąta $5$ cm $\times$ $2$ cm i wysokość $9$ cm. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Ile decymetrów sześciennych to $5000$ cm$^3$?
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.