Pole powierzchni graniastosłupa
Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
🧩Quizy 1
📘Teoria 1
Czym jest graniastosłup prosty
To bryła o dwóch jednakowych, równoległych podstawach połączonych ścianami bocznymi, które są prostokątami. Nazwa bierze się od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Ile ma elementów
Dla podstawy o $n$ bokach:
- ścian: $n+2$ (dwie podstawy i $n$ ścian bocznych)
- wierzchołków: $2n$
- krawędzi: $3n$ ($n$ w dole, $n$ w górze, $n$ pionowych)
Przykład dla sześciokąta: $8$ ścian, $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi.
Siatka
Siatka to bryła rozłożona na płasko: dwie podstawy plus pas $n$ prostokątów. Wysokość każdego prostokąta jest równa wysokości graniastosłupa.
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=O_p\cdot H$$
Pole boczne liczymy jako obwód podstawy razy wysokość, bo rozwinięte ściany boczne tworzą jeden duży prostokąt.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$
Dla prostopadłościanu upraszcza się to do $V=a\cdot b\cdot c$, a dla sześcianu do $V=a^3$.
Sześcian i prostopadłościan
$$P_{\text{sześcianu}}=6a^2,\qquad V_{\text{sześcianu}}=a^3$$
$$P_{\text{prostopadłościanu}}=2(ab+ac+bc)$$
Sześcian ma $12$ krawędzi — to przydaje się w zadaniach o szkielecie z drutu: potrzeba $12a$.
Jednostki objętości
- $1$ cm$^3=1000$ mm$^3$
- $1$ dm$^3=1000$ cm$^3=1$ litr
- $1$ m$^3=1000$ dm$^3=1000$ litrów
Przelicznik jednostek objętości to sześcian przelicznika długości.
Zadania odwrotne
Z $V=P_p H$ wyznaczamy brakującą wielkość dzieleniem: $H=V:P_p$ albo $P_p=V:H$.
Na co uważać
Pole zapisujemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$ — pomylona jednostka to najczęstszy powód utraty punktu. Przy pytaniu „ile kostek się zmieści” bezpieczniej liczyć kostki wzdłuż każdej krawędzi niż dzielić objętości: jeśli wymiary nie dzielą się bez reszty, sam iloraz objętości daje wynik zawyżony.
∑Wzory 1
Dwie podstawy plus pole powierzchni bocznej.
Przykład: $P_p=6$, $P_b=60$: $P_c=72$.
✍Zadania dodatkowe 12
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile ścian ma graniastosłup prosty o podstawie trójkąta?
Ile wierzchołków i ile krawędzi ma graniastosłup prosty o podstawie sześciokąta?
Pole powierzchni sześcianu o krawędzi $5$ cm wynosi:
Z ilu prostokątów składa się siatka graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu (nie licząc podstaw)?
Graniastosłup ma podstawę o polu $12$ cm$^2$ i wysokość $7$ cm. Oblicz jego objętość.
Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $8$ cm, $5$ cm i $3$ cm.
Graniastosłup prosty ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm oraz wysokość $10$ cm. Oblicz objętość.
Prostopadłościan o podstawie kwadratu $4$ cm $\times$ $4$ cm ma objętość $80$ cm$^3$. Oblicz jego wysokość.
Ile centymetrów drutu potrzeba na model sześcianu o krawędzi $6$ cm (sam szkielet, bez ścian)?
Graniastosłup prosty ma podstawę prostokąta $5$ cm $\times$ $2$ cm i wysokość $9$ cm. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Ile decymetrów sześciennych to $5000$ cm$^3$?
Pudełko w kształcie sześcianu o krawędzi $10$ cm trzeba okleić papierem. Ile centymetrów kwadratowych papieru potrzeba, jeśli oklejamy wszystkie ściany i dokładamy $10\%$ na zakładki?
📄Zadania z arkuszy 1
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym zielone ściany są kwadratami. Suma długości jego krawędzi zaznaczonych pogrubioną linią na rysunku 1. jest równa \(27\) cm. Suma długości jego krawędzi zaznaczonych pogrubioną linią na rysunku 2. jest równa \(30\) cm.
Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
