Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$$P_{\text{równoległoboku}}=a\cdot h$$
$$P_{\text{trójkąta}}=\frac{a\cdot h}{2}$$
$$P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$
$$P_{\text{rombu}}=a\cdot h=\frac{e\cdot f}{2}$$
Przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. Każdy z nich ma więc połowę pola — stąd $\frac{a h}{2}$ we wzorze na trójkąt.
Podobnie romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach równych jego przekątnym i zajmuje połowę jego pola — stąd $\frac{e f}{2}$.
We wzorach występuje wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy. W równoległoboku wysokość jest zawsze krótsza od drugiego boku (chyba że figura jest prostokątem). Podstawienie boku zamiast wysokości to najczęstszy błąd w tym dziale.
Gdy dane są bok i wysokość — używamy $a\cdot h$. Gdy dane są przekątne — $\frac{e f}{2}$. Oba dają ten sam wynik, ale każdy wymaga innych danych.
Przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości, więc pole to po prostu połowa ich iloczynu. Dla przyprostokątnych $5$ i $12$ pole wynosi $30$.
$$h=\frac{2P}{a} \ \text{(trójkąt)},\qquad a=\frac{P}{h} \ \text{(równoległobok)}$$
$$a+b=\frac{2P}{h} \ \text{(trapez)},\qquad f=\frac{2P}{e} \ \text{(romb)}$$
W trójkącie, trapezie i rombie pamiętaj o mnożeniu przez $2$ — to najczęściej gubiony element.
Figurę dzielimy na znane kształty i dodajemy pola, albo uzupełniamy do prostokąta i odejmujemy nadmiar. Wybieramy sposób dający mniej rachunków.
Trapez o podstawach $a$ i $b$ ma takie samo pole jak trójkąt o podstawie $a+b$ i tej samej wysokości — oba wzory sprowadzają się do tego samego rachunku.
Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych. Przy trójkącie i trapezie łatwo zapomnieć o dzieleniu przez $2$ — warto na koniec sprawdzić, czy wynik nie jest podejrzanie duży.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz pole kwadratu o obwodzie $36$ cm.
Ile metrów kwadratowych ma $30\,000$ cm$^2$?
Dwa trójkąty mają równe podstawy, ale pierwszy ma wysokość dwa razy większą niż drugi. Jak mają się do siebie ich pola?
Kwadrat i prostokąt mają ten sam obwód równy $24$ cm. Prostokąt ma boki $8$ cm i $4$ cm. Która figura ma większe pole?
Z kwadratowej kartki o boku $12$ cm wycięto w środku kwadratowy otwór o boku $5$ cm. Oblicz pole pozostałej części kartki.
Dwa trójkąty mają tę samą podstawę i tę samą wysokość. Ich pola:
Przekątna dzieli równoległobok na:
Z prostokąta $12$ cm $\times$ $8$ cm wycięto trójkąt o podstawie $12$ cm i wysokości $8$ cm. Jakie pole ma pozostała część?
Trapez ma podstawy $14$ cm i $6$ cm oraz wysokość $5$ cm. Oblicz jego pole oraz pole trójkąta o tej samej wysokości i podstawie równej sumie podstaw trapezu. Porównaj wyniki.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.