Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.
Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.
Dwie podstawy plus pole powierzchni bocznej.
Przykład: $P_p=6$, $P_b=60$: $P_c=72$.
Graniastosłup prosty ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami. Nazwa pochodzi od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Dla podstawy o $n$ bokach: ścian $n+2$, krawędzi $3n$, wierzchołków $2n$. Prostopadłościan ($n=4$): $6$ ścian, $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków.
$$V=P_p\cdot H$$
Szczególne przypadki:
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c,\qquad V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Dla sześcianu: $P_c=6a^2$.
To rozłożona na płaszczyźnie powierzchnia bryły. Siatka sześcianu składa się z sześciu jednakowych kwadratów; siatka graniastosłupa — z dwóch podstaw i prostokąta o długości równej obwodowi podstawy.
$$1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3$$
Nie myl objętości z polem powierzchni — dla sześcianu o krawędzi $4$ objętość wynosi $64$, a pole $96$. Przy zamianie jednostek objętości przelicznik podnosimy do trzeciej potęgi: $1\ \text{dm}=10\ \text{cm}$, ale $1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła — ile sześcianów jednostkowych da się w niej zmieścić. Podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm$^3$, dm$^3$, m$^3$.
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c$$
$$V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$V_{\text{graniastosłup}}=P_p\cdot H$$
Ostatni wzór jest najogólniejszy — prostopadłościan to po prostu graniastosłup o podstawie prostokątnej.
$$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$
Przelicznik objętości to sześcian przelicznika długości: skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^3=100\cdot100\cdot100$ cm$^3$.
$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$
To najważniejsza zamiana w zadaniach o pojemnikach i akwariach.
Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.
Przykład dla graniastosłupa trójkątnego: $5$ ścian, $6$ wierzchołków, $9$ krawędzi.
Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko. Siatka sześcianu składa się z $6$ jednakowych kwadratów; można je ułożyć na $11$ różnych sposobów.
To dwie różne wielkości: pole podajemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$. Pole powierzchni sześcianu to $6a^2$, a objętość to $a^3$.
Przy zmianie wymiarów objętość rośnie w trzeciej potędze — podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Przy przeliczaniu jednostek objętości dzielimy przez $1000$ lub $1\,000\,000$, nie przez $100$.
To bryła o dwóch jednakowych, równoległych podstawach połączonych ścianami bocznymi, które są prostokątami. Nazwa bierze się od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Dla podstawy o $n$ bokach:
Przykład dla sześciokąta: $8$ ścian, $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi.
Siatka to bryła rozłożona na płasko: dwie podstawy plus pas $n$ prostokątów. Wysokość każdego prostokąta jest równa wysokości graniastosłupa.
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=O_p\cdot H$$
Pole boczne liczymy jako obwód podstawy razy wysokość, bo rozwinięte ściany boczne tworzą jeden duży prostokąt.
$$V=P_p\cdot H$$
Dla prostopadłościanu upraszcza się to do $V=a\cdot b\cdot c$, a dla sześcianu do $V=a^3$.
$$P_{\text{sześcianu}}=6a^2,\qquad V_{\text{sześcianu}}=a^3$$
$$P_{\text{prostopadłościanu}}=2(ab+ac+bc)$$
Sześcian ma $12$ krawędzi — to przydaje się w zadaniach o szkielecie z drutu: potrzeba $12a$.
Przelicznik jednostek objętości to sześcian przelicznika długości.
Z $V=P_p H$ wyznaczamy brakującą wielkość dzieleniem: $H=V:P_p$ albo $P_p=V:H$.
Pole zapisujemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$ — pomylona jednostka to najczęstszy powód utraty punktu. Przy pytaniu „ile kostek się zmieści” bezpieczniej liczyć kostki wzdłuż każdej krawędzi niż dzielić objętości: jeśli wymiary nie dzielą się bez reszty, sam iloraz objętości daje wynik zawyżony.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile ścian ma prostopadłościan?
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $4$ cm, $5$ cm i $6$ cm.
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $3$ cm.
Ile ścian bocznych ma graniastosłup o podstawie pięciokąta?
Z ilu kwadratów składa się siatka sześcianu?
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $18$ cm$^2$ i wysokości $7$ cm.
Ile krawędzi ma graniastosłup trójkątny?
Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $4$ cm.
Objętość prostopadłościanu wynosi $180$ cm$^3$, a pole podstawy $30$ cm$^2$. Oblicz jego wysokość.
Sześcian ma objętość $64$ cm$^3$. Oblicz długość jego krawędzi.
Ściany boczne graniastosłupa prostego są:
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $20$ cm, $15$ cm i $10$ cm. Ile centymetrów kwadratowych kartonu potrzeba na jego wykonanie (bez zakładek)?
Krawędź sześcianu podwojono. Ile razy wzrosła jego objętość?
Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $25$ m, $10$ m i głębokości $2$ m. Ile metrów sześciennych wody mieści?
Graniastosłup ma podstawę w kształcie trójkąta o polu $12$ cm$^2$. Jego objętość wynosi $96$ cm$^3$. Oblicz wysokość graniastosłupa.
Z sześcianu o krawędzi $6$ cm wycięto sześcian o krawędzi $2$ cm. Oblicz objętość pozostałej bryły i podaj, jaką część objętości pierwotnej ona stanowi.
Ile ścian ma graniastosłup prosty o podstawie trójkąta?
Ile wierzchołków i ile krawędzi ma graniastosłup prosty o podstawie sześciokąta?
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$ cm.
Pole powierzchni sześcianu o krawędzi $5$ cm wynosi:
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $6$ cm, $3$ cm i $2$ cm.
Z ilu prostokątów składa się siatka graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu (nie licząc podstaw)?
Graniastosłup ma podstawę o polu $12$ cm$^2$ i wysokość $7$ cm. Oblicz jego objętość.
Objętość sześcianu wynosi $27$ cm$^3$. Ile ma jego krawędź?
Graniastosłup prosty ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm oraz wysokość $10$ cm. Oblicz objętość.
Ile litrów mieści pojemnik w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $20$ cm, $10$ cm i $5$ cm?
Prostopadłościan o podstawie kwadratu $4$ cm $\times$ $4$ cm ma objętość $80$ cm$^3$. Oblicz jego wysokość.
Ile centymetrów drutu potrzeba na model sześcianu o krawędzi $6$ cm (sam szkielet, bez ścian)?
Który zestaw wymiarów daje prostopadłościan o objętości $48$ cm$^3$?
Graniastosłup prosty ma podstawę prostokąta $5$ cm $\times$ $2$ cm i wysokość $9$ cm. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Ile decymetrów sześciennych to $5000$ cm$^3$?
Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $60$ cm, $30$ cm i $40$ cm. Ile litrów wody zmieści się, jeśli napełnimy je do $\frac34$ wysokości?
Ile kostek sześciennych o krawędzi $2$ cm zmieści się w pudełku o wymiarach $10$ cm, $8$ cm i $6$ cm?
Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $25$ m $\times$ $10$ m i głębokości $2$ m. Kran napełnia go z prędkością $50$ m$^3$ na godzinę. Ile godzin potrwa napełnianie?
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.