Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Przykład: $171$ dzieli się przez $3$, bo $1+7+1=9$. Nie trzeba wykonywać dzielenia.
Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Podobnie przez $15$ — gdy przez $3$ i przez $5$. Warunek musi zachodzić dla obu czynników naraz.
Pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie. Złożona ma ich więcej.
Liczby pierwsze do $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
Dwa fakty warte zapamiętania: liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do jedynki:
$$60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7$$
Z rozkładów bierzemy czynniki wspólne w najniższych potęgach.
$$24=2^3\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$
Bierzemy wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.
$$6=2\cdot3,\quad 8=2^3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$
$$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Dla $30$ i $45$: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔ Pozwala szybko policzyć NWW, gdy znamy już NWD.
Gdy $\mathrm{NWD}=1$, liczby nie mają wspólnego czynnika — jak $15$ i $28$. Ich NWW jest wtedy równe iloczynowi.
Nie myl NWD z NWW — pierwsze jest zawsze mniejsze lub równe obu liczbom, drugie zawsze większe lub równe. Jeśli wynik nie mieści się w tych granicach, gdzieś jest błąd.
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze i wybieramy odpowiednie potęgi.
Przykład: $60=2^2\cdot3\cdot5,\ 90=2\cdot3^2\cdot5$: $\mathrm{NWD}=2\cdot3\cdot5=30$, $\mathrm{NWW}=2^2\cdot3^2\cdot5=180$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Która liczba dzieli się przez $3$?
Rozłóż liczbę $60$ na czynniki pierwsze.
Która liczba jest pierwsza?
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $7$.
Która liczba dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $5$?
Oblicz NWD$(24,\,36)$.
Liczba dzieli się przez $9$, gdy:
Ile dzielników ma liczba $36$? Wypisz je.
NWD$(15,\,28)$ wynosi:
Dwa autobusy odjeżdżają z pętli o $8{:}00$. Pierwszy kursuje co $12$ minut, drugi co $18$ minut. O której godzinie znów odjadą razem?
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby $84$ i $126$, a następnie oblicz ich NWD.
Ile liczb pierwszych jest mniejszych od $20$?
Jaką cyfrę należy wstawić w miejsce gwiazdki w liczbie $23{*}$, aby dzieliła się przez $9$?
Oblicz NWD$(30,\,45)$ i NWW$(30,\,45)$, a następnie sprawdź, czy iloczyn NWD i NWW równa się iloczynowi tych liczb.
Ogrodnik sadzi drzewa co $6$ metrów, a lampy ustawia co $8$ metrów, zaczynając od tego samego punktu. Po ilu metrach drzewo i lampa znajdą się w tym samym miejscu? Ile takich miejsc będzie na odcinku $100$ metrów?
Liczba $n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, a przy dzieleniu przez $6$ resztę $5$. Znajdź najmniejszą taką liczbę naturalną większą od zera.
Autobus linii A odjeżdża co $12$ minut, a linii B — co $18$ minut. O godzinie $8:00$ odjechały razem. Oblicz, o której godzinie najbliżej odjadą znowu razem.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu \(YXXY\), gdzie \(X\) jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a \(Y\) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4.
Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli?
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.