Graniastosłupy proste
Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
∑Wzory 1
Dwie podstawy plus pole powierzchni bocznej.
Przykład: $P_p=6$, $P_b=60$: $P_c=72$.
📘Teoria 1
Czym jest graniastosłup prosty
To bryła o dwóch jednakowych, równoległych podstawach połączonych ścianami bocznymi, które są prostokątami. Nazwa bierze się od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Ile ma elementów
Dla podstawy o $n$ bokach:
- ścian: $n+2$ (dwie podstawy i $n$ ścian bocznych)
- wierzchołków: $2n$
- krawędzi: $3n$ ($n$ w dole, $n$ w górze, $n$ pionowych)
Przykład dla sześciokąta: $8$ ścian, $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi.
Siatka
Siatka to bryła rozłożona na płasko: dwie podstawy plus pas $n$ prostokątów. Wysokość każdego prostokąta jest równa wysokości graniastosłupa.
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=O_p\cdot H$$
Pole boczne liczymy jako obwód podstawy razy wysokość, bo rozwinięte ściany boczne tworzą jeden duży prostokąt.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$
Dla prostopadłościanu upraszcza się to do $V=a\cdot b\cdot c$, a dla sześcianu do $V=a^3$.
Sześcian i prostopadłościan
$$P_{\text{sześcianu}}=6a^2,\qquad V_{\text{sześcianu}}=a^3$$
$$P_{\text{prostopadłościanu}}=2(ab+ac+bc)$$
Sześcian ma $12$ krawędzi — to przydaje się w zadaniach o szkielecie z drutu: potrzeba $12a$.
Jednostki objętości
- $1$ cm$^3=1000$ mm$^3$
- $1$ dm$^3=1000$ cm$^3=1$ litr
- $1$ m$^3=1000$ dm$^3=1000$ litrów
Przelicznik jednostek objętości to sześcian przelicznika długości.
Zadania odwrotne
Z $V=P_p H$ wyznaczamy brakującą wielkość dzieleniem: $H=V:P_p$ albo $P_p=V:H$.
Na co uważać
Pole zapisujemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$ — pomylona jednostka to najczęstszy powód utraty punktu. Przy pytaniu „ile kostek się zmieści” bezpieczniej liczyć kostki wzdłuż każdej krawędzi niż dzielić objętości: jeśli wymiary nie dzielą się bez reszty, sam iloraz objętości daje wynik zawyżony.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 15
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile ścian ma graniastosłup prosty o podstawie trójkąta?
Ile wierzchołków i ile krawędzi ma graniastosłup prosty o podstawie sześciokąta?
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $6$ cm, $3$ cm i $2$ cm.
Z ilu prostokątów składa się siatka graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu (nie licząc podstaw)?
Graniastosłup ma podstawę o polu $12$ cm$^2$ i wysokość $7$ cm. Oblicz jego objętość.
Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach $8$ cm, $5$ cm i $3$ cm.
Graniastosłup prosty ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm oraz wysokość $10$ cm. Oblicz objętość.
Ile litrów mieści pojemnik w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $20$ cm, $10$ cm i $5$ cm?
Prostopadłościan o podstawie kwadratu $4$ cm $\times$ $4$ cm ma objętość $80$ cm$^3$. Oblicz jego wysokość.
Ile centymetrów drutu potrzeba na model sześcianu o krawędzi $6$ cm (sam szkielet, bez ścian)?
Który zestaw wymiarów daje prostopadłościan o objętości $48$ cm$^3$?
Graniastosłup prosty ma podstawę prostokąta $5$ cm $\times$ $2$ cm i wysokość $9$ cm. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Ile decymetrów sześciennych to $5000$ cm$^3$?
Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $60$ cm, $30$ cm i $40$ cm. Ile litrów wody zmieści się, jeśli napełnimy je do $\frac34$ wysokości?
Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $25$ m $\times$ $10$ m i głębokości $2$ m. Kran napełnia go z prędkością $50$ m$^3$ na godzinę. Ile godzin potrwa napełnianie?
📄Zadania z arkuszy 2
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma wysokość $6$ i pole podstawy $15\sqrt3$. Pole jednej ściany bocznej jest równe
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku